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擴張

矩陣不等式可以被擴張以獲得更大的矩陣不等式。這可能是一種將設計變數從BMI（雙線性矩陣不等式）中分離出來的有用技術，因為擴張通常會引入額外的設計變數。

LMI 擴張的常見技術涉及以相反的方式使用投影引理，或“倒投影引理”。例如，考慮以下矩陣不等式：

${\begin{bmatrix}{\mathbf {PA}}+{\mathbf {A^{T}P}}-{\mathbf {P}}&{\mathbf {P}}\\*&{\mathbf {-P}}\end{bmatrix}}<0,$

其中 ${\mathbf {P}}\in \S ^{n\times m}$, ${\mathbf {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$， 其中 ${\mathbf {P}}>0.$ 可以改寫為：

${\begin{bmatrix}{\mathbf {A^{T}}}&{\mathbf {1}}&{\mathbf {0}}\\{\mathbf {1}}&{\mathbf {0}}&{\mathbf {1}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {0}}&{\mathbf {P}}&{\mathbf {0}}\\*&{\mathbf {-P}}&{\mathbf {0}}\\*&*&{\mathbf {-P}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {A}}&{\mathbf {1}}\\{\mathbf {1}}&{\mathbf {0}}\\{\mathbf {0}}&{\mathbf {1}}\end{bmatrix}}<0.$ (1)

然後，因為 ${\mathbf {P}}>0,$

${\begin{bmatrix}{\mathbf {-P}}&{\mathbf {0}}\\*&{\mathbf {-P}}\end{bmatrix}}<0,$

這等同於

${\begin{bmatrix}{\mathbf {0}}&{\mathbf {1}}&{\mathbf {0}}\\{\mathbf {0}}&{\mathbf {0}}&{\mathbf {1}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {0}}&{\mathbf {P}}&{\mathbf {0}}\\*&{\mathbf {-P}}&{\mathbf {0}}\\*&*&{\mathbf {-P}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {0}}&{\mathbf {0}}\\{\mathbf {1}}&{\mathbf {0}}\\{\mathbf {0}}&{\mathbf {1}}\end{bmatrix}}<0.$ (2)

這些展開的不等式 (1) 和 (2) 現在具有嚴格投影引理的形式，這意味著它們等價於

${\mathbf {\Phi }}({\mathbf {P}})+{\mathbf {G}}({\mathbf {A}}){\mathbf {VH^{T}}}+{\mathbf {HV^{T}G^{T}}}({\mathbf {A}}),$ (3)

其中 $N({\mathbf {G^{T}}}({\mathbf {A}}))=R({\mathbf {N}}_{G}({\mathbf {A}})),N({\mathbf {H^{T}}})=R({\mathbf {N}}_{H}),$以及 $V\in \mathbb {R} ^{n\times n}.$ 透過選擇

${\mathbf {G}}({\mathbf {A}})={\begin{bmatrix}{\mathbf {-1}}\\{\mathbf {A^{T}}}\\{\mathbf {1}}\end{bmatrix}},{\mathbf {H}}={\begin{bmatrix}{\mathbf {1}}\\{\mathbf {0}}\\{\mathbf {0}}\end{bmatrix}},$

我們現在可以將不等式 (3) 重寫為

${\begin{bmatrix}-({\mathbf {V}}+{\mathbf {V^{T}}})&{\mathbf {V^{T}A}}+{\mathbf {P}}&{\mathbf {V^{T}}}\\*&{\mathbf {-P}}&{\mathbf {0}}\\*&*&{\mathbf {-P}}\end{bmatrix}}<0,$

這是新的膨脹不等式。

例子

這裡給出了一些關於擴張矩陣不等式的有用例子。

例子 1

考慮矩陣 ${\mathbf {A,G}}\in \mathbb {R} ^{n\times n},{\mathbf {\Delta }}\in \mathbb {R} ^{m\times m},{\mathbf {P}}\in \S ^{n},\delta _{1},\delta _{2},a,b\in \mathbb {R} _{>0},$其中 ${\mathbf {P}}>0$且 $b=a^{-1}.$ 以下矩陣不等式等價

${\mathbf {AP}}+{\mathbf {PA^{T}}}+\delta _{1}{\mathbf {P}}+\delta _{2}{\mathbf {APA^{T}}}+{\mathbf {P\Delta ^{T}\Delta P}}<0;$

${\begin{bmatrix}{\mathbf {0}}&{\mathbf {-P}}&{\mathbf {P}}&{\mathbf {0}}&{\mathbf {P\Delta ^{T}}}\\*&{\mathbf {0}}&{\mathbf {0}}&{\mathbf {-P}}&{\mathbf {0}}\\*&*&-\delta _{1}^{-1}{\mathbf {P}}&{\mathbf {0}}&{\mathbf {0}}\\*&*&*&-\delta _{2}^{-1}{\mathbf {P}}&{\mathbf {0}}\\*&*&*&*&{\mathbf {-1}}\\\end{bmatrix}}+He({\begin{bmatrix}{\mathbf {A}}\\{\mathbf {1}}\\{\mathbf {0}}\\{\mathbf {0}}\\{\mathbf {0}}\\\end{bmatrix}}{\mathbf {G}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {1}}&-b{\mathbf {1}}&b{\mathbf {1}}&{\mathbf {1}}&b{\mathbf {\Delta }}^{T}\end{bmatrix}})<0.$

例子 2

考慮矩陣 ${\mathbf {A,V}}\in \mathbb {R} ^{n\times n},{\mathbf {P,X}}\in \S ^{n},{\mathbf {B}}\in \mathbb {R} ^{n\times m},C\in \mathbb {R} ^{p\times n},{\mathbf {D}}\in \mathbb {R} ^{p\times m},{\mathbf {R}}\in \S ^{m},$和 ${\mathbf {S}}\in \S ^{p},$其中 ${\mathbf {P,R,S,X}}>0.$矩陣不等式

${\begin{bmatrix}-{\mathbf {V}}-{\mathbf {V^{T}}}&{\mathbf {VA}}+{\mathbf {P}}&{\mathbf {VB}}&{\mathbf {0}}&{\mathbf {V}}\\*&-2{\mathbf {P}}+{\mathbf {X}}&{\mathbf {0}}&{\mathbf {C^{T}}}&{\mathbf {0}}\\*&*&-{\mathbf {R}}&{\mathbf {D^{T}}}&{\mathbf {0}}\\*&*&*&-{\mathbf {S}}&{\mathbf {0}}\\*&*&*&*&-{\mathbf {X}}\\\end{bmatrix}}<0$

意味著不等式

${\begin{bmatrix}{\mathbf {PA}}+{\mathbf {A^{T}P}}&{\mathbf {PB}}&{\mathbf {C^{T}}}\\*&-{\mathbf {R}}&{\mathbf {D^{T}}}\\*&*&-{\mathbf {S}}\end{bmatrix}}$

示例 3

考慮矩陣 ${\mathbf {A,V}}\in \mathbb {R} ^{n\times n},{\mathbf {Q,X}}\in \S ^{n},{\mathbf {B}}\in \mathbb {R} ^{n\times m},C\in \mathbb {R} ^{p\times n},{\mathbf {D}}\in \mathbb {R} ^{p\times m},{\mathbf {R}}\in \S ^{m},$ 和 ${\mathbf {S}}\in \S ^{p},$ 其中 ${\mathbf {Q,R,S,X}}>0.$ 矩陣不等式

${\begin{bmatrix}-{\mathbf {V}}-{\mathbf {V^{T}}}&{\mathbf {V^{T}A^{T}}}+{\mathbf {Q}}&{\mathbf {0}}&{\mathbf {V^{T}C}}&{\mathbf {V^{T}}}\\*&-2{\mathbf {Q}}+{\mathbf {X}}&{\mathbf {B}}&{\mathbf {0}}&{\mathbf {0}}\\*&*&-{\mathbf {R}}&{\mathbf {D^{T}}}&{\mathbf {0}}\\*&*&*&-{\mathbf {S}}&{\mathbf {0}}\\*&*&*&*&-{\mathbf {X}}\\\end{bmatrix}}<0$

意味著不等式

${\begin{bmatrix}{\mathbf {AQ}}+{\mathbf {QA^{T}}}&{\mathbf {B}}&{\mathbf {QC^{T}}}\\*&-{\mathbf {R}}&{\mathbf {D^{T}}}\\*&*&-{\mathbf {S}}\end{bmatrix}}$

相關頁面

• 投影引理 - 投影引理。
• 逆投影引理 - 逆投影引理。

外部連結

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet 的 LMI 控制課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質及應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的LMI - Stephen Boyd 的 LMI 可下載書籍。
• 範數保持擴張 - 範數保持擴張及其在最優誤差界方面的應用（戴維斯、卡漢、溫伯格）。