向量
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向量加法的技巧

現在你已經熟悉了向量的數學性質，我們將更詳細地討論向量加法。向量加法有多種技巧。這些技巧分為兩大類——圖形技巧和代數技巧。

圖形技巧

圖形技巧涉及繪製精確比例圖來表示各個向量及其合向量。接下來我們將討論兩種主要的圖形技巧，首尾相接法和平行四邊形法。

首尾相接法

在描述向量的數學性質時，我們使用了位移和首尾相接圖形向量加法作為示例。在首尾相接向量加法中，遵循以下策略

選擇比例尺幷包含參考方向。
選擇要相加的任意向量，並將其繪製成箭頭，方向正確，長度正確——記住在末端放一個箭頭來表示其方向。
取下一個向量，將其繪製成箭頭，從第一個向量的箭頭開始，方向正確，長度正確。
繼續直到你繪製了每個向量——每次都從前一個向量的頭部開始。這樣，要相加的向量就被繪製成首尾相接的形式。
然後，合向量是從第一個向量的尾部到最後一個向量的頭部繪製的向量。其大小可以透過使用比例尺從其箭頭的長度確定。其方向也可以從比例尺圖中確定。

例題 4 首尾相接圖形加法 I

問題：一艘船從港口 H 出發，向北航行 6 km 到港口 A。從這裡，船向東航行 12 km 到港口 B，然後向西南航行 5.5 km 到港口 C。使用首尾相接向量加法來確定船的合位移。

解答

現在，我們面臨一個實際問題：在這個問題中，位移太大，無法按實際長度繪製！繪製一個 2 km 長的箭頭需要一本非常大的書。就像製圖師（繪製地圖的人）一樣，我們必須選擇一個比例尺。比例尺的選擇取決於實際問題——你應該選擇一個比例尺，使你的向量圖適合頁面。在選擇比例尺之前，應始終繪製問題的草圖。在草圖中，你感興趣的是向量圖的近似形狀。

步驟 1

讓我們畫出這種情況的草圖

在草圖中，應包含問題中給出的所有資訊。所有位移的大小都已顯示，並且已包含指南針作為參考方向。

步驟 2

接下來，我們選擇一個適合我們向量圖的比例尺。從草圖中可以清楚地看到，在這個問題中選擇 1 cm 代表 1 km 的比例尺（比例尺：1 cm = 1 km）將是一個不錯的選擇）——這樣圖就會佔據 A4 紙的一大部分。現在我們開始精確的構建。

步驟 3

構建步驟 1：從港口 H 開始，我們繪製第一個向量，長度為 6 cm，方向為北（記住，在圖中，1 cm 代表 1 km）

構建步驟 2：由於船現在位於港口 A，因此我們從這一點開始繪製第二個向量，長度為 12 cm，方向為東

構建步驟 3：由於船現在位於港口 B，因此我們從這一點開始繪製第三個向量，長度為 5.5 cm，方向為西南。需要使用量角器來測量 45^o 的角度。

構建步驟 4：作為最後一步，我們從起點（港口 H）到終點（港口 C）繪製合位移。我們使用尺子測量此箭頭的長度，使用量角器確定其方向

步驟 4

現在，我們使用比例尺將比例尺圖中合向量的長度轉換為問題中的實際位移。由於我們在這個問題中選擇了 1 cm = 1 km 的比例尺，因此合向量的大小為 8.38 km。方向可以按角度來指定，可以是北偏東 75.4^o 或方位角 75.4^o。

步驟 5

現在，我們可以給出最終答案：船的合位移是方位角 75.4^o，8.38 km！

例題 5 首尾相接圖形加法 II

問題：一個人向東走了 40 m，然後向北走了 30 m。

a) 他一共走了多遠？

b) 他的合位移是多少？

解答

步驟 1

這個人走了多遠？在他旅程的第一部分，他走了 40 m，在第二部分，他走了 30 m。這使得他總共走了 $40+30=70\ m$

步驟 2

他的合位移是多少？這個人的合位移是從他開始的地方到他結束的地方的向量。它是他的兩個獨立位移的總和。我們將使用精確構建的首尾相接法來找到這個向量。首先，我們繪製一個草圖

檔案：Fhsst vectors36.png

步驟 3

接下來，我們選擇一個適合此問題的比例尺。一個 1 cm 代表 5 m 的比例尺（1 cm = 5 m）將是一個不錯的選擇。現在，我們可以開始構建過程。

步驟 4

我們繪製第一個位移，將其繪製成一個 8 cm 長的箭頭（根據比例尺 $8cm=8\times 5m=40m$ )，方向為東

步驟 5

從第一個向量的頭部開始，我們繪製第二個位移，將其繪製成一個 6 cm 長的箭頭（根據比例尺 $6cm=6\times 5m=30m$ )，方向為北：</math>

步驟 6

現在，我們將起點連線到終點，並測量此箭頭（合向量）的長度和方向

步驟 7

最後，我們使用比例尺將比例圖中合成的長度轉換為合成位移的實際大小。根據所選比例尺，1cm = 5m。因此，10cm 代表 50m。合成位移為 50m，方向為東偏北 36.9^o。

平行四邊形法則

當需要找到兩個向量的合成時，可以應用另一種圖形技術 - 平行四邊形法則。採用以下策略

選擇一個比例尺和一個參考方向。
選擇要新增的兩個向量中的任何一個，並將其繪製為在正確方向上的正確長度的箭頭。
以正確長度和正確方向繪製第二個向量，使其從第一個向量的尾部開始。
完成由這兩個向量形成的平行四邊形。
合成向量是平行四邊形的對角線。它的大小可以根據比例尺從其箭頭的長度確定。它的方向也可以從比例圖中確定。

例題 6

平行四邊形法則的圖形加法 I

問題：一個力 F₁ = 5 N 水平作用於一個物體。另一個力 F₂ = 4 N 以 30° 的角度作用於該物體，該角度相對於水平方向向上。

使用平行四邊形法則的精確作圖方法，確定作用於該物體的合力。

解答

步驟 1

首先，我們繪製向量圖的草圖

步驟 2

現在，我們選擇一個合適的比例尺。在這個問題中，1 cm = 0.5 N 的比例尺是合適的，因為這樣向量圖將佔據頁面的一部分。

步驟 3

讓我們先繪製 F₁。根據比例尺，它的長度為 10 cm

步驟 4

接下來，我們繪製 F₂。根據比例尺，它的長度為 8 cm。我們使用量角器以 30° 的角度繪製此向量，該角度相對於水平方向向上。

步驟 5

接下來，我們完成平行四邊形並繪製對角線

RIAAN 注意：影像丟失 img155.png PDF 第 51 頁 檔案:Fhsst vectors43.png

步驟 6

最後，我們使用比例尺將測量的長度轉換為實際大小。由於 1 cm = 0.5 N，因此 17.4 cm 代表 8.7 N。因此，合力為 8.7 N，方向為水平方向向上 13.3°。

平行四邊形法則僅限於兩個向量的加法。然而，它可以說是加法作用於一點的兩個力最直觀的方式。

向量的代數加減

直線上的向量

當您需要新增作用於直線上的向量時（即一些指向左側，一些指向右側，或一些向上作用，一些向下作用），您可以使用非常簡單的代數技術

選擇一個正方向。例如，對於涉及向西和向東位移的情況，您可以選擇西作為您的正方向。在這種情況下，向東的位移為負。
接下來，簡單地新增（或減去）具有適當符號的向量。
最後，應以文字形式包含合成向量方向（正答案在正方向上，而負答案在負方向上）。

讓我們考慮幾個例子。

例題 7

代數加法 I

問題：一個網球向右側 10m 遠的牆壁滾動。如果撞擊牆壁後網球沿地面再向左側滾動 2.5m，代數計算網球的合成位移。

(備忘：PGCE 建議一個“更現實”的圖，然後是一個用來解決問題的圖（就像我們現有的圖，其中正方向用箭頭表示））

解答

步驟 1

讓我們畫出這種情況的圖

步驟 2

我們知道網球的合成位移（ ${\overrightarrow {s}}_{resultant}$ ) 等於網球單獨位移的總和（ ${\overrightarrow {s}}_{1}$ 和 ${\overrightarrow {s}}_{2}$ )

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&{\overrightarrow {s}}_{1}+{\overrightarrow {s}}_{2}\end{matrix}}

由於網球的運動是直線運動（即網球向左和向右移動），我們可以使用剛剛解釋的代數加法方法。

步驟 3

首先，我們選擇一個正方向。讓我們將向右作為正方向。這意味著向左成為負方向。

步驟 4

當向右為正時

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{1}&=&+10.0m\\&and&\\{\overrightarrow {s}}_{2}&=&-2.5m\end{matrix}}

步驟 5

接下來，我們簡單地將兩個位移相加以得到合成位移

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&(+10m)+(-2.5m)\\&=&(+7.5)m\end{matrix}}

步驟 6

最後，在這種情況下，向右表示正，因此

${\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&7.5m{\rm {\ to\ the\ right}}\end{matrix}}$

讓我們來看一個向量減法的例子。

例題 8

用代數方法減去向量 I

問題：假設一個網球以 3m.s⁻¹ 的速度水平地向牆壁拋去。球撞擊牆壁後，以 2m.s⁻¹ 的速度返回拋球者。求球的速度變化。

解答

步驟 1

記住速度是一個向量。球的速度變化等於球的初速度和末速度之差

{\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&{\overrightarrow {v}}_{final}-{\overrightarrow {v}}_{initial}\end{matrix}}

由於球沿直線運動（即左右），我們可以使用前面討論的向量減法的代數方法。

步驟 2

讓我們將向右定為正方向。這意味著向左就成了負方向。

步驟 3

當向右為正時

{\begin{matrix}{\overrightarrow {v}}_{initial}&=&+3m.s^{-1}\\&and&\\{\overrightarrow {v}}_{final}&=&-2m.s^{-1}\end{matrix}}

步驟 4

因此，球的速度變化為

{\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&(-2m.s^{-1})-(+3m.s^{-1})\\&=&(-5)m.s^{-1}\end{matrix}}

記住，在這種情況下，右代表正值，所以

{\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&5m.s^{-1}{\rm {\textbf {\ to\ the\ {\emph {left}}}}}\end{matrix}}

記住，前面討論的加減法只能應用於沿直線作用的向量。

更一般的代數方法

在例題 3 中，我們使用了首尾相連法，精確地畫圖來確定一個先向東走然後向北走的人的合位移。然而，無需繪製精確的比例圖就可以計算出該人的合位移。讓我們重新審視一下這個例子。

例題 9

例題 3 的代數解法

問題：一個人向東走 40 m，然後向北走 30 m。

計算該人的合位移。

解答

步驟 1

和以前一樣，粗略的示意圖如下

步驟 2

請注意，由他的單獨位移向量和他的合位移向量形成的三角形是一個直角三角形。因此，我們可以使用勾股定理來確定合位移的長度。如果合位移向量的長度稱為 s，那麼

{\begin{matrix}s^{2}&=&(40m)^{2}+(30m)^{2}\\s^{2}&=&2500m^{2}\\s&=&50m\\\end{matrix}}

步驟 3 : 現在我們有了合位移向量的長度，但還沒有它的方向。為了確定它的方向，我們計算合位移向量與東之間的角度 $\alpha$ 。

我們可以使用簡單的三角函式來做到這一點

{\begin{matrix}\tan \alpha &=&{\frac {opposite}{adjacent}}\\\tan \alpha &=&{\frac {30}{40}}\\\alpha &=&\arctan(0.75)\\\alpha &=&36.9^{o}\\\end{matrix}}

步驟 4

最終的答案是

合位移：50 m，方向為東偏北36.9^o

這與我們在繪製比例圖後得到的答案完全一致！

在前面的例子中，我們能夠利用簡單的三角函式來計算一個人的合位移。這是因為這個人的運動方向是垂直的（南北和東西）。然而，代數技巧並不侷限於向量組合沿同一直線或彼此成直角的情況。下面的例子說明了這一點。

例題 10

向量加法的另一個計算例子

問題：一個人從A點出發，以45^o的方位角走到12km遠的B點。從B點，這個人又向東走了8km到達C點。計算這個人的合位移。

解答

步驟 1 : 讓我們先畫出這種情況的大致草圖

RIAAN 注意：第 56 頁的圖片丟失了 檔案:Fhsst vectors46.png

$B{\hat {A}}F=45^{o}$ ，因為這個人最初的方位角是45^o。然後， $A{\hat {B}}G=B{\hat {A}}F=45^{o}$ （平行線內錯角）。這兩個角都包含在大致草圖中。

步驟 2

現在讓我們計算合位移（AC）的長度。由於我們知道 $AB$ 和 $BC$ 的長度以及夾角 $A{\hat {B}}C$ ，我們可以使用餘弦定理

{\begin{matrix}AC^{2}&=&AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cos(A{\hat {B}}C)\\&=&(12)^{2}+(8)^{2}-2\cdot (12)(8)\cos(135^{o})\\&=&343.8\\AC&=&18.5\ km\end{matrix}}

步驟 3

接下來我們使用正弦定理來確定角度 $\theta$

{\begin{matrix}{\frac {\sin \theta }{8}}&=&{\frac {\sin 135^{0}}{18.5}}\\\sin \theta &=&{\frac {8\times \sin 135^{o}}{18.5}}\\\theta &=&\arcsin(0.3058)\\\theta &=&17.8^{o}\end{matrix}}

因此， $F{\hat {A}}C=62.8^{o}$

步驟 4

最終的答案是

合位移：18.5km，方位角 62.8^o