FHSST 物理/向量/分量

向量的分量

在討論向量加法時，我們看到許多向量一起作用可以組合成單個向量（合向量）。以類似的方式，單個向量可以分解成許多向量，當這些向量加起來時會得到該原始向量。這些加起來等於原始向量的向量稱為分量。將向量分解成其分量稱為分解成分量。

雖然對給定向量的集合進行求和只會得到一個答案（合向量），但單個向量可以分解成無限多組分量。在下圖中，相同的黑色向量被分解成不同的分量對。這些分量以紅色顯示。當紅色向量加在一起時，它們會得到原始的黑色向量（即，原始向量是其分量的合向量）。

在實踐中，將向量分解成彼此成直角的分量最有用。

例題 11

將向量分解成分量

問題：一名駕駛員向東偏北 30^o 方向行駛 250 km。將該位移分解成南北方向 (${\overrightarrow {s}}_{N}$ 和東 (${\overrightarrow {s}}_{E}$).

答案

步驟 1 

首先，讓我們畫出原始向量的草圖

步驟 2 

接下來，我們將位移分解成其南北方向的分量。由於這些方向彼此正交，因此分量與原始位移形成一個直角三角形，其中原始位移為斜邊。

請注意，兩個分量一起作用，它們的合向量為原始向量。

步驟 3 

現在，我們可以使用三角學來計算原始位移分量的量級。

${\begin{matrix}s_{N}&=&250\sin 30^{o}\\&=&125\ km\end{matrix}}$

和

${\begin{matrix}s_{E}&=&250\cos 30^{o}\\&=&216.5\ km\end{matrix}}$

請記住，s_N 和 s_E 是分量的量級——它們分別指向北和東方向。

斜坡上的塊

作為分量的另一個示例，讓我們考慮一個質量為 m 的塊，放置在一個與水平面成某個角度 $\theta$ 的無摩擦表面上。顯然，該塊將沿斜坡向下滑動，但是什麼導致了這種運動呢？

作用在該塊上的力是其重力 mg 和表面對物體施加的法向力 N。這兩種力在下圖中顯示。

現在，物體重量可以分解成平行於和垂直於斜面的分量。這些分量在上圖中以紅色箭頭顯示，並且彼此成直角。分量已從同一點開始繪製。應用平行四邊形法則，塊重量的兩個分量之和為重量向量。

為了找到重量分量，我們可以使用三角學

${\begin{matrix}W_{\|}&=&mg\sin \theta \\W_{\perp }&=&mg\cos \theta \end{matrix}}$

垂直於斜面的重量分量W_$\perp$正好與表面施加的正壓力N平衡。然而，平行分量$W_{\|}$是不平衡的，會導致物體沿著斜面滑動。

使用分量進行向量加法

在圖 3.3 中，兩個向量以一種與迄今為止討論的方法略有不同的方式相加。它可能看起來有點像我們在給自己增加工作量，但從長遠來看，事情會變得更容易，而且我們不太可能出錯。

在圖 3.3 中，我們正在相加的主要向量用實線表示，它們與圖 3.2 中使用不太複雜的方法相加的向量相同。

圖 3.2：兩個向量相加得到合向量的示例

每個向量可以分解為一個在x方向上的分量和一個在y方向上的分量。這些分量是兩個向量，當相加時，它們的合向量為原始向量。看看圖 3.3 中的紅色向量。如果你將x方向和y方向上的兩個紅色點線向量相加，你會得到相同的向量。對於所有三個向量，我們已經用相同顏色的點線表示了它們各自的分量。

但是，如果我們仔細觀察，兩個原始向量的x分量的加法就得到了合向量的x分量。同樣適用於y分量。因此，如果我們只將所有分量加在一起，我們就會得到相同的答案！這是向量的另一個重要性質。

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例題 12

使用分量進行向量加法

問題：讓我們按照圖 3.3 中所示的示例進行操作，以確定合向量。

答案

步驟 1 

我們首先要意識到，我們相加向量的順序並不重要。因此，我們可以按照任何順序操作要相加的向量。

步驟 2 

讓我們從最下面的向量開始。如果告訴你這個向量長度為 5.385 個單位，並且與水平方向成 21.8^o 角，那麼我們可以找到它的分量。我們透過使用已知的三角比來做到這一點。首先，我們找到垂直分量或y分量

${\begin{matrix}\sin \theta &=&{\frac {y}{\mbox{hypotenuse}}}\\\sin(21.8)&=&{\frac {y}{5.385}}\\y&=&5.385\sin(21.8)\\y&=&2\end{matrix}}$

其次，我們找到水平分量或x分量

${\begin{matrix}\cos \theta &=&{\frac {x}{\mbox{hypotenuse}}}\\\cos(21.8)&=&{\frac {x}{5.385}}\\x&=&5.385\cos(21.8)\\x&=&5\end{matrix}}$

我們現在知道我們向量是斜邊的三角形的邊的長度。如果你看看這些邊，我們可以根據點線箭頭賦予它們方向。然後，我們最初的紅色向量只是兩個點線向量（它的分量）的總和。當我們試圖找到最終答案時，我們可以簡單地將所有點線向量加起來，因為它們將加起來得到我們想要相加的兩個向量。

步驟 3 

現在我們繼續考慮第二個向量。綠色向量長度為 5 個單位，並且與水平方向成 53.13 度角，因此我們可以找到它的分量。

${\begin{matrix}\sin \theta &=&{\frac {y}{\mbox{hypotenuse}}}\\\sin(53.13)&=&{\frac {y}{5}}\\y&=&5\sin(53.13)\\y&=&4\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\cos \theta &=&{\frac {x}{\mbox{hypotenuse}}}\\\cos(53.13)&=&{\frac {x}{5}}\\x&=&5\cos(53.13)\\x&=&3\end{matrix}}$

步驟 4

現在我們有了所有分量。如果我們將所有x分量加起來，我們將得到合向量的x分量。類似地，如果我們將所有y分量加起來，我們將得到合向量的y分量。

兩個向量的x分量分別為向右 5 個單位和向右 3 個單位。這使我們得到最終的x分量為向右 8 個單位。

兩個向量的y分量分別為向上 2 個單位和向上 4 個單位。這使我們得到最終的y分量為向上 6 個單位。

步驟 5

現在我們有了合向量的分量，我們可以使用勾股定理來確定合向量的長度。我們把斜邊的長度稱為l，我們可以計算它的值

${\begin{matrix}l^{2}&=&(6)^{2}+(8)^{2}\\l^{2}&=&100\\l&=&10.\\\end{matrix}}$

合力的長度為 10 個單位，因此我們只需計算其方向。我們可以將方向指定為向量與已知方向所成的角。為此，您只需將向量視覺化為從座標系的原點開始。我們在下面明確繪製了這一點，我們將計算的角度標記為$\alpha$.

利用我們已知的三角函式比，我們可以計算$\alpha$的值。

${\begin{matrix}\tan \alpha &=&{\frac {6}{8}}\\\alpha &=&\arctan {\frac {6}{8}}\\\alpha &=&36.8^{o}.\end{matrix}}$

步驟 6

我們的最終答案是合力為 10 個單位，相對於正 x 軸的角度為 36.8^o。