FHSST 物理/向量/示例

向量示例

位移

假設你從家走到商店，沿著穿過草原的蜿蜒小路行走。你的路線在圖 3.1 中用藍色顯示。你的妹妹也從家走到商店，但她決定沿著人行道走。她的路線用紅色顯示，包含兩個直線段，一個接一個。

圖 3.1：位移示意圖

雖然你們走的是完全不同的路線，但你和你的妹妹都從家走到商店。最終效果是一樣的！顯然，從你家到商店的最短路線是沿著這兩點之間的直線。這條線的長度以及從起點（家）到終點（商店）的方向構成一個非常特殊的向量，稱為位移。位移用符號 ${\overrightarrow {s}}$ 表示。

定義：位移定義為連線起點到終點的直線的長度和方向。

或者

定義：位移是一個向量，其方向從某個初始點（起點）指向某個最終點（終點），其大小是從起點到終點的直線距離。

（備忘：選擇上面其中一個）

在這個例子中，你和你的妹妹的位移都一樣。這在圖 3.1 中用黑色箭頭顯示。請記住，位移與實際路徑無關。它只與你的起點和終點有關。它告訴你從起點到終點的直線路徑的長度以及從起點到終點的方向。所走的距離是所走路徑的長度，是一個標量（只是一個數字）。請注意，位移的大小不一定與所走的距離相同。在這種情況下，你的位移的大小將大大小於你沿著草原走的實際路徑長度！

速度

定義：速度是指位移相對於時間的變化率。

術語變化率和相對於是我們經常使用的術語，重要的是你要理解它們的含義。速度描述了在一定時間變化內位移的變化量。

我們通常用符號 $\Delta$（希臘字母 Δ）來表示事物的變化。你可能在數學中見過這個符號——直線的斜率是 ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$。斜率只是在一定時間變化內y的變化量。換句話說，它只是y相對於x的變化率。這意味著速度必須是

${\begin{matrix}{\overrightarrow {v}}={\frac {\Delta {\overrightarrow {s}}}{\Delta t}}={\frac {{\overrightarrow {s}}_{final}-{\overrightarrow {s}}_{initial}}{t_{final}-t_{initial}}}\end{matrix}}$

（備忘：這實際上是平均速度。對於瞬時 $\Delta$'s 變化到微分。解釋一下，如果 $\Delta$ 很大，那麼我們得到平均速度，否則對於無窮小的時段，得到瞬時速度！）

那麼什麼是速度？速度是物體移動的快慢。它與速度有什麼不同？速度不是向量。它不會告訴你物體運動的方向，只會告訴你它運動的速度。速度是速度向量的量值（備忘：瞬時速度是瞬時速度的大小……這對於平均值不成立！）。

考慮以下示例來測試你對速度和速率之間差異的理解。

例題 3：速度和速率

問題：一個人在一個半徑為 100m 的圓形跑道上跑步。他花了 120s 完成跑道一圈。如果他以恆定速度跑步，計算

1. 他的速率，
2. 他在 A 點的瞬時速度，
3. 他在 B 點的瞬時速度，
4. 他在 A 點和 B 點之間的平均速度，
5. 他在一圈內的平均速度。

答案

1. 為了確定該男子的速度，我們需要知道他所走的距離以及花費的時間。我們知道他完成跑道一圈需要 $120s$。跑道一圈的距離是多少？我們知道跑道是一個圓，也知道它的半徑，所以我們可以確定圓的周長或距離。我們從圓周長的公式開始

${\begin{matrix}C&=&2\pi r\\&=&2\pi (100m)\\&=&628.3\;m.\end{matrix}}$

2. 現在我們有了距離和時間，就可以確定速度。我們知道速度是單位時間內的距離。如果我們將所走距離除以花費的時間，我們將知道每單位時間所走距離。

${\begin{matrix}v&=&{\frac {Distance\ travelled}{time\ taken}}\\&=&{\frac {628.3m}{120s}}\\&=&5.23\ m.s^{-1}\end{matrix}}$

3. 考慮圖中的A點

我們知道該男子在跑道上跑步的方向，也知道他的速度。他在A點的速度將是他的速度（速度的大小）加上他的運動方向（速度的方向）。他到達A點的瞬間正在運動，如下圖所示。

他的速度向量將是 $5.23\ m.s^{-1}$ 向西。

4. 考慮圖中的B點

我們知道該男子在跑道上跑步的方向，也知道他的速度。他在B點的速度將是他的速度（速度的大小）加上他的運動方向（速度的方向）。他到達B點的瞬間正在運動，如下圖所示。

他的速度向量將是 $5.23\ m.s^{-1}$ 向南。

4. 那麼，現在，該男子在A點和B點之間的平均速度是多少？

當他在圓周上跑步時，他不斷改變方向。（想象一下從圓周上指向的一系列向量箭頭，每個箭頭代表他走的一步。）如果你把所有這些方向加起來，並找到平均值，它會變成...對的。西南方向。並且，請注意，如果你只是查詢他在A點和B點的速度之間的平均值，它也會變成西南方向。因此，他在A點和B點之間的平均速度是 $5.23\ m.s^{-1}$ 向西南。

5. 現在我們需要計算他在完成一圈時的平均速度。平均速度的定義前面已經給出，需要知道總位移和總時間。完成一圈的總位移由初始點到終點的向量給出。如果該男子在圓周上跑步，那麼他將在起點結束。這意味著從他的初始點到他的終點的向量的長度為零。對他的平均速度的計算如下

${\begin{matrix}{\overrightarrow {v}}&=&{\frac {\Delta {\overrightarrow {s}}}{\Delta t}}\\&=&{\frac {0m}{120s}}\\&=&0\ m.s^{-1}\end{matrix}}$

記住：即使距離不為零，位移也可能為零！

加速度

定義：加速度是速度隨時間的變化率。

加速度也是一個向量。請記住，速度是位移隨時間的變化率，因此我們預計速度和加速度方程看起來非常相似。實際上

${\begin{matrix}{\overrightarrow {a}}={\frac {\Delta {\overrightarrow {v}}}{\Delta t}}={\frac {{\overrightarrow {v}}_{final}-{\overrightarrow {v}}_{initial}}{t_{final}-t_{initial}}}\end{matrix}}$

(3.2)

(自注：再次區分平均加速度和瞬時加速度！進一步擴充套件——這意味著什麼？)

當我們考慮力時，加速度將變得非常重要。

力

想象一下，你和你的朋友正在推放在光滑地板上的紙箱。你們倆一樣強壯。你能告訴我箱子會往哪個方向移動嗎？可能不行。因為我沒有告訴你你們每個人往哪個方向推箱子。如果你倆都往北推，箱子就會往北移動。如果你往北推，而你的朋友往東推，它就會往東北方向移動。如果你倆朝相反的方向推，它就不會移動！

因此，在處理作用在任何物體上的力時，考慮力的方向與力的大小一樣重要。所有向量都是如此。