這本書展示瞭如何為繪製引數平面^[1]（曼德博集^[2]）的復二次多項式^[3]編寫不同的演算法。

人們可以在引數平面上找到不同型別的點/集^[4]。

此頁面介紹曼德博集的內部點^[5]。

曼德博集內部 - 雙曲分量

“捕獲時間”演算法：收斂所需的迭代次數

The “capture-time algorithm” is a natural counterpart for points inside the set to the “escape-time algorithm”. Given some desired tolerance, the orbit P is generated for each point c ∈ C until some point in the orbit is closer than to some previous point in the orbit. The number of iterations needed for this to occur is mapped to a color and displayed at the pixel corresponding to c. Adam Cunningham^[6]

李雅普諾夫指數

整個集合
迷你曼德博集
實二次對映

數學公式 :^[7]

$\lambda _{f}(z_{0})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\left(\ln \left|f'(z_{i})\right|\right)$

其中

$f'(x)={\frac {d}{dz}}f_{c}(z)=2z$

表示 f 對 z 的一階導數

另請參閱

janthor 的影像和描述^[8]
Anders Sandberg 的影像^[9]

JPBotelho 的 HLSL 程式碼^[10]

Shader "Fractals/Coloring Techniques/Escape-Time"
{
	Properties
	{
		_MainTex ("Texture", 2D) = "white" {}

		_Iter ("Iterations", Range(0, 250)) = 100
		_Dividend ("Dividend", Range (0, 0.5)) = 15
		
		_Zoom ("Zoom", Range (0.1, 1000)) = 0.65
		_Position ("Offset", Vector) = (0.4, 0, 0, 0)

		_Background ("Background", Color) = (0, 0.25, 1, 0)
		_Origin ("Origin", Color) = (0, 0, 0, 0)
	}	
	SubShader
	{
		Cull Off ZWrite Off ZTest Always

		Pass
		{
			CGPROGRAM

			#pragma vertex vert
			#pragma fragment frag
			
			#include "UnityCG.cginc"
			#include "Complex.cginc"
			#include "FractalOperations.cginc"

			struct appdata
			{
				float4 vertex : POSITION;
				float2 uv : TEXCOORD0;
			};

			struct v2f
			{
				float2 uv : TEXCOORD0;
				float4 vertex : SV_POSITION;
			};

			sampler2D _MainTex;

			int _Iter;
			fixed _Zoom;
			fixed _Dividend;
			float2 _Position;
			fixed4 _Background;
			fixed4 _Origin;

			v2f vert (appdata v)
			{
				v2f o;
				o.vertex = UnityObjectToClipPos(v.vertex);
				o.uv = v.uv;
				return o;
			}

			fixed4 frag (v2f i) : SV_Target
			{
				float x0 = (ClampScaleX(i.uv) + _Position.x) / _Zoom;
				float y0 = (ClampScaleY(i.uv) + _Position.y) / _Zoom;
				
				float2 z = float2(x0, y0);
				float2 c = float2(x0, y0);
				
				int iteration = 0;

				float l = 0;

				while (IsBounded(z, 40) && iteration < _Iter)
				{	
					l += log (cabs(2 * z));

					z = cmul(z, z);
					z += c;					

					iteration++;
				}

				l /= iteration;

				if (l > 0)
					return _Background;

                float3 color = tanh(l >= 0 ? 
											float3(0, 0.7 * log(1 + l), log(1 + l)) : 
											3 * float3(_Origin.x-l, _Origin.y-l * 0.1, _Origin.z));

				return float4(color + _Dividend, 1);


			}		    
			ENDCG
		}
	}
	CustomEditor "FractalEditor"
}

內部距離估計

DEM/M - 方法描述

軌道的絕對值

# Hypercomputing the Mandelbrot Set? by Petrus H. Potgieter February 1, 2008
n=1000; # For an nxn grid
m=50; # Number of iterations
c=meshgrid(linspace(-2,2,n))\ # Set up grid
+i*meshgrid(linspace(2,-2,n))’;
x=zeros(n,n); # Initial value on grid
for i=1:m
x=x.^2+c; # Iterate the mapping
endfor
imagesc(min(abs(x),2.1)) # Plot monochrome, absolute
# value of 2.1 is escape

內部水平集

點的顏色

與 z 在最終迭代時的值成正比。
顯示週期性吸引子的內部水平集。

bof60

bof60 的影像在“分形之美”一書的第 60 頁。bof 第 63 頁描述了該方法。它僅用於曼德博集的內部點。

點的顏色與

其軌道與原點 [11]^[12]
迭代過程中 z 取得的最小值^[13]
闡明原點（臨界點）的迭代在集合內部最接近原點的距離
“影片幀的每個畫素都代表一個特定的複數 c = a + ib。對於每個連續幀 n，z(c,n) := z(c, n-1)^2 + c 的大小顯示為每個這些點 c 的灰度強度值：大小較大的點更白，大小較小的點更暗。隨著 n 從 1 增加到 256，曼德博集外部的點快速飽和為純白色，而曼德博集內部的點在較暗的強度之間振盪。” Brian Gawalt^[14]

距離的水平集是距離相同的點的集合^[15]

if (Iteration==IterationMax)
 /* interior of Mandelbrot set = color is proportional to modulus of last iteration */
 else { /* exterior of Mandelbrot set = black */
  color[0]=0;
  color[1]=0;
  color[2]=0;                           
 }

程式碼片段 : 來自 Gnofract4d 的 fractint.cfrm^[16]

bof60 {
 init:
       float mag_of_closest_point = 1e100
 loop:
       float zmag = |z|
       if zmag < mag_of_closest_point
               mag_of_closest_point = zmag
       endif
 final:
       #index = sqrt(mag_of_closest_point) * 75.0/256.0
}

另請參閱

bof61 或原子域

完整描述

Bof61
動畫
2D
3D

雙曲分量的週期

曼德博集的雙曲分量的週期是臨界軌道的極限集的週期。

計算週期的演算法

直接從動力學平面上的臨界點 z = 0.0 的迭代中檢測週期
"快速而骯髒" 演算法：檢查是否 $abs(z_{n})<eps$ ，則將 c 點用顏色 n 著色。這裡 n 是吸引軌道的週期，eps 是圍繞吸引點的圓的半徑 = 數值計算的精度。
"當正確實現時，基於區間算術的方法能夠找到相當大的 n 的所有 n 週期迴圈。"（ZBIGNIEW GALIAS）^[17]
弗洛伊德迴圈查詢演算法^[18]
蜘蛛演算法
原子域，BOF61
週期檢測

內部檢測

如果下面所有內容都為真，則畫素以高機率為內部^[19]

畫素標記為內部（黑色）
所有周圍畫素標記為內部（黑色）
所有黑色畫素具有相同的週期

內部座標和倍增器對映

定義

內部座標^[20]^[21]^[22]

克勞德·海蘭德-艾倫的演算法

檢查 c
- 當 c 在曼德勃羅集之外時
  - 現在放棄
  - 或使用外部座標
- 當 c 不在外部（在內部或邊界上）時：對於每個週期 p，從 1 開始遞增
  - 使用牛頓法在一個復變數中找到週期點 z0，使得 fp(z0,c)=z0
  - 透過評估 fp 在 z0 處的關於 z 的一階導數來找到 b
  - 如果 |b|≤1，則返回 b，否則繼續執行下一個 p

計算

對於週期：^[23]

1 到 3 可以使用顯式方程^[24]
>3 必須使用數值方法找到

週期 1

從邊界方程開始

 c+(w/2)^2-w/2=0;

並對 w 求解

(%i1) eq1:c+(w/2)^2-w/2=0;
                                                                                                              2
                                                                                                             w    w
(%o1)                                                                                                        -- - - + c = 0
                                                                                                             4    2
(%i2) solve(eq1,w);
(%o2)                                                                                        [w = 1 - sqrt(1 - 4 c), w = sqrt(1 - 4 c) + 1]
(%i3) s:solve(eq1,w);
(%o3)                                                                                        [w = 1 - sqrt(1 - 4 c), w = sqrt(1 - 4 c) + 1]
(%i4) s:map(rhs,s);
(%o4)                                                                                            [1 - sqrt(1 - 4 c), sqrt(1 - 4 c) + 1]

所以

 w = w(c) =  1.0 - csqrt(1.0-4.0*c)

週期 2

 w = 4.0*c + 4;

週期 3

  $c^{3}+2c^{2}-(w/8-1)c+(w/8-1)^{2}=0$

它可以使用 Maxima CAS 求解

(%i1) e1:c^3 + 2*c^2 - (w/8-1)*c + (w/8-1)^2 = 0;

                      3      2        w       w     2
(%o1)                c  + 2 c  + (1 - -) c + (- - 1)  = 0
                                      8       8
(%i2) solve(e1,w);
(%o2) [w = (- 4 sqrt((- 4 c) - 7) c) + 4 c + 8, w = 4 sqrt((- 4 c) - 7) c + 4 c + 8]

數值近似

complex double AproximateMultiplierMap(complex double c, int period, double eps2, double er2)
{     
     complex double z;  // variable z 
     complex double zp ; // periodic point 
     complex double zcr = 0.0; // critical point
     complex double d = 1;
     
     int p;
     
     // first find periodic point
     zp =  GivePeriodic( c, zcr, period,  eps2, er2); // Find periodic point z0 such that Fp(z0,c)=z0 using Newton's method in one complex variable
     
     // Find w by evaluating first derivative with respect to z of Fp at z0 
     if ( cabs2(zp)<er2) {
     
     
     z = zp;
     for (p=0; p < period; p++){
        d = 2*z*d; /* first derivative with respect to z */
        z = z*z +c ; /* complex quadratic polynomial */
     
     }}
     else d= 10000; //

return d;
}

另請參閱

曼德勃羅集中的數字序列，由數學家協會提供

內部角

雷納託·豐塞卡的方法：^[25] "集合中的點 c 被賦予等於引數的色調

$arg(z_{n_{max}})=arctan{\frac {Im(z_{n_{max}})}{Re(z_{n_{max}})}}$

（適當縮放，以便最終得到 0 - 255 範圍內的數字）。數字 z_nmax 是在 z 的序列中計算的最後一個數字。

另請參閱

[額外視覺] 由數學家協會逐步構建曼德勃羅集

Fractint

Fractint：顏色引數：INSIDE=ATAN

透過確定最後一個迭代值相對於實軸的角度（以度為單位）以及使用絕對值來確定顏色。此功能應與 periodicity=0^[26] 一同使用

內部射線

從內部射線上的雙曲引數到拋物線引數^[27]

內部射線和外部射線
倍增器對映和內部射線
內部射線和外部射線

當 $radius\,$ 變化且 $angle\,$ 保持不變，則 $c\,$ 沿著內部射線移動。^[28] 它用作曼德勃羅集內部的路徑。

 
double complex Give_c(double t, double r, int p)
{
	/*
	input:
	InternalRadius = r in [0,1] 
  	InternalAngleInTurns = t in range [0,1]
  	p = period
  	
  	output = c = complex point of 2D parameter plane  
  	*/
  	

	complex double w = 0.0;
	complex double c = 0.0;
	
	t = t*2*M_PI; // from turns to radians
  	// point of unit circle
  	w = r* cexp(I*t);
  		
	// map circle to component
	switch (p){
	
	case 1: c = (2.0*w - w*w)/4.0; break;
	case 2: c = (w -4.0)/ 4.0; break;
  
	}
	return c; 
}

/* find c in component of Mandelbrot set 
 uses complex type so #include <complex.h> and -lm 
 uses code by Wolf Jung from program Mandel
 see function mndlbrot::bifurcate from mandelbrot.cpp
 http://www.mndynamics.com/indexp.html

  */
double complex GiveC(double InternalAngleInTurns, double InternalRadius, unsigned int period)
{
  //0 <= InternalRay<= 1
  //0 <= InternalAngleInTurns <=1
  double t = InternalAngleInTurns *2*M_PI; // from turns to radians
  double R2 = InternalRadius * InternalRadius;
  double Cx, Cy; /* C = Cx+Cy*i */
  switch ( period ) {
    case 1: // main cardioid
      Cx = (cos(t)*InternalRadius)/2-(cos(2*t)*R2)/4; 
      Cy = (sin(t)*InternalRadius)/2-(sin(2*t)*R2)/4; 
      break;
   case 2: // only one component 
      Cx = InternalRadius * 0.25*cos(t) - 1.0;
      Cy = InternalRadius * 0.25*sin(t); 
      break;
  // for each period  there are 2^(period-1) roots. 
  default: // safe values
      Cx = 0.0;
      Cy = 0.0; 
    break; }

  return Cx+ Cy*I;
}

// draws points to memory array data
int DrawInternalRay(double InternalAngleInTurns, unsigned int period, int iMax, unsigned char data[])
{

   complex double c;
   double InternalRadius;
   double RadiusStep; // between radius of points 
   int i; // number of point to draw
      
  RadiusStep = 1.0/iMax;
   
  for(i=0;i<=iMax;++i){ 
   InternalRadius = i * RadiusStep;
   c = GiveC(InternalAngleInTurns, InternalRadius, period);
   DrawPoint(c,data);
  }

return 0;
}

示例：角度為 1/6 的主心形的內部射線。

內部角

$angle=1/6\,$

射線的半徑

$0\leq radius\leq 1\,$

單位圓內部半徑的點

$w=radius*e^{i*angle}\,$

將點 $w$ 對映到引數平面

$c={\frac {w}{2}}-{\frac {w^{2}}{4}}\,$

對於 $epsilon=0\,$ ，這是主心形線的方程式。

內部曲線

當 $radius\,$ 保持不變而 $angle\,$ 變化時， $c\,$ 沿內部曲線移動。

/* find c in component of Mandelbrot set 
 uses complex type so #include <complex.h> and -lm 
 uses code by Wolf Jung from program Mandel
 see function mndlbrot::bifurcate from mandelbrot.cpp
 http://www.mndynamics.com/indexp.html
*/
double complex GiveC(double InternalAngleInTurns, double InternalRadius, unsigned int period)
{
  //0 <= InternalRay<= 1
  //0 <= InternalAngleInTurns <=1
  double t = InternalAngleInTurns *2*M_PI; // from turns to radians
  double R2 = InternalRadius * InternalRadius;
  double Cx, Cy; /* C = Cx+Cy*i */
  switch ( period ) {
    case 1: // main cardioid
      Cx = (cos(t)*InternalRadius)/2-(cos(2*t)*R2)/4; 
      Cy = (sin(t)*InternalRadius)/2-(sin(2*t)*R2)/4; 
      break;
    case 2: // only one component 
      Cx = InternalRadius * 0.25*cos(t) - 1.0;
      Cy = InternalRadius * 0.25*sin(t); 
      break;
    // for each period  there are 2^(period-1) roots. 
    default: // safe values
      Cx = 0.0;
      Cy = 0.0; 
    break;
  }

  return Cx+ Cy*I;
}

// draws points to memory array data
int DrawInternalCurve(double InternalRadius , unsigned int period,  int iMax, unsigned char data[])
{
  complex double c;
  double InternalAngle; // in turns = from 0.0 to 1.0
  double AngleStep;
  int i;
  // int iMax =100;
   
  AngleStep = 1.0/iMax;
   
  for (i=0; i<=iMax; ++i) { 
    InternalAngle = i * AngleStep;
    c = GiveC(InternalAngle, InternalRadius, period);
    DrawPoint(c,data);
  }

  return 0;
}

分量的中心

參考文獻

[1] 維基百科中的引數平面

[2] 維基百科中的曼德勃羅集

[3] 維基百科中的復二次多項式

[4] reenigne 部落格 : mandelbrot-set-taxonomy

[5] 由 A Cunningham 展示曼德勃羅集的內部結構（包含 Python 3 程式和程式碼）

[6] 由 Adam Cunningham 展示曼德勃羅集的內部結構

[7] 2013 年 10 月 4 日由 Didier Gonze 編寫的邏輯斯蒂方程

[8] 由 janthor 編寫的 Lyapunov 指數和曼德勃羅集

[9] Anders Sandberg 的圖片

[10] thub 倉庫 JPBotelho: Fractal-Megacollection（Unity 的 HLSL 著色器）

[11] Fractint : 雜項選項和演算法

[12] Java™ Number Cruncher: The Java Programmer's Guide to Numerical Computing 由 Ronald Mak

[13] Firefly 應用程式幫助由 Terry W. Gintz

[14] 曼德勃羅振盪由 Brian Gawalt

[15] Fractint 文件由 Noel Giffin

[16] ract4d

[17] Zbigniew Galias 著《使用區間方法對電子電路中的週期軌道進行嚴格研究》

[18] Milan 繪製的曼德勃羅集

[19] ractalforums.org : 使用級數逼近確定最佳跳過迭代次數

[20] Claude Heiland-Allen 著《曼德勃羅集內部座標》

[21] Claude Heiland-Allen 著《內部距離渲染實踐》

[22] th.stackexchange 問題：如何測試點是否屬於週期為 n 的曼德勃羅集瓣？

[23] Robert P. Munafo 著《Brown 方法》，2003 年 9 月 22 日。

[24] Robert P. Munafo 著《精確座標》，2003 年 9 月 22 日。

[25] Renato Fonseca 著《曼德勃羅集》

[26] ractint 顏色引數

[27] Yi-Chiuan Chen 和 Tomoki Kawahira 著《沿著內部射線的雙曲引數到拋物線引數》

[28] 維基百科中的內部射線

[29] ASCII 圖形

[1]

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[29]

分形/複平面迭代/曼德博集內部

曼德博集內部 - 雙曲分量

“捕獲時間”演算法：收斂所需的迭代次數

李雅普諾夫指數

內部距離估計

軌道的絕對值

內部水平集

bof60

bof61 或原子域

雙曲分量的週期

內部檢測

內部座標和倍增器對映

計算

週期 1

週期 2

週期 3

數值近似

內部角

Fractint

內部射線

內部曲線

分量的中心

更多教程和程式碼

參考文獻