分形/計算機圖形技術/2D/平面

2D平面直接連結

• 座標
• 變換（對映）
• 影像質量
• 圖形檔案
• 引數檔案
• 影像大小和解析度
• 掃描，取樣和分解

幾何

• 歐幾里得
• 非歐幾里得
  • 雙曲
  • 橢圓

歐幾里得幾何與非歐幾里得幾何之間的區別：在三種類型的幾何中，具有共同垂直線的直線的行為

影像幾何質量

• 良好（無失真）
• 不良（失真）

視覺化

• 網格
• 水平集
  • 計算機圖形中的斑馬條紋
• 棋盤（棋盤）

視窗（平面的可見部分）

視窗是計算機圖形學中的多邊形檢視區域。

描述

2D平面的矩形部分可以透過 來描述

• 角點（4個實數或2個複數 = 2D點）
• 中心和 
  • 寬度（3個實數）
  • 放大倍數
  • 半徑

"人們以多種方式指定分形座標。有些人使用可見點左上角和右下角的座標，將座標指定為四個數字 x1、y1、x2、y2。要在 XaoS 中設定相同的視點，將中心的實部設定為 (x1+x2)/2，中心的虛部設定為 (y1+y2)/2，半徑設定為 x2-x1 和 y2-y1 中較大的一個。"（來自XaoS 文件）

角點

Fractint、Ultra Fractal、ChaosPro 和 Fractal Explorer 中的標準描述是角點。例如，曼德博集合的初始平面為

 Corners:                X                     Y
 Top-l          -2.5000000000000000    1.5000000000000000
 Bot-r           1.5000000000000000   -1.5000000000000000
 Ctr -0.5000000000000000   0.0000000000000000  Mag 6.66666667e-01
 X-Mag-Factor     1.0000   Rotation    0.000   Skew    0.000

引數平面的顯示視窗具有 

• 4 的水平寬度（實部）
• 3 的垂直寬度（高度）（虛部）
• 4/3 的縱橫比（比例）（同樣在畫素中為 640/480，因此沒有失真）
• 中心 z=-0.5

參見演示 par 檔案 

Mandel_Demo        { ; PAR for initialization of Fractint demo
  reset=1900 type=mandel corners=-2.5/1.5/-1.5/1.5 params=0/0 inside=0
  sound=no
  }

對於朱利亞集/動態平面，有 

Corners:                X                     Y
Top-l          -2.0000000000000000    1.5000000000000000
Bot-r           2.0000000000000000   -1.5000000000000000
Ctr  0.0000000000000000   0.0000000000000000  Mag 6.66666667e-01
X-Mag-Factor     1.0000   Rotation    0.000   Skew    0.000

Fractint 文件中的描述 

CORNERS=[xmin/xmax/ymin/ymax[/x3rd/y3rd]]

示例：corners=-0.739/-0.736/0.288/0.291

以這些座標作為 x 和 y 座標的範圍開始，而不是預設值（對於 type=mandel） -2.0/2.0/-1.5/1.5。當您指定四個值（通常的情況）時，這定義了一個矩形：x 座標對映到螢幕，從左到右，從 xmin 到 xmax，y 座標對映到螢幕，從下到上，從 ymin 到 ymax。六個引數可用於描述任何旋轉或拉伸的平行四邊形：（xmin，ymax）用於螢幕左上角的座標，（xmax，ymin）用於右下角的座標，（x3rd，y3rd）用於左下角的座標。僅輸入“CORNERS=”會告訴 Fractint 使用此形式（預設模式），而不是 CENTER-MAG（見下文）在使用 [B] 命令儲存引數時。

int SetPlaneFromCorners(double CxMin , double CxMax, double CyMin , double CyMax){
  
  
  
  Radius = fabs(CyMax-CyMin)/2.0;
  Magnification = 1.0/Radius;
  
  // http://www.purplemath.com/modules/midpoint.htm
  Center = (CxMax+CxMin)/2.0 + I*(CyMax+CyMin)/2.0;
  
    
  return 0; 
 


}

中心和...

 "If you use the center, you can change the zoom level and the plot zooms in/out smoothly on the same center point. " Duncan C). 

放大倍數

Fractint 使用 Mag（與 Xmagfactor 相比）

 CENTER-MAG=[Xctr/Yctr/Mag[/Xmagfactor/Rotation/Skew]]

這是一種將角點作為中心點和放大倍數輸入的替代方法，在一些分形程式和出版物中很受歡迎。僅輸入 "CENTER-MAG=" 會告訴 Fractint 使用此形式，而不是 CORNERS（見上文）在使用 [B] 命令儲存引數時。[TAB] 狀態顯示顯示了兩種形式的“角點”。當您指定三個值（通常的情況）時，這定義了一個矩形：（Xctr，Yctr）指定影像中心的座標。

Mag 指示要使用的放大倍數。初始值（無縮放）為 6.66666667e-01。

六個引數可用於描述任何旋轉或拉伸的平行四邊形：Xmagfactor 指示 x 放大倍數比 y 放大倍數大多少倍，

Rotation 指示影像旋轉了多少度。

Skew 指示影像傾斜了多少度。正角度將逆時針旋轉和傾斜影像。

引數可以儲存到稱為 fractint.par 的parmfile 中

寬度

Wolf Jung 在Mandel 中使用中心和寬度

/* 
   from mndlbrot.cpp  by Wolf Jung (C) 201
   These classes are part of Mandel 5.7, which is free software; you can
   redistribute and / or modify them under the terms of the GNU General
   Public License as published by the Free Software Foundation; either
   version 3, or (at your option) any later version. In short: there is
   no warranty of any kind; you must redistribute the source code as well
*/
void mndlbrot::startPlane(int sg, double &xmid, double &rewidth) const
{  if (sg > 0) 
     { xmid = -0.5; rewidth = 1.6; } // parameter plane
     else { xmid = 0; rewidth = 2.0; } // dynamic plane

寬度和高度

用於描述平面（檢視）XaoS 使用

• 指令碼中的 4 個數字
• 選單中的 3 個數字

XaoS 使用“半徑”來稱呼它，但它是這樣定義的： (x2-x1 = 寬度) 和 y2-y1 = 高度中較大的那個。

半徑

這對於縮放非常有用：固定中心，只改變半徑。

Claude Heiland-Allen 使用中心和半徑 來表示復二次多項式的引數平面

半徑定義為

• 適合影像實際框架內的圓的半徑
• "中心和軸對齊的檢視矩形頂部之間的虛座標差”。
• "px_radius 是影像寬度的一半（以實座標表示）"

view="-0.75 0 1.5" # standard view of parameter plane : center_re, center_im, radius

$radius={\frac {1}{Mag}}={\frac {height}{2}}$

  // modified code using center and radius to scan the plane 
  int height = 720;
  int width = 1280;
  double dWidth;
  double dRadius = 1.5;
  double complex center= -0.75*I;
  double complex c;
  int i,j;

  double width2; // = width/2.0
  double height2; // = height/2.0
  
  width2 = width /2.0;
  height2 = height/2.0;

complex double coordinate(int i, int j, int width, int height, complex double center, double radius) {
  double x = (i - width /2.0) / (height/2.0);
  double y = (j - height/2.0) / (height/2.0);
  complex double c = center + radius * (x - I * y);
  return c;
}

for ( j = 0; j < height; ++j) {
    for ( i = 0; i < width; ++i) {
      c = coordinate(i, j, width, height, center, dRadius);
      // do smth 
       }
     }

另一個版本

int main()
{
  int aa = 4;
  int w = 800 * aa;
  int h = 800 * aa;
  
  #pragma omp parallel for schedule(static, 1)
  for (int j = 0; j < h; ++j)
  {
    double y = (h/2 - (j + 0.5)) / (h/2) * r;
    for (int i = 0; i < w; ++i)
    {
      double x = (i + 0.5 - w/2) / (h/2) * r;
      double _Complex c = x + I * y;
      // proceed
    }
  }
  
  return 0;
}

同樣在 GLSL ( 為 Shadertoy) 中

 
vec2 GiveCoordinate(vec2 center, float radius, vec2 fragCoord, vec3 iResolution)
{
 
  // from pixel to world coordinate   
  // now point (0,0) is left bottom
  // point (iResolution.x, iResolution.y) is right top   
  float x = (fragCoord.x -  iResolution.x/2.0)/ (iResolution.y/2.0);
  float y = (fragCoord.y -  iResolution.y/2.0)/ (iResolution.y/2.0);
  vec2 c = vec2(center.x + radius*x, center.y + radius*y) ;  
  return c ; 
}

根據半徑、中心和縱橫比設定平面角

 
int SetPlane(complex double center, double radius, double a_ratio){

	ZxMin = creal(center) - radius*a_ratio;	
	ZxMax = creal(center) + radius*a_ratio;	//0.75;
	ZyMin = cimag(center) - radius;	// inv
	ZyMax = cimag(center) + radius;	//0.7;
    double PixelWidth = (ZxMax-ZxMin)/iWidth;
    double PixelHeight = (ZyMax-ZyMin)/iHeight; // pixel_size = PixelWidth = PixelHeight
	return 0;

}

方向

在標準的數學約定和一些 CS 圖形程式設計系統之間存在主要的不相容性

• 數學課中教授的標準數學約定 = 標準座標系 (y 軸向上)
• 一些 CS 圖形程式設計系統 (但並非所有系統) = y 軸向下

透過標記笛卡爾平面的一象限來檢查**平面的方向**

if (x>0 && y>0) Color=MaxColor-Color;

它應該位於右上角。

OpenGL is right handed in object space and world space. But in window space (aka screen space) we are suddenly left handed.

另見

• math.stackexchange 問題：proper-name-for-inverted-cartesian-coordinate-system

縱橫比

• 圖片
• 顯示

圖片

圖片的縱橫比是其寬度與其高度的比率，用冒號分隔的兩個數字表示，例如 16:9，十六比九。對於 x:y 縱橫比，圖片的寬度為 x 個單位，高度為 y 個單位。常見的縱橫比包括電影中的 1.85:1 和 2.39:1，電視攝影中的 4:3 和 16:9，以及靜止攝影中的 3:2。

顯示縱橫比

縱橫比，更確切地說，**顯示縱橫比 (DAR)**^[8] - 圖片顯示時的縱橫比。對於電視

• 對於電視，DAR 傳統上是 4:3 (即全屏)
• 現在是 16:9 (即寬屏)，現在是高畫質電視的標準。

最佳化

• “遞迴演算法將影像分割成塊，並測試每個塊是否位於“黑色區域”中。”，由 Michael Hogg 提出^[9]
• 用於縮放動畫的龐加萊上半平面度量
• 陳維尹、楊佑升和梁昆茂提出的分形動畫的簡單最佳化
• Claude Heiland-Allen 對縮放動畫的最佳化^[10]
• reenigne 部落格：遞迴細分
• Xaos - 演算法描述
• 新的快速方法！
• Albert Lobo Cusidó 的縮放
• 渲染曼德勃羅集 - 透過 JavaScript 實現示例，作者：Christian Stigen Larsen
• 擾動

模式

• Keenan Crane 提出的“表面上的條紋模式”