控制中的 LMI / 點選此處繼續 / 控制器合成 / 非凸多準則二次問題

控制中的 LMI / 點選此處繼續 / 控制器合成 / 非凸多準則二次問題

非凸多準則二次線性矩陣不等式將允許人們為非凸狀態空間系統形成一個最佳化的控制器，類似於 LQR 框架中的控制器，該控制器基於 Q 和 R 矩陣中定義的幾個不同標準，這些標準作為任意成本函式的一部分被最佳化。就像傳統的 LQR 一樣，成本矩陣必須以與經典控制中的傳統增益非常類似的方式進行調整。然而，在 LQR 和 LQG 框架中，增益更直觀，因為每個增益都直接與狀態或輸入相關聯。

系統

此 LMI 的系統是一個線性時不變系統，可以用狀態空間表示，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bw,x(0)=x_{0}\\\end{aligned}}$

假設系統是可控的。

其中 $x\in R^{n}$ 分別表示狀態向量，$w\in R^{p}$ 是擾動向量，$A,B$ 是適當維度的系統矩陣。進一步定義：$x$ 是 $\in R^{n}$ 並且是狀態向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 並且是狀態矩陣，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 並且是輸入矩陣，$w$ 是 $\in R^{r}$ 並且是外生輸入。

對於任何輸入，我們定義一個集合 $p+1$ 成本指標 $J_{0},...,J_{P}$，如下所示

${\begin{aligned}J_{i}(u)=\int _{0}^{\infty }{\begin{bmatrix}x^{T}&u^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Q_{i}&C_{i}\\C_{i}^{T}&R_{i}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}dt,\\i=0,...,p\end{aligned}}$

這裡，對稱矩陣

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}Q_{i}&C_{i}\\C_{i}^{T}&R_{i}\end{bmatrix}},i=0,...,p\end{aligned}}$,

不一定是正定的。

資料

矩陣 $A,B,C$.

最佳化問題

約束最優控制問題是

${\begin{aligned}\max :J_{0},\\\end{aligned}}$

受制於

${\begin{aligned}J_{i}\leq \gamma _{i},i=1,...,p,x\rightarrow 0,t\rightarrow \infty \end{aligned}}$

LMI： 非凸多準則二次問題

這個問題的解決方案如下：我們首先定義

${\begin{aligned}Q=Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i},\\R=R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i},\\C=C_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}C_{i},\\\end{aligned}}$

其中 $\tau _{i}\geq 0$ 且對於每個 $\tau _{i}$，我們定義

${\begin{aligned}S=J_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}J_{i}-\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}\gamma _{i}\end{aligned}}$

那麼，該解決方案可以透過以下公式找到：

${\begin{aligned}\max :x(0)^{T}Px(0)-\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}\gamma _{i}\end{aligned}}$

受制於

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+Q&PQ+C^{T}\\B^{T}P+C&R\end{bmatrix}}&\geq 0\\\tau _{i}&\geq 0\end{aligned}}$

結論

如果存在解決方案，那麼 $K$ 是最佳控制器，可以透過 P 中的 EVP 求解。

實施

此實施需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/multicriterionquadraticproblems.m

相關 LMI

1. 多準則 LQG
2. 最優控制的逆問題
3. 非凸多準則二次問題
4. 靜態狀態反饋問題

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考列表。

• 最優控制和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。