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向量加法的技巧

現在您已經瞭解了向量的數學性質，我們將更詳細地討論向量加法。向量加法有很多技巧。這些技巧可以分為兩大類 - 圖形技巧和代數技巧。

圖形技巧

圖形技巧涉及繪製準確的比例圖來表示各個向量及其結果。接下來我們將討論兩種主要的圖形技巧，首尾相接法和平行四邊形法。

首尾相接法

在描述向量的數學性質時，我們使用了位移和首尾相接的圖形向量加法方法作為說明。在首尾相接的向量加法方法中，遵循以下策略

• 選擇比例幷包含參考方向。
• 選擇要相加的任何向量，並將其繪製為箭頭，箭頭指向正確的方向，長度也正確 - 記住在末端放上箭頭來表示其方向。
• 取下一個向量，將其繪製為箭頭，從第一個向量的箭頭開始，指向正確的方向，長度也正確。
• 繼續下去，直到你畫完每個向量 - 每次都從前一個向量的頭部開始。這樣，要相加的向量就按順序首尾相接地畫出來了。
• 然後，結果就是從第一個向量的尾部到最後一個向量的頭部所畫的向量。它的量級可以根據其箭頭的長度使用比例來確定。它的方向也可以根據比例圖來確定。

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例題 4 首尾相接法圖形加法 I

問題：一艘船從港口 H 出發，向北航行 6 km 到港口 A。從這裡，船向東航行 12 km 到港口 B，然後向西南航行 5.5 km 到港口 C。使用首尾相接法求船的合位移。

答案

現在，我們面臨著一個實際問題：在這個問題中，位移太大，無法按實際長度繪製！繪製一條 2 km 長的箭頭需要一本非常大的書。就像製圖師（繪製地圖的人）一樣，我們必須選擇一個比例。比例的選擇取決於實際問題 - 您應該選擇一個比例，以便您的向量圖適合頁面。在選擇比例之前，應該始終繪製問題的草圖。在草圖中，我們感興趣的是向量圖的近似形狀。

步驟 1 

讓我們畫出該情況的草圖

在草圖中，應該包含問題中給出的所有資訊。顯示了所有位移的大小，幷包含指南針作為參考方向。

步驟 2 

接下來，我們為我們的向量圖選擇一個比例。從草圖中可以清楚地看出，選擇一個 1 cm 代表 1 km 的比例 (比例：1 cm = 1 km) 將是這個問題中一個不錯的選擇（這樣圖就會佔據 A4 紙的好一部分）。現在我們開始進行精確的構建。

步驟 3 

構建步驟 1：從港口 H 開始，我們繪製第一個向量，長度為 6 cm，方向為北（記住，在圖中 1 cm 代表 1 km）

構建步驟 2：由於船現在在港口 A，我們繪製第二個向量，長度為 12 cm，從該點開始，方向為東

構建步驟 3：由於船現在在港口 B，我們繪製第三個向量，長度為 5.5 cm，從該點開始，方向為西南。需要使用量角器來測量 45^o 的角度。

構建步驟 4：作為最後一步，我們繪製從起點（港口 H）到終點（港口 C）的合位移。我們使用尺子測量該箭頭的長度，並使用量角器確定其方向

步驟 4 

現在，我們使用比例將比例圖中結果的長度轉換為問題中的實際位移。由於我們在這個問題中選擇了 1 cm = 1 km 的比例，因此結果的大小為 8.38   km。方向可以根據測量的角度來指定，可以是相對於北的 75.4^o 東，也可以是方位角 75.4^o。

步驟 5 

現在我們可以說出最終答案：船的合位移為 8.38   km，方位角為 75.4^o！

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例題 5 首尾相接法圖形加法 II

問題：一個人向東走了 40   m，然後向北走了 30   m。

a) 他走了多少總距離？

b) 他的合位移是多少？

答案

步驟 1 

這個人走了多少距離？在他旅程的第一部分，他走了 40   m，在第二部分，他走了 30   m。這給了我們 70   m 的總行程。 $40+30=70\ m$

步驟 2 

他的合位移是多少？這個人的合位移是從他開始的地方到他結束的地方的向量。它是他的兩個獨立位移的總和。我們將使用首尾相接法的精確構建來找到這個向量。首先，我們畫一個草圖

檔案:Fhsst vectors36.png

步驟 3 

接下來，我們選擇適合該問題的比例。比例 1 cm 代表 5 m (1 cm = 5 m) 是一個不錯的選擇。現在我們可以開始構建過程。

步驟 4 

我們繪製第一個位移，作為長度為 8 cm 的箭頭（根據比例，$8cm=8\times 5m=40m$)，方向為東

步驟 5 

從第一個向量的起點開始，我們將第二個位移繪製成一個 6cm 長的箭頭（根據比例 $6cm=6\times 5m=30m$)，方向為北方:</math>

步驟 6 

現在我們將起點與終點連線起來，測量該箭頭（合向量）的長度和方向。

步驟 7 

最後，我們使用比例將合向量在比例圖中的長度轉換為合位移的實際大小。根據所選比例，1cm = 5m。因此，10cm 表示 50m。則合位移為 50m，方向為東偏北 36.9^o。

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平行四邊形法則

當需要求兩個向量的合向量時，可以採用另一種圖形方法——平行四邊形法則。具體方法如下：

• 選擇一個比例和參考方向。
• 選擇要相加的兩個向量中的任意一個，將其繪製成具有正確長度和方向的箭頭。
• 以第一個向量的尾部為起點，繪製第二個向量，使其具有正確的長度和方向。
• 完成這兩個向量形成的平行四邊形。
• 則合向量為平行四邊形的對角線。其大小可透過比例圖中箭頭的長度確定。其方向也可以透過比例圖確定。

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例題 6

平行四邊形法則的圖形加法 I

問題：一個力 F₁ = 5 N 作用於一個水平方向的物體。第二個力 F₂ = 4 N 作用於該物體，與水平方向成 30° 角。

使用平行四邊形法則準確作圖，確定作用於該物體的合力。

答案

步驟 1 

首先，我們對向量圖做一個粗略的草圖。

步驟 2 

現在我們選擇一個合適的比例。在本例中，比例為 1 cm = 0.5 N 會比較合適，因為這樣向量圖會佔據頁面上的合理比例。現在我們可以開始準確的比例圖。

步驟 3 

首先，我們繪製 F₁。根據比例，它的長度為 10 cm。

步驟 4 

接下來，我們繪製 F₂。根據比例，它的長度為 8 cm。我們使用量角器繪製該向量，使其與水平方向成 30° 角。

步驟 5 

接下來，我們完成平行四邊形，並繪製對角線。

RIAAN 注：影像缺失 img155.png PDF 頁碼 51 檔案:Fhsst vectors43.png

步驟 6 

最後，我們使用比例將測量的長度轉換為實際大小。由於 1 cm = 0.5 N，因此 17.4 cm 表示 8.7 N。所以合力為 8.7 N，方向為水平方向向上 13.3°。

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平行四邊形法則僅限於兩個向量的相加。然而，它可能是加點作用的兩個力最直觀的方法。

向量的代數加減

直線上的向量

當遇到直線上作用的向量的加法（例如，一些向左，一些向右，或者一些向上，一些向下）時，可以使用一種非常簡單的代數方法。

• 選擇一個正方向。例如，對於涉及向西和向東位移的情況，可以選擇西方向為正方向。在這種情況下，向東位移為負。
• 接下來，只需將帶有適當符號的向量加（或減）起來。
• 最後，應以文字形式給出合向量方向（正答案為正方向，而負答案為負方向）。

讓我們考慮幾個例子。

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例題 7

向量的代數加法 I

問題：一個網球向右滾向距離為 10m 的牆壁。如果網球撞擊牆壁後在水平地面上向左滾動了 2.5m，用代數方法計算網球的合位移。

(自我注意：PGCE 建議一個“更真實”的圖，後面跟著一個用來解決問題的圖（就像我們現有的圖一樣，正方向用箭頭表示）)

答案

步驟 1 

讓我們畫出這個情況的圖片。

步驟 2 

我們知道網球的合位移 ( ${\overrightarrow {s}}_{resultant}$) 等於網球各個位移之和 ( ${\overrightarrow {s}}_{1}$ 和 ${\overrightarrow {s}}_{2}$ )

${\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&{\overrightarrow {s}}_{1}+{\overrightarrow {s}}_{2}\end{matrix}}$

由於網球的運動是一條直線（即網球向左和向右移動），我們可以使用上面介紹的代數加法方法。

步驟 3 

首先，我們選擇一個正方向。讓我們將向右設定為正方向。這意味著向左就變成了負方向。

步驟 4 

向右為正

${\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{1}&=&+10.0m\\&and&\\{\overrightarrow {s}}_{2}&=&-2.5m\end{matrix}}$

步驟 5 

接下來，我們只需將這兩個位移加起來即可得到合位移。

${\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&(+10m)+(-2.5m)\\&=&(+7.5)m\end{matrix}}$

步驟 6 

最後，在這種情況下，向右表示正數，因此

${\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&7.5m{\rm {\ to\ the\ right}}\end{matrix}}$

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讓我們考慮一個向量減法的例子。

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例題 8

用代數方法減去向量

問題：假設一個網球以 3 m.s⁻¹ 的速度水平地向右拋向牆壁。網球撞擊牆壁後，以 2 m.s⁻¹ 的速度返回拋球者。確定網球的速度變化。

答案

步驟 1 

請記住，速度是一個向量。網球速度的變化等於網球初始速度和最終速度之差

${\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&{\overrightarrow {v}}_{final}-{\overrightarrow {v}}_{initial}\end{matrix}}$

由於球沿直線運動（即左右），我們可以使用前面討論的向量減法的代數方法。

步驟 2 

讓我們將向右設為正方向。這意味著向左變為負方向。

步驟 3 

向右為正

${\begin{matrix}{\overrightarrow {v}}_{initial}&=&+3m.s^{-1}\\&and&\\{\overrightarrow {v}}_{final}&=&-2m.s^{-1}\end{matrix}}$

步驟 4 

因此，網球的速度變化為

${\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&(-2m.s^{-1})-(+3m.s^{-1})\\&=&(-5)m.s^{-1}\end{matrix}}$

請記住，在這種情況下，向右表示正數，因此

${\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&5m.s^{-1}{\rm {\textbf {\ to\ the\ {\emph {left}}}}}\end{matrix}}$

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請記住，前面討論的加減法只能應用於沿直線作用的向量。

更通用的代數方法

在例題 3 中，使用首尾相接法進行精確的構造來確定一個先向東然後向北走的人的合位移。但是，這個人合位移的計算無需繪製精確的比例圖。讓我們重新審視這個例子。

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例題 9

例題 3 的代數解

問題：一個人向東走 40 m，然後向北走 30  m。

1. 計算此人的合位移。

答案

步驟 1 

如前所述，粗略草圖如下所示

步驟 2 

請注意，由他的各個位移向量和他的合位移向量形成的三角形是一個直角三角形。因此，我們可以使用勾股定理來確定合位移的長度。如果合位移向量的長度稱為 s，則

${\begin{matrix}s^{2}&=&(40m)^{2}+(30m)^{2}\\s^{2}&=&2500m^{2}\\s&=&50m\\\end{matrix}}$

步驟 3 : 現在我們已經得到了合位移向量的長度，但還沒有得到它的方向。為了確定它的方向，我們計算角度 $\alpha$ 在合位移向量和東方向之間的角度。

我們可以使用簡單的三角函式來做到這一點。

${\begin{matrix}\tan \alpha &=&{\frac {opposite}{adjacent}}\\\tan \alpha &=&{\frac {30}{40}}\\\alpha &=&\arctan(0.75)\\\alpha &=&36.9^{o}\\\end{matrix}}$

步驟 4 

我們的最終答案是

• 合位移：東偏北 36.9^o，50 米

這與我們在繪製比例圖後得到的答案完全相同！

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在前面的例子中，我們能夠使用簡單的三角函式來計算一個人的合位移。這是因為該人的運動方向是垂直的（南北和東西）。然而，代數方法並不侷限於向量沿著同一直線或互相垂直的情況。以下示例說明了這一點。

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例題 10

透過計算進行向量加法的另一個例子

問題：一個人從 A 點走到 B 點，B 點在 A 點的方位角為 45^o，距離 A 點 12 公里。從 B 點，這個人再往東走 8 公里到 C 點。計算該人的合位移。

答案

步驟 1 : 讓我們先畫出這個情形的簡略示意圖。

RIAAN 注：第 56 頁的圖片丟失了 File:Fhsst vectors46.png

$B{\hat {A}}F=45^{o}$ 因為這個人最初的方位角是 45^o。然後，$A{\hat {B}}G=B{\hat {A}}F=45^{o}$ (平行線內錯角)。這兩個角度都包含在簡略示意圖中。

步驟 2 

現在讓我們計算合向量 (AC) 的長度。由於我們知道 $AB$ 和 $BC$ 的長度以及夾角 $A{\hat {B}}C$，我們可以使用餘弦定理

${\begin{matrix}AC^{2}&=&AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cos(A{\hat {B}}C)\\&=&(12)^{2}+(8)^{2}-2\cdot (12)(8)\cos(135^{o})\\&=&343.8\\AC&=&18.5\ km\end{matrix}}$

步驟 3 

接下來，我們使用正弦定理來確定角度 $\theta$

${\begin{matrix}{\frac {\sin \theta }{8}}&=&{\frac {\sin 135^{0}}{18.5}}\\\sin \theta &=&{\frac {8\times \sin 135^{o}}{18.5}}\\\theta &=&\arcsin(0.3058)\\\theta &=&17.8^{o}\end{matrix}}$

因此，$F{\hat {A}}C=62.8^{o}$

步驟 4 

我們的最終答案是

• 合位移：方位角 62.8^o，18.5 公里

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