運輸基礎/豎曲線

豎曲線是公路幾何設計中兩個重要的過渡元素中的第二個，第一個是水平曲線。豎曲線為兩段坡度不同的道路提供過渡，使車輛能夠以逐漸的速度改變坡度，而不是急劇的轉折。曲線的形狀取決於道路的預期設計速度，以及排水、坡度、可接受的坡度變化率和摩擦等其他因素。這些曲線呈拋物線形狀，根據水平軸上的位置進行標定。

基本曲線屬性

拋物線公式

豎曲線有兩種型別：（1）凹形曲線和（2）凸形曲線。凹形曲線用於坡度變化為正值的地方，例如山谷，而凸形曲線用於坡度變化為負值的地方，例如山丘。兩種型別的曲線都有三個定義點：PVC（豎曲線起點）、PVI（豎曲線交點）和 PVT（豎曲線終點）。PVC 是曲線的起點，而 PVT 是曲線的終點。這兩個點的標高可以分別計算為 $e_{PVC}$ 和 $e_{PVT}$ ，分別代表 PVC 和 PVT。接近 PVC 的道路坡度定義為 $g_{1}$ ，離開 PVT 的道路坡度定義為 $g_{2}$ 。這些坡度通常以 (m/m) 或 (ft/ft) 為單位表示，具體取決於所選的單位型別。

兩種型別的曲線都呈拋物線形狀。人們發現拋物線函式適用於這種情況，因為它們提供了恆定的斜率變化率，並意味著相等的曲線切線，這將在後面討論。下面定義了拋物線方程的通用形式，其中 $y$ 是拋物線的標高。

$y=ax^{2}+bx+c\,\!$

當 x = 0 時，它指的是曲線上的位置，對應於 PVC，其高程等於 PVC 的高程。因此， $c$ 的值等於 $e_{PVC}$ 。類似地，曲線在 x = 0 處的斜率等於 PVC 的入射斜率，即 $g_{1}$ 。因此， $b$ 的值等於 $g_{1}$ 。當檢視二階導數時，它等於斜率變化率，可以確定 $a$ 的值。

$a={\frac {g_{2}-g_{1}}{2L}}\,\!$

因此，可以說明垂直曲線的拋物線公式。

$y=e_{PVC}+g_{1}x+{\frac {(g_{2}-g_{1})x^{2}}{2L}}\,\!$

其中

$e_{pvc}\,\!$ : PVC 的高程
$g_{1}\,\!$ : 初始路面坡度 (m/m)
$g_{2}\,\!$ : 最終路面坡度 (m/m)
$L\,\!$ : 曲線長度 (m)

大多數垂直曲線設計為等切曲線。對於等切曲線，PVC 和 PVI 之間的水平長度等於 PVI 和 PVT 之間的水平長度。這些曲線通常更容易設計。

偏移

垂直曲線還存在一些其他屬性。偏移量，即從初始切線到曲線的垂直距離，在垂直曲線設計中起著重要作用。確定偏移量的公式如下所示。

$Y={\frac {Ax^{2}}{200L}}\,\!$

其中

$A\,\!$ : $g_{2}$ 和 $g_{1}$ 之間的絕對差，乘以 100 轉換為百分比
$L\,\!$ : 曲線長度
$x\,\!$ : 沿曲線從 PVC 的水平距離

停車視距

視距取決於所用曲線的型別和設計速度。對於凸曲線，視距受曲線本身限制，因為曲線是障礙物。對於凹曲線，視距通常僅受前照燈範圍限制。AASHTO 為凹凸曲線提供了一些表格，推薦了給定設計速度或停車視距的曲率值， $K$ 。然後，這些曲率值可以乘以絕對坡度變化百分比， $A$ ，以找到推薦的曲線長度， $L_{m}$ .

$L_{m}=KA\,\!$

在沒有表格幫助的情況下，仍然可以計算曲線長度。已經推匯出公式來確定等切線曲線的所需視距的最小曲線長度，具體取決於曲線是凹曲線還是凸曲線。視距可以從其他部分的公式中計算出來（見視距）。

凸豎曲線

正確的公式取決於設計速度。如果發現視距小於曲線長度，則使用下面的第一個公式，而對於視距大於曲線長度的情況，則使用第二個公式。通常，這需要計算兩者，以檢視如果無法事先估計曲線長度，哪一個是真的。

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}}\,\!$

$S>L:L_{m}=2S-{\frac {200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}{A}}\,\!$

其中

$L_{m}\,\!$ : 最小曲線長度 (m)
$A\,\!$ : $g_{2}$ 和 $g_{1}$ 之間的絕對差，乘以 100 轉換為百分比
$S\,\!$ : 視距 (m)
$h_{1}\,\!$ : 司機眼睛高於路面的高度 (m)
$h_{2}\,\!$ : 目標高於路面的高度 (m)

凹豎曲線

與凸曲線一樣，正確的公式取決於設計速度。如果發現視距小於曲線長度，則使用下面的第一個公式，而對於視距大於曲線長度的情況，則使用第二個公式。通常，這需要計算兩者，以檢視如果無法事先估計曲線長度，哪一個是真的。

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({H+S\tan \beta }\right)}}\,\!$

$S>L:L_{m}=2S-{\frac {200\left({H+S\tan \beta }\right)}{A}}\,\!$

其中

$A\,\!$ : $g_{2}$ 和 $g_{1}$ 之間的絕對差，乘以 100 轉換為百分比
$S\,\!$ : 視距 (m)
$H\,\!$ : 車頭燈高度 (米)
$\beta \,\!$ : 車頭燈光束的傾斜角度，以度數表示

要找到 SAG 豎曲線上的低點位置：x 是 PVC 和低點之間的水平距離

$x={\frac {G1L}{G1-G2}}\,\!$

$G1\,\!$ : 下坡等級 (%)
$G2\,\!$ : 上坡等級 (%)
$L\,\!$ : 豎曲線長度 (里程碑) 例如 600 英尺 = 6

超車視距

除了停車視距，在某些情況下，也可能允許在豎曲線上超車。對於下凹曲線，這不是問題，因為即使在夜間，也能從相當遠的距離看到對向車道上的車輛（藉助車輛的車頭燈）。然而，對於凸曲線，仍然需要考慮這個問題。與停車視距一樣，有兩個公式可用於回答最小長度問題，具體取決於超車視距是否大於或小於曲線長度。這些公式使用公制單位。

$S<L:L_{m}={\frac {A(PSD^{2})}{864}}\,\!$

$S>L:L_{m}=2PSD-{\frac {864}{A}}\,\!$

其中

$A\,\!$ : $g_{2}$ 和 $g_{1}$ 之間的絕對差，乘以 100 轉換為百分比
$PSD\,\!$ : 超車視距 (米)
$L_{m}\,\!$ : 最小曲線長度 (米)

演示

示例

示例 1：基本曲線資訊

問題

一條 500 米等距緩和曲線，其 PVC 位於 100+00 樁號處，高程為 1000 米。初始坡度為 -4%，最終坡度為 +2%。確定 PVI、PVT 和曲線最低點的樁號和高程。

示例

解決方案

曲線長度為 500 米。因此，PVT 位於 105+00 樁號處 (100+00 + 5+00)，由於它是等距緩和曲線，PVI 位於中間位置，即 102+50。對於拋物線公式， $c$ 等於 PVC 處的高程，即 1000 米。的值 $b$ 等於初始坡度，以小數表示為 -0.04。的值 $a$ 可以計算為 0.00006。

使用一般拋物線公式，可以求出 PVT 的高程

$y=0.00006x^{2}+-.04x+1000=0.00006(500)^{2}+-.04(500)+1000=995\ m\,\!$

由於 PVI 是兩條切線的交點，因此可以將任意一條切線的斜率以及 PVC 或 PVT 的高程作為參考。然後可以求出 PVI 的高程

$y=-0.04x+1000=-0.04(250)+1000=990\ m\,\!$

要找到曲線的最低點，可以求出拋物線公式的一階導數。最低點的斜率為零，因此可以找到最低點的位置

$dy/dx=0.00012x+-.04=0.00012x+-.04=0\,\!$

$x=333.33\ m\,\!$

使用拋物線公式，可以計算出該位置的高程。結果表明，該位置的高程為 993.33 米，是曲線上的最低點。

示例 2：障礙物調整

問題

現有的道路正在向上爬坡，坡度為 +3.0%。道路從 100+00 樁號處開始，高程為 1000 米。在 110+00 樁號處，有一個平交鐵路道口跨過坡道。由於設計師擔心駕駛員在穿越軌道時會發生事故，因此提議開挖一條穿過山坡的水平隧道，在鐵路軌道下方穿過，然後從另一側出來。一條垂直凸形曲線將現有道路連線到擬議的隧道，坡度為 (-0.5)%。這條曲線將從 100+00 樁號處開始，長度為 2000 米。工程師指出，在鐵路軌道和道路之間必須至少有 10 米的間距才能建造安全的隧道。假設曲線為等距緩和曲線。按照目前的方案，是否滿足了這一要求？

示例

解決方案

解決這個問題的一種方法是計算曲線在 110+00 樁號處的高程，然後檢視它是否至少距離切線 10 米。另一種方法是使用偏移公式。由於 A、L 和 x 都已知，因此這個問題很容易解決。將 x 設定為 1000 米來表示 110+00 樁號。

$Y={\frac {Ax^{2}}{200L}}={\frac {(3.5)(1000)^{2}}{200(2000)}}=8.75\ m\,\!$

設計方案不符合要求。

示例 3：停車視距

問題

一條現有的道路設計車速為 100 公里/小時，摩擦係數為 0.1，且行駛的車輛駕駛員的感知反應時間為 2.5 秒。駕駛員使用的汽車，其駕駛員眼睛距離地面 1 米。由於該區域有大量的動物屍體，因此道路的設計考慮了高度為 0.5 米的動物屍體。該道路上的所有曲線都是根據這一標準設計的。

當地政府看到了該地區旅遊業的潛力以及對當地經濟的推動作用，希望將限速提高到 110 公里/小時，以吸引夏季的駕駛員。沿線居民聲稱這是一個糟糕的決定，因為一條名為“死人坡”的特定曲線將因視距問題而名副其實。“死人坡”是一條長度約為 600 米的凸形曲線。它從 +1.0% 的坡度開始，以 (-1.0)% 的坡度結束。截至目前，“死人坡”上還沒有發生過事故，但居民確信將來會發生事故。

一位對工程學一無所知（卻自以為是的）當地政治家聲稱，600 米的長度已經很長，足以應付來自大城市的渴望的司機們的轉換。然而，居民們卻反駁道，600 米遠遠不夠這種速度所需。這位政治家開始了一場漫長的“把旅遊業帶進城鎮”的運動，聲稱居民們試圖阻止“進步”。作為一個工程師，你認為這些居民提出的觀點是否有效，或者他們僅僅是在試圖阻止進步？

示例

解決方案

根據其他部分的視距公式，考慮到上述條件，100 公里/小時的 SSD 為 465 米，而 110 公里/小時的 SSD 為 555 米。由於 465 米和 555 米都小於 600 米的曲線長度，因此應該使用以下公式：

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}}={\frac {2(555)^{2}}{200\left({{\sqrt {1.0}}+{\sqrt {0.5}}}\right)^{2}}}=1055\ m\,\!$

由於 1055 米的最小曲線長度大於“死亡坡”上現有的 600 米長度，因此這條曲線將無法滿足 110 公里/小時的視距要求。

這似乎是一個很大的差距。問題是，這條曲線在 100 公里/小時時是否足夠好？使用相同的公式，結果是

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}}={\frac {2(465)^{2}}{200\left({{\sqrt {1.0}}+{\sqrt {0.5}}}\right)^{2}}}=740\ m\,\!$

740 米的最小曲線長度遠遠大於現有的 600 米曲線。因此，居民們關於“死亡坡”是一個潛在的災難的說法是正確的。結果，這位政治家由於他的“進步”言論無法獲得公眾信任，被迫辭職。

思考問題

問題

下坡曲線有視距要求，因為夜間視距受到限制。汽車前照燈的光束角度有限，只能在一定角度範圍內發出足夠強度的光線來照亮遠處的物體。如果政府允許在標準汽車前照燈上使用更寬的光束角度，這是否能有效地提供更長的停車視距？

解決方案

是的，當然可以。對於一輛在有許多下坡曲線的道路上行駛的汽車來說，設計速度可以提高，因為可以看見更多的路面。然而，當在這條相同的道路上增加更多的汽車時，問題就會開始出現。由於前照燈發出更寬的光束角度，對向車道的司機將嚴重被眩光，迫使他們減速以避免發生事故。想想上次有人用遠光燈照射你，把你晃得睜不開眼的時候。這個問題可能會導致更多的事故，迫使人們減速，從而總體上造成損失。

示例問題

問題 (解答)

附加問題

變數

$L$ - 曲線長度
$e$ - 指定點的標高，例如 PVC、PVT 等。
$g$ - 坡度
$A$ - 某條曲線的坡度百分比的絕對差值，以百分比表示
$y$ - 曲線標高
$Y$ - 某一測站處，從 PVC 出發的坡度切線與曲線標高之間的偏移
$h_{1}$ - 司機眼睛到路面高度
$h_{2}$ - 物體到路面高度
$H$ - 車頭燈高度
$\beta$ - 車頭燈光束傾角，單位為度
$S$ - 視距
$K$ - 曲率率
$L_{m}$ - 最小曲線長度

關鍵詞

PVC: 垂直曲線起點
PVI: 垂直交點
PVT: 垂直曲線終點
凸曲線: 縱坡變化為負（例如在山坡上）
凹曲線: 縱坡變化為正（例如在山谷中）