分形/計算機圖形技術/2D/平面反演

在數學和邏輯中，反演可能指的是（消歧義）

• 對合，一個函式，它是自身的逆函式（當應用兩次時，得到起始值）
• 離散數學中的反演，序列中任何一個位置錯誤的項
• 逆元素
• 反演幾何，如圓反演，歐幾里得平面的變換，將廣義圓對映到廣義圓
• 點反演，或點反射，歐幾里得空間中的一種等距（保持距離）變換
• 反演變換，一種保角變換（保留交點角度）
• 反演法，球面（或平面）中調和函式的影像；參見[影像電荷法
• 乘法逆元] 數的倒數（或任何其他定義了乘法函式的元素型別）
• 矩陣反演，對矩陣執行的操作，得到其乘法逆元
• 模型反演
• 集合反演

曲線和曲面的反演

在反演幾何中，反演是歐幾里得平面的變換，如

• 圓反演
• 拋物線反演

• 
  拋物線反演 = 心形線
• 
  球面立體投影作為球面的反演
• 

平面反演

平面反演是平面變換的一個例子。反演變換是一種保角變換（保留交點角度）。 反演可以與其他變換組合，如平移。

引數平面（具有曼德勃羅集）反演

透過平面型別進行的反演

• 標準曼德勃羅集（c-平面）的反演 $f_{c}(z)=z^{2}+c$
• λ 曼德勃羅集（λ 平面）的反演 $z=\lambda z(1-z)$

c-平面

由Nikola Ubavić：Žulijev i Mandelbrotov skup（塞爾維亞語）描述

• 以零為中心的單位圓進行的反演與共軛（相對於實線的軸對稱）的合成。曼德勃羅集邊界中“標準”引數化的心形線對應於 1/c 引數化中的淚滴形曲線。
• 反演的 c-平面：“...幾何上，...引數之間的關係表示以零為中心的單位圓進行的反演與共軛（相對於實線的軸對稱）的合成。由於這種聯絡，曼德勃羅集邊界中“標準”引數化的心形線對應於 α 引數化中的淚滴形曲線。”
• “如果在反演 1/4 之前執行平移，那麼心形線將被對映到拋物線上” $z=z^{2}+{\frac {1}{c+1/4}}$

由David E. Joyce：朱利亞集和曼德勃羅集。替代引數平面描述

• 心形線的逆是淚滴形外部。心形線外部的圓被反演到淚滴形內部的圓。心形線的尖端變成了淚滴形的尖端。

• 
  c-平面
• 
  反演的 c 平面 = 1/c 平面
• 
  λ 曼德勃羅集的不同平移的反演
• 
  無平移的 c 族反演

Arneauxtje 的連續反演方法

• 曼德勃羅集反演，在一張影像中使用 4 種不同的方法
• 曼德勃羅集反演再探

Arneauxtje 的描述：將集合主體的心形線轉換為圓的變換。這在 c 空間（a+ib）中完成，如下所示

rho=sqrt(a*a+b*b)-1/4
phi=arctan(b/a)
a-new=rho*(2*cos(phi)-cos(2*phi))/3
b-new=rho*(2*sin(phi)-sin(2*phi))/3

然後，有 4 種不同的方法可以從 c 到 1/c，這些方法分為 3 個家族

• 加法：c -> c-c*t+t/c 和 t=0..1
• 乘法：c -> c/(t*(c*c-1)+1) 和 t=0..1
• 指數運算：c -> c^t 和 t=1..-1

前兩個方法很容易計算出來。第三種利用了以下事實

• c = a+ib = r*exp(i*phi)，其中 r=sqrt(a*a+b*b) 和 phi=arctan(b/a)
• 那麼 c^t = r^t*exp(t*i*phi) = r^t*[cos(t*phi)+i*sin(t*phi)]

λ 平面

λ 曼德勃羅集：$z=\lambda z(1-z)$

由Nikola Ubavić：Žulijev i Mandelbrotov skup（塞爾維亞語）描述

• “透過圍繞零點以單位圓為中心的複雜平面進行反演，這些圓中的一個保持不變，而另一個影像在它裡面。” $z={\frac {z(1-z)}{\lambda }}$
• “如果...在反演 1 之前執行平移，那麼兩個圓將被對映到兩條平行線上。這樣就得到了下面兩幅圖中的第二幅。” $z={\frac {z(1-z)}{\lambda +1}}$

• 
  λ 平面
• 
  1/λ 平面

影片

• Cat Eye Revisited by denis archambaud

動態平面（具有朱利亞集）反演

• f(z) = z^2+c 轉換為 f(z) = z^2 + 1/c
• 在半徑為1的圓內反轉多項式公式Ax(1-x)，得到公式f(x)= x^2/A(1-x)。

• 內爆花椰菜
• 
  帶BD的z平面
• 
  帶BD的w = 1/z平面

巴西利卡

• 正常巴西利卡 f(z) = z^2 - 1
• 反轉巴西利卡
  • 有理數，度數= 2 : 反轉巴西利卡 : f(z) = z^2/(z^2 -1)

• 
  巴西利卡
• 
  反轉巴西利卡
• 
  反轉巴西利卡作為包含臨界點及其前像的區域的邊界

影片

• The Donut Man的反轉Julia集

參考資料

• Mandelbrot集-替代引數平面
• 內爆花椰菜 - 是c=1/4+epsilon的Julia集，其中epsilon>0。有多少種不同的方法可以顯示這種集合？