分形/複平面迭代/引數平面

引數平面

• 結構
• 演算法
• 模型

引數平面的結構

二次對映的相空間稱為其引數平面。在這裡

• $z0=z_{cr}\,$ 是常數
• $c\,$ 是變數

這裡沒有動力學。它只是一組引數值。引數平面上沒有軌道。

引數平面由 

• 曼德勃羅集
  • 分岔軌跡 = 曼德勃羅集的邊界
  • 曼德勃羅集的有界雙曲分量 = 曼德勃羅集的內部

從程式設計師的角度看引數平面的結構

• M 集的外部
• 每個分量都被一個原子域包圍（半徑大 4 倍的圓盤，對於心形，半徑大約是大小的平方根）。
• 每個分量在其中心都有一個核，該核有一個包含 0 的週期軌道。

引數平面的部分

• 分量（包括島嶼）
• 曲線
• 點

曲線或路徑

曼德勃羅集包含光滑曲線

• 與實軸的交集 M ∩ R = [−2, 1/4] = 曼德勃羅集的實數切片
• M 的主心形，它是引數 c 的集合，對於這些引數，fc 具有吸引或無差異的不動點（當然，除了尖點 c = 1/4 之外，它是光滑的）。
• 週期 2 雙曲分量的邊界，它是一個圓

路徑

• 外部射線
• 內部射線
• 逃逸路線

實數切片

" 每個週期加倍級聯超穩定軌道 ... 生成相應的混沌帶 $B_{n}$ 和 Misiurewicz 點 $m_{n}$，它將混沌帶 $B_{n=1}$ 和 $B_{n}$ 分開 "

$B\prec MF\prec A$

其中

• B 是從 -2 到 MF 的混沌區域
• $c=MF=m_{\infty }=b_{\infty }=-1.4011551890......$ = 費根鮑姆點 = 米爾伯格-費根鮑姆點
• A 是一個週期區域：從 MF 到 1/4
• $\prec$ 是優先於符號。二元關係：“x 優先於 y” 寫作：$x\prec y$。它用於區分其他順序與全序。

混沌區域

$B_{0}\prec B_{1}\prec B_{2}\prec ...\prec B_{\infty }$

其中

• $B_{m}$ 是 混沌帶 $B_{m}=(2n+1)\cdot 2^{m}$

 $3*2^{m}\prec 5*2^{m}\prec 7*2^{m}\prec ...\prec \infty$
 

另見

• 帶之間的分隔符
• 它是 謝爾賓斯基排序 的一部分

週期區域

週期倍增級聯

• 2^n = 2 的冪，按降序排列，最後為 2^0 = 1。“

$2^{\infty }\prec ...\prec 2^{2}\prec 2^{1}\prec 2^{0}$

曼德布羅特集的命名部分

山谷:

• 雙螺旋
• 紡錘
• 海馬山谷/海岸（或東海馬山谷）
  • 主心形海馬山谷 = 頭部（週期 2 部分）和身體（或肩膀 = 主心形）之間的間隙。特別是上面的部分。
  • 圓盤 3 海馬山谷 = 週期 1 和週期 3 之間的間隙
• 象山谷 = 主心形尖點附近的間隙。這裡的天線類似於大象的鼻子
  • 象海岸 = 主心形尖點附近的邊界
• 權杖山谷 = 週期 2 和週期 4 部分之間的間隙，也稱為西海馬山谷或權杖山谷。“權杖山谷” 其中雙螺旋有權杖（呼應紡錘）從它們的所有尖端伸出來。
  • 雙螺旋山谷 =
  • 雙螺旋海岸 = 週期 2 部分靠近主心形的邊界
• 三重螺旋海岸（山谷） - 週期 3 部分靠近週期 1 心形的邊界

零件

• 孔雀眼 = 海馬山谷的灌木叢（裝飾） = 具有所有分支的主要米西烏里維奇點
• 海馬
• 大象 = 當 n 趨於無窮大時，主心形的極限 1/n 肢體。參見 沃爾夫·榮格編寫的程式 mandel 的演示 2 第 10 頁

• 
  頭部和身體之間的間隙 = **海馬山谷**
• 
  左側是雙螺旋，右側是海馬
• 
  曼德布羅特集的片段，稱為 **象山谷**

迷你曼德布羅特集

名稱

• 矮子
• 迷你曼德布羅特集
• 嬰兒曼德布羅特
• 島嶼 = 島嶼 mu 分子 = 島嶼 mu 單元
• 原始成分
• 自己的小型副本
• 嬰兒曼德布羅特集 = BMSs

迷你曼德布羅特集的引數射線

“複雜動力系統中的鞍節點（拋物線）週期點通常允許同宿點，在這些同宿點是非退化的的情況下，這伴隨著在相應引數平面中存在無限多個嬰兒曼德布羅特集收斂到鞍節點引數值。” 德瓦內

另見

• 如何找到落在任何曼德布羅特整合分的根點的外部射線角度，該成分不能透過有限數量的邊界交叉從主心形（M0）訪問？
• 扭曲的島嶼

茱莉亞島或嵌入茱莉亞集或虛擬茱莉亞集或獎章

• “由細絲組成的結構，在外觀上類似於茱莉亞集，其豪斯多夫維數比周圍區域的細絲更高。它們有時也被稱為茱莉亞島或虛擬茱莉亞集。” 羅伯特·穆納福
• "這個位置被稱為茱莉亞島，因為它看起來像茱莉亞集，但實際上它位於曼德勃羅集內部。"

• 
• 

獎章

• 胡蘿蔔 = 非螺旋獎章 (-1.6898799090349986e-01 1.0423707254693195e+00 3.0218142193747843e-07 ) 型別：長雙精度型
• 花椰菜 = 單螺旋獎章 (-0.1543869 1.0308295 3.0218142193747843e-07 ) 型別：長雙精度型
• 雙螺旋獎章 (-0.16092059 1.03663239 0.000001 ) 型別：長雙精度型
• 三螺旋獎章 ( -1.5403777941777627e-01 1.0369221371305641e+00 6.5186720162412668e-07 ) 型別：長雙精度型

雙曲分量

• 引數平面的分量

雙曲分量的順序

• Myrberg 1963
• Sharkovsky 1964
• Metropolis 1973
• 內部地址 由 Lau 和 Schleicher 於 1994 年提出
• 旋轉數 由 Devaney 於 1997 年提出
• R2 命名系統由 R Munafo 於 1999 年提出
• 軌道肖像 由 Milnor 於 2000 年提出
• 灌木 由 M Romero 等人於 2004 年提出

形狀

• 關於基本域的形狀，或者為什麼曼德勃羅集是由近乎理想的圓圈組成的 by V. Dolotin A.morozov
• 離散動力系統的代數幾何。單變數情況 by V.Dolotin, A.Morozov

引數平面的部分

• 關於曼德勃羅集
  • 外部
  • 邊界 帶有不同的點型別：克萊莫，西格爾，拋物線，米修列維奇，費根鮑姆，...
  • 內部
• 關於尾跡
  • 在 p/q 尾跡 內
  • 在任何尾跡之外 (???)

根據 M Romera 等人的曼德勃羅集的組成部分：

• • 主心形
  • q/p 族 (= q/p 肢體)
    • 週期部分：雙週期級聯的雙曲分量，最終在米爾貝格-費根鮑姆點結束
    • 米爾貝格-費根鮑姆點
    • 混沌部分：灌木

注意她的 q/p 而不是 p/q 表示法

引數平面的分量

• 尾跡 / 肢體
• 米格代特 / 島嶼 / μ-分子
  • 扭曲 = 翹曲
• 曼德勃羅集的雙曲分量

尾跡是引數平面的一部分，它位於兩個落在同一個拋物點（根點，鍵）上的引數射線之間。

肢體是曼德勃羅集的一部分，它位於兩個落在同一個拋物點（根點，鍵）上的引數射線之間。

來自論文 週期軌道、外部射線和曼德勃羅集：一個解釋性說明 by John W. Milnor 中的嚴格（數學）定義

定理 1.2. 尾跡 ${\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$. 兩個對應的引數射線 ${\mathcal {R}}_{{\mathit {t}}\pm }^{\mathit {M}}$ 落在引數平面的同一個點 $\mathbf {r} _{\mathcal {P}}$ 上。這些射線與其著陸點一起將平面切成兩個開集

• ${\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$
• 和 $\mathbb {C} \setminus {\overline {{\mathit {W}}_{\mathcal {P}}}}$

具有以下性質：一個二次對映 $f_{c}$ 具有排斥軌道，其肖像為 ${\mathcal {P}}$ 當且僅當 $c\in {\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$，並且具有拋物線軌道，其肖像為 ${\mathcal {P}}$ 當且僅當 $c=\mathbf {r} _{\mathcal {P}}$.

定義

• 曼德勃羅集 ${\mathit {M}}$
• 這個開集 ${\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$ 將被稱為引數空間中的 ${\mathcal {P}}$-尾流（參見 Atela [A]），
• $\mathbf {r} _{\mathcal {P}}$ 將被稱為該尾流的根點
• 交集 ${\mathit {M}}_{\mathcal {P}}={\mathit {M}}\cap {\overline {{\mathit {W}}_{\mathcal {P}}}}$ 將被稱為 ${\mathcal {P}}$-曼德勃羅集的肢體
• 開弧 $I_{S_{1}}=(t_{-},t_{+})$ 由以下組成：
  • 所有包含在 S1 內部 的動力射線 ${\mathcal {R}}_{t}^{\mathcal {K}}$ 的角度，
  • 或者所有包含在 ${\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$ 的引數射線 ${\mathcal {R}}_{t}^{\mathcal {M}}$ 的角度，將被稱為軌道肖像 ${\mathcal {P}}$ 的特徵弧 ${\mathcal {I}}={\mathcal {I}}_{\mathcal {P}}$

命名型別（名稱來源）

• mu-ency
• Mandelbrot 論文和書籍

如何在引數平面上移動 ?

• 
  每幀的 C 值透過公式計算：C=r*cos(a)+i*r*sin(a)，其中：a=(0..2*Pi)，r=0.7885。因此，引數 С 在複平面原點處勾勒出一個半徑為 r=0.7885 的圓。
• 
• 
  縮放並平移到 Feigenbaum 點

• 內爆 : 從圓形透過花椰菜到內爆的花椰菜
• 
  c=0
• 
  c=1/4
• 
  c= 1/4 + 0.05
• 
  c = 1/4 + 0.029
• 
  c = 1/4 + 0.035

如何選擇移動的步長 ?

• 固定大小步長 / 自適應大小步長
• 移動的最小尺寸

"For c values that could not be represented accurately by C++ double data type I calculated the images using interval arithmetics with tiny intervals (border values being fractions of 2^25, interval width 2^-25) encompassing the published value (as needed for real or imaginary part or both) (values were computed using wolfram-alpha to multiply large integers). Given is the left (smaller) border value, the right is obtained by adding one." marcm200

為什麼是 : 2^-25  ?

"When I started with this article back in March this year, my initial formulas were z^2+c and z^2+c*z.

In expanded form with real coordinates: z=(x+i*y) and c=(d+e*i):

( x²-y² + d, 2xy + e )  or ( d*x + x² - e*y - y² , e*x + d*y + 2x*y )

To accurately represent a sum, the widest two terms can be apart is 53 bits (mantissa precision for C++ double) and all other must lie in this range.

The smallest non-zero value of x,y is "axis range / pixel count", i.e. 4 (escape radius of 2, hence axis -2..+2) divided by 2^refinement level.

So for x^2 this goes to 2^-26 as the lowest possible value for x. And since d,e are multiplied with x in the 2nd formula, the same goes for d and e. As I do not like to work "on the edge" I used a buffer of 1-2 bits and came to  the lowest value of 2^-25 for d,e (and refinement level limit of 27 which is currently outside a reasonable range).

For the 1st formula z^2+c, the seed value could go as little as 2^-48 (stated in the article) as it is only added.

For long double and float128 one could go lower in both formulas, but I haven't explored that."marcm200

比較

• 數值計算和嚴格的數學
• 可靠計算，區間計算

型別

• 移動的型別
  • 連續
  • 離散 = 使用點序列
• 曲線的型別
  • 沿著徑向曲線 
    • 逃逸路線
    • 外部射線：從康托爾到沿著外部射線的拋物線引數
    • 拋物線點 = 根點 = 上述外部射線的著陸點
    • 內部射線：從雙曲到沿著內部射線的拋物線引數
  • 沿著圓形曲線 
    • 等勢線
    • 雙曲分量的邊界
    • 內部圓形曲線
  • 迴圈

沿著曲線移動的多項式的動力學是 :

• 對於外部射線：“拉伸”無窮大盆地的動力學。φPa,b (2a) 的引數保持不變（固定）
• 對於等勢線：扭曲逃逸臨界點和臨界值的格林能級曲線之間的環帶中的動力學。φPa,b (2a 的模數固定

例子

• 
  點 c 沿著主心形邊界移動到 c=0.75（Mandelbrot 集的週期 2 分量的根點），使用一個序列

外部射線

• 從康托爾到沿著外部射線的半雙曲引數
• 沿著引數外部射線，角度為 9/31，作者：David Madore : 它的外部引數始終為 9/31，並且以指數速度緩慢地接近芽的根 (~ −0.481763 + +0.531657i)。
• 外部角度 1/3，作者：David Madore
• 康托爾到 Misiurewicz：沿著角度為 15/56 的引數射線，作者：Tomoki Kawahira
• 康托爾到拋物線，沿著角度為 1/3 的引數射線：作者：Tomoki Kawahira

分量的邊界

• Mandelbrot 集的最大球的邊界，作者：David Madore

其他

• 變形
• 用於縮放動畫的 poincare_half-plane_metric，作者：Claude Heiland-Allen
• youtube：Julia 集隨著 C 在 Mandelbrot 集上平移，作者：captzimmo
• youtube : Julia 集關於主心形，放大 1.1 倍，以及 Mandelbrot 集，作者：Thomas Fallon
• youtube：相對於 Mandelbrot 集的 Julia 集，作者：Gary Welz
• you tube : 二次方程的 Julia 集，作者：Gary Welz
• youtube : Julia 集圍繞心形/中心球變形，作者：blimeyspod
• youtube : Julia 集變形/分形動畫 - 超越心形周長，作者：blimeyspod
• youtube：Julia 集變形/分形動畫 - 超越二階球，作者：blimeyspod
• 分形：Julia 集之旅，作者：corsec
• shadertoy : Julia - 距離，作者：iq
• 演化 Julia，作者：Marco_Gilardi

 // glsl code by iq from https://www.shadertoy.com/view/Mss3R8
 float ltime = 0.5-0.5*cos(time*0.12);
 vec2 c = vec2( -0.745, 0.186 ) - 0.045*zoom*(1.0-ltime);

 // glsl code by xylifyx  from https://www.shadertoy.com/view/XssXDr
 vec2 c = vec2( 0.37+cos(iTime*1.23462673423)*0.04, sin(iTime*1.43472384234)*0.10+0.50);

 // by Marco Gilardi
 // https://www.shadertoy.com/view/MllGzB
 vec2 c = vec2(-0.754, 0.05*(abs(cos(0.1*iTime))+0.8));

逃逸路線

• 
  逃逸路線 1/2

逃逸路線 0

內部角度為 0/1 的逃逸路線

步驟

• 週期 1 分量的核（c = 0）固定點 alfa 是超吸引固定點。Julia 集是連通的。
• 沿著內部射線 0。引數 c 的虛部為零。0 < cx < 0.25。固定點 alfa 是吸引固定點。Julia 集是連通的。
• 拋物線點 c = 1/4。固定點 alfa 是拋物線固定點。Julia 集是連通的。
• 沿著外部射線 0。引數 c 的虛部為零。0.25 < cx。固定點 alfa 是排斥固定點。Julia 集是不連通的

這裡發生了拋物線內爆/爆炸（從連通到不連通）。在拋物線點，子週期點與父週期點重合

沿著逃逸路線 0（拋物線內爆）的連續動力學演化

引數 c	c 的位置	Julia 集	內部	臨界軌道動力學的型別	臨界點	固定點	alfa 的穩定性
c = 0	中心，內部	連通	存在	超吸引	被 alfa 固定點吸引	臨界固定點等於 alfa 固定點，alfa 是超吸引的，beta 是排斥的	r = 0
0<c<1/4	內部射線 0，內部	連通	存在	吸引	被 alfa 固定點吸引	alfa 是吸引的，beta 是排斥的	0 < r < 1.0
c = 1/4	尖點，邊界	連通	存在	拋物線	被 alfa 固定點吸引	alfa 固定點等於 beta 固定點，兩者都是拋物線的	r = 1
c>1/4	外部射線 0，外部	不連通	消失	排斥	排斥到無窮大	兩個有限固定點都是排斥的	r > 1

穩定性 r 是乘子在固定點 alfa 處的絕對值

$r=|m(z_{\alpha })|$

c = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0000000000000000 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0513167019494862+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0513167019494862 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1055728090000841+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1055728090000841 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1633399734659244+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1633399734659244 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2254033307585166+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2254033307585166 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2928932188134524+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2928932188134524 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.3675444679663241+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.3675444679663241 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.4522774424948338+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.4522774424948338 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.5527864045000419+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.5527864045000419 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.6837722339831620+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.6837722339831620 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.9999999894632878+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.9999999894632878 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.3162277660168377*I 	 r(m) = 1.0488088481701514 	 t(m) = 0.0487455572605341 	period = 1
 c = 0.3000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.4472135954999579*I 	 r(m) = 1.0954451150103321 	 t(m) = 0.0669301182003075 	period = 1
 c = 0.3250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.5477225575051662*I 	 r(m) = 1.1401754250991381 	 t(m) = 0.0797514300099943 	period = 1
 c = 0.3500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.6324555320336760*I 	 r(m) = 1.1832159566199232 	 t(m) = 0.0897542589928440 	period = 1

• 沿著內部/外部射線 0 的動力學演化
• 
  中心 = 超吸引
• 
  吸引
• 
  拋物線
• 
  排斥

• 
• 
• 
• 

• 目標集
• 內部能級集
• 二進位制分解
• 完整圖塊 = 二進位制分解和內部能級集

引數平面的實切片：imag(c) = 0

引數 c 值	c 位置的描述	固定點	Julia 集	盆地	目標集（花瓣）
1/4 < c	點 c 位於外部射線 0 上	兩個固定點都是排斥的	不連通	只有一個吸引盆地（無窮大）
c = 1/4	主心形的尖點	兩個固定點都是拋物線的（屬於 Julia 集）	連通 = 花椰菜		圓形
0 < c < 1/4	在主心形內部，沿著內部射線 0	Treść komórki	Treść komórki
c = 0	主心形的中心	Treść komórki	Treść komórki
0 < c < 3/4	在主心形內部，沿著內部射線 1/2	Treść komórki	Treść komórki
c = 3/4	根點（拋物線）	Treść komórki	Treść komórki
3/4 < c < 1.0	在週期 2 分量內部，沿著內部射線 0	Treść komórki	Treść komórki
c = 1.0	週期 2 分量的中心	Treść komórki	Treść komórki
1/0 < c < 5/4	在週期 2 分量內部，沿著內部射線 1/2	Treść komórki	Treść komórki
c = 5/4	根點（拋物線）	Treść komórki	Treść komórki

週期 1 點的穩定性指數	動力學平面上的週期 1 點	引數平面上的週期 1 點
從吸引透過無差別到排斥的變化	從 Kc 的內部移動到其邊界	從 M 集的分量的內部移動到其邊界

逃逸路線 1/3

• 沿著 internal1/3 的動力學演化
• 
  帶有逃逸路線 1/3 的引數平面
• 從中心到拋物線的動畫
• 
  超吸引 = 週期 1 的中心
• 
  拋物線 = 邊界
• 
  超吸引 = 週期 3 的中心

平面型別

平面分類標準

• 分形公式（函式）：c-平面，lambda-平面
• 平面變換

引數平面有很多不同的型別

• 根據函式分類
  • 普通 c 平面: $z=z^{2}+c$
  • 普通 lambda 平面 $z=\lambda z(1-z)$ 其中 $c={\frac {\lambda }{2}}-{\frac {\lambda ^{2}}{4}}$
• 根據變換分類
  • 反轉 c 平面 = 1/c 平面: $z=z^{2}+c^{-1}$
  • 指數平面 (對映)
  • 展開 平面 (將心形展平 = 展開 ) = “心形上的一段區域被連續放大和拉伸，使得心形的那段區域成為一條線段。...” (《分形影像的科學》第 204-205 頁的圖 4.22)

• 
  c 平面
• 
  反轉 c 平面 = 1/c 平面
• 
  ${\frac {c^{2}}{c^{4}-0.25}}$ 平面
• 
  週期為 7-13 的曼德布羅特集展開主心形

• 
  lambda 平面
• 
  1/lambda 平面

另見

• 曼德布羅特集: 備選引數平面

按維度分類的引數空間型別

• 一維 ( 1 個實數引數)
• 二維 ( 1 個複數引數): 標準曼德布羅特集，這裡空間是二維平面
• 四維 ( 2 個複數引數) : 由 marcm200 給出的 f(z) = z^n+A*z+c 族
• 六維 ( 3 個複數引數) : 由 Valannorton 給出的公式 f(x)=mx(1-x)(x+b)/(x+d) 中使用的複數引數 m、b 和 d 的六維空間

只能在多維空間中顯示二維切片。

點

• 實數

如何描述 c 點 ?

數值描述

• c 值
  • 笛卡爾座標描述
    • 實部
    • 虛部
  • 極座標描述
    • (外部或內部) 角
    • (外部或內部) 半徑，請參閱穩定性指數

符號描述

• 集合關係: 茱莉亞集內部 / 邊界 / 外部

如何儲存點的引數?

• 引數檔案: 儲存引數值的 檔案
• 帶有儲存引數的影像檔案

重要點的示例

來自引數平面和曼德布羅特集的示例

• 西北部外部角度為 3/8
• 北部外部角度為 1/4
• 東北部外部角度為 1/8
• 西部外部角度為 1/2
• 東部外部角度為 0
• 西南部外部角度為 5/8
• 南部外部角度為 3/4
• 東南部外部角度為 7/8,

點型別

點

• 引數平面的畫素
• 復二次多項式 $f_{c}(z)=z^{2}+c$ 的 c 引數
• 複數
• 點座標

標準

引數平面點分類標準 

• 內部角度（旋轉數）或外部角度的算術性質
  • 對於外部點的情況
    • 角度型別 : 有理數、無理數......
    • 角度在倍增對映下的前週期和週期
  • 對於邊界點的情況 
    • 外部角度在倍增對映下的前週期和週期
    • 內部角度在倍增對映下的前週期和週期
• 集合屬性（與曼德布羅特集和尾跡的關係）
  • 內部
  • 邊界
  • 外部
    • 尾跡內部、子尾跡
    • 在所有尾跡之外，屬於落在西格爾或克雷默引數上的引數射線，
• 幾何屬性
  • 落在邊界點上的外部射線的數量 : 尖端 ( 1 個射線)、雙可達、三可達......
  • 臨界點相對於茱莉亞集的位置
• 重整化

分類

沒有完整的分類。 “未分類” 引數是不可數無限的，相關的角度也是不可數無限的。

簡單分類

• 曼德布羅特集外部
• 曼德布羅特集
  • 曼德布羅特集的邊界
  • 曼德布羅特集內部（雙曲引數）
    • 中心，
    • 其他內部點（內部射線的點）

定義

• 曼德博集合邊界 ∂M 上的一個引數 c 如果臨界點是非迴圈的且屬於 Julia 集，則該引數 c 為半雙曲的。^[44]
  • 半雙曲引數的一個典型例子是 Misiurewicz 點：如果 fcˆ 的臨界點是前週期點，則我們稱引數 ˆc 為 Misiurewicz 點。

邊界點部分分類

分類 ：^[45]

• 原始和衛星雙曲分量的邊界
  • 拋物線（包括 1/4 和原始根，它們是具有有理外部角的 2 個引數射線的著陸點 = 雙可達）。
  • Siegel（具有無理外部角的唯一引數射線著陸點）
  • Cremer（具有無理外部角的唯一引數射線著陸點）
• M 的邊界，不包括雙曲分量的邊界
  • 非可重整化（具有有理外部角的 Misiurewicz 點和其他）。
  • 可重整化
    • 有限重整化（Misiurewicz 點和其他）。
    • 無限重整化（Feigenbaum 點和其他）。落在 Feigenbaum 點上的外部射線的角度以圈數為單位是無理數。
• 非雙曲分量（我們認為它們不存在，但我們無法證明）。非雙曲分量的邊界也將是無限重整化的。

這裡的“其他”沒有完整的描述。多項式可能具有區域性連通的 Julia 集或沒有，臨界點可能迴圈或不迴圈，分支點處的分支數可能是有界的或沒有......

如何從引數平面選擇一個點 ？

• 取一個點（並檢查其性質）
  • 由其他人選擇引數（視覺選擇）
  • 點選引數點並檢視結果（隨機選擇）^[46]
• 根據其已知性質計算一個點
  • 對於（拋物線點），選擇雙曲分量（週期，數量）和內部角（= 旋轉數），然後計算 c 引數。
  • Misiurewicz 點^[47]
  • 另請參見^[48]中的已知區域
  • 變形
  • 有趣的區域^[49]
• 縮放
  • 自動縮放
  • math.stackexchange 問題：value-to-use-as-center-of-mandelbrot-set-zoom
  • David J. Eck 提供的 Mandelbrot 示例引數
  • 示例

引數調整是一種習得的藝術，還是純粹的隨機機會？

 "From my own experience with monocritical polynomials and Lyapunov diagrams, all my images I found purely by chance.
 For z^2+c e.g. as long as you're in the same hyperbolic component, the shape changes only in the sense, that a fat spiral might become thinner, but the number of arms stays constant. 
 If you move the c value out of that    component into another - and if this 2nd component is not directly attached to the first, then, I'm not aware of a direct way of telling what it would look like there.

Usually I perform a parameter walk just computing black and white escape images with periodicity. Then for  the interesting shapes/periods I apply a color walk with some gradients that looked fine in previous images. 
But that's  more or less guessing.

If you want to turn more into the constructing-an-image from a vision you have, you might try two articles: genetic algorithm and Leja points"  marcm200

曼德博集合 : z^6+ A*z+c 如何找到如此有趣的示例 ？

" I'm running from time to time an A,c-parameter space walk (brute force) in a rather wide grid (-2..+2 in ~0,01 or larger steps) for the family z^n+A*z+c, adding a small random dyadic fraction to the 4d coordinates to get variation. 
Following numerically the orbits of the critical points with a rather high max it of 25000 it's possible to get the number of attracting cycles and their length to some accuaracy level in a decent time. If those A,c-parameter pairs pass some filters (mostly sum of length of cycles and diversity) I scan through small overview pictures manually.
Then I use interesting A,c pairs (shape-wise or from the filter values) and some small deviations from it to compute level 10-12 TSA images, as sets wiith similar shapes can show a different dynamical behaviour w.r.t. the level at which interior cells emerge.
I'll take the fastest one and see how many cycles can be detected up to level 18-19." marcm200

曲線

在引數平面上的曲線

• 射線
  • 引數外部射線
  • 內部射線
• 等勢線
• 邊界
  • 整個曼德博集合的
  • 雙曲分量的

演算法

• 通用或表示函式
  • 布林逃逸時間
    • BDM/M
  • 復勢
• 原子域
• bof60
• Lyapunov 指數
• 真實形狀
• 離散拉格朗日描述符
• 組合 : 調整
  • 尾流
  • 主心形尾流 k/r 的原理 Misiurewicz 點
  • 子尾流，調整和內部地址
  • 根，島嶼和 Douady 調整
• Julia 變形 - 用於雕刻曼德博集合部分的形狀（縮放）並顯示拐點

模型

• 
  曼德博集合的拓撲模型（反映物件的結構）。沒有迷你曼德博集合和 Misiurewicz 點的曼德博集合的拓撲模型（仙人掌模型）
• 
  曼德博集合的灌木模型
• 
  使用 Lavaurs 演算法對曼德博集合進行拓撲建模，直到週期 12

曼德博集合的結構

• Sharkovsky 排序

尺寸或面積

• Kerry Mitchell 的 mandelbrot-area（2001 年）
• A.C. Fowler 和 Mark J. Mcguinness 的曼德博燈泡尺寸

如何為任意縮放級別確定曼德博分形中的理想最大迭代次數

• a-way-to-determine-the-ideal-number-of-maximum-iterations-for-an-arbitrary-zoom
• 由 Robert Munafo 編寫的曼德博集合詞彙表和百科全書中的自動駐留限制（版權所有 1987-2023）。
• stackoverflow 問題：how-many-iterations-of-the-mandelbrot-set-for-an-accurate-picture-at-a-certain-z
• stackoverflow 問題：calculate-a-dynamic-iteration-value-when-zooming-into-a-mandelbrot
• 根據放大倍數的平方根倒數自適應 maxiter

另見

• Julia 集型別
• 精確座標 by  Robert P. Munafo，2003 年 9 月 22 日。
• 有理座標   by Robert P. Munafo，2012 年 4 月 22 日。