分形/複平面上的迭代/Julia 集

各種型別的動力學需要各種演算法

型別

根據以下內容對 Julia 集進行分類

• 拓撲
  • 填充的 Julia 集內部
  • 形狀
• 週期點附近的區域性動力學
• 連通性
• 引數 c 在引數平面上的位置

填充的 Julia 集可以有

• 非空的內部（Julia 集是連通的）
  • 拋物線：填充的 Julia 集具有拋物線迴圈（c 在雙曲分量的邊界上）
  • Siegel：填充的 Julia 集包含 Siegel 圓盤。Julia 集可以區域性連通也可以不連通。這取決於旋轉數。（c 在雙曲分量的邊界上）
  • 吸引：填充的 Julia 集具有吸引迴圈（c 在雙曲分量內部）
  • 超吸引：填充的 Julia 集具有超吸引迴圈（c 在雙曲分量的中心）。例子：飛機 Julia 集、Douady 的兔子、Basillica。
• 空內部
  • 不連通（c 在 Mandelbrot 集的外部）
  • 連通
    • 克雷默 Julia 集（c 在雙曲分量的邊界上，Julia 集是連通的，但不是區域性連通的）
    • 樹枝狀（Julia 集是連通的，並且區域性連通的）
      • Misiurewicz Julia 集（c 是 Misiurewicz 點）
      • Feigenbaum Julia 集（）
      • 其他沒有

拓撲

根點的 Julia 集在拓撲上與子週期中心的 Julia 集相同，但

• 這 中心（核） Julia 集非常容易繪製（超吸引盆=非常快的動力學，因為臨界點也是週期點）
• 而根 Julia 集（拋物線）很難繪製（拋物線盆和懶惰的動力學）

例子

• t = 1/2
  • 根點的 Julia 集 = 胖 Basilica Julia 集：c = -3/4 = - 0.75
  • 週期 2 中心的 Julia 集 = （瘦）Basicica Julia 集：c = -1
• t = 1/3
  • 根點的 Julia 集 = 胖 Douady 的兔子：c = -0.125000000000000 +0.649519052838329i
  • 週期 3 中心的 Julia 集 = （瘦）Doudy 的兔子 Julia 集：c = -0.122561166876654 +0.744861766619744i 週期 = 3

Julia 集模型

兔子 Julia 集的層狀結構

• Thurston 的 Julia 集的不變層狀結構
• Julia 集的圖形
  • Schreier 圖
• Julia 集的主幹
• 圓盤樹模型（Hubbard 樹充當後臨界有限多項式的 Julia 集的模型）
• Douady 的壓縮圓盤模型
• Milnor 的軌道肖像
• 樹枝狀
  • Julia 集的樹枝狀模型

Julia 集內部的組成部分

• 
  超吸引
• 
  拋物線
• 
  Siegel 圓盤分量的逆迭代

Douady 的壓縮圓盤模型

Dynamic rays and their landing properties are a key tool to understanding (the topology of) Julia sets of polynomials. In particular, the structure of the Julia set is determined by rays that land at a common point: at least in good cases (under the assumption of local connectivity), the knowledge of which rays land together gives a homeomorphic model for the Julia set that is known as Douady’s pinched disk model 

演算法

"... 用於計算所有二次 Julia 集的單一演算法不存在。"

例子

• rosetta 程式碼：Julia_set
• 演算法

型別

• 逃逸時間（吸引時間到無窮大（所有多項式的吸引子）
• 吸引時間到填充的 Julia 集內部的有限吸引子）
• 對 Julia 集距離的估計（DEM/J）
• 逆迭代法 = IIM/J
• 由 Michael Becker 測試等度連續性
• 軌道陷阱
• 使用數值方法查詢週期性排斥點。它們在 Julia 集中是稠密的。（牛頓法 ）

等度連續性

"然後 f 的 Julia 集是 G 中所有點的集合，其中這個迭代函式序列不是等度連續的。Fatou 集是它的補集。簡單地說，考察了迭代函式對附近點的作用。在迭代過程中，足夠接近的點仍然保持接近的位置屬於 Fatou 集。在迭代過程中，無論多麼接近的點都會被撕裂的位置屬於 Julia 集。在以下內容中，我只考慮將黎曼球面，即加上一個理想點 "無窮大" 的複平面，對映到自身的函式。Julia 集為白色，Fatou 集為黑色。" Michael Becker

精度

• 由 John W. Hoggard 撰寫的計算機生成的 Julia 集近似值的精度
• 平面掃描
• 陰影引理
• 數值精度

點

"我們知道週期點在Julia集上稠密，但在奇怪的情況下（比如具有Cremer點的那些，甚至是一些具有Siegel圓盤的那些，其中圓盤本身非常'深'在Julia集中，用外部射線測量），週期點會盡可能地避開Julia集的某些部分。這就是導致渲染Julia集影像的'逆方法'對於這些情況如此糟糕的原因。"（由Jacques Carette在2014年10月26日14:52回答）

復二次多項式的排斥不動點的逆軌道的點分佈。

f(z) = z*z-0.75的週期點，週期=6，作為兩個隱式曲線的交點

與

• 虛擬數學博物館：Julia集

特殊情況

• "當d ≥ 2時，Julia集非空，但Fatou集可能是空的（如Latt`es示例所示）。"

名稱

• 花椰菜 = c = 1/4 的Julia集（c是主心形線的尖點），拋物線Julia集
  • 內爆花椰菜是對於$c={\frac {1}{4}}+\epsilon$ 的Julia集，其中 $\epsilon >0$，不連通的Julia集
• 飛機 Julia集。C是實軸上週期3分量的中心：c = -1.75487766624669276
• 直升機 z → z^3 − 0.2634 − 1.2594i
• （Douady）兔子。C是複雜二次對映的Mandelbrot集的週期3雙曲分量的中心
  • 三次兔子 z → z^3 + 0.545 + 0.539i
• 樹枝狀結構。C是尖端
• Kokopelli Julia集 $c=\gamma _{M}(3/15)=0.156520166833755+1.032247108922832i$ 角3/15 = p0011 = 0.(0011) 具有前週期 = 0 和週期 = 4。引數平面上的共軛角為4/15 或 p0100。揉捏序列為 AAB*，內部地址為 1-3-4。相應的引數射線落在週期 4 的原始分量的根部。
• 大教堂 = = c = -1 的Julia集（c是週期2分量的中心）

• 
  飛機
• 
  兔子
• 
  樹枝狀

另請參閱

• 如何在引數平面上移動？
• 如何從引數平面中選擇一個點？