訊號處理/傅立葉分析
The 傅立葉級數 允許以其頻率成分而不是其時間波形來表示週期訊號。週期訊號可以表示為頻率為訊號基頻（訊號週期的倒數）的整數倍的正弦波之和。
The 傅立葉變換 將此方法擴充套件到非週期訊號。該訊號被認為是無限小的正弦波之和。正弦波不再是基頻的整數倍，而是在整個頻率軸上都存在。
傅立葉級數和傅立葉變換都有逆變換。變換可以在時域到頻域以及從頻域回到時域進行，而不會丟失任何資訊。換句話說，頻率和時間表示是等效的：它們都是訊號的精確表示，並傳達其完整資訊。
雖然傅立葉級數和傅立葉變換非常適合分析訊號的頻率成分，但拉普拉斯變換 是分析和開發濾波器等電路的首選工具。
事實上，拉普拉斯變換用於求解微分方程和積分方程。透過這種變換，微分和積分分別變成乘以 和除以.
對輸入訊號執行一組微分方程以修改它的濾波器等電路稱為線性時不變 (LTI)。
在頻域中，輸入訊號的頻率成分，，乘以 LTI 系統的傳遞函式，，以確定輸出訊號的頻率成分，.
時間連續（模擬）濾波器是用於抑制訊號中不需要的頻率成分或放大訊號中所需頻率頻段的 LTI 系統。
它們用於
- 抑制新增到訊號中的噪聲，
- 限制訊號的頻率成分，以便在公共傳輸通道上將其與其他具有不同頻率成分的訊號混合，
- 檢索在公共傳輸通道上與其他訊號混合的單個訊號，
- 在以給定速率對其進行取樣之前限制訊號的頻率成分。
由此，傳遞函式的典型形狀將是“磚牆”型別：在某些頻率頻段中讓所有訊號透過，而在其他頻率頻段中則什麼都不讓透過。可惜，這是不可能的。可以證明，磚牆濾波器需要無限的時間才能提供輸出訊號的最開始部分。因此，濾波器設計者必須退而求其次，使用接近磚牆特性的但可以物理實現的傳遞函式：巴特沃斯、切比雪夫等。
諸如開關電容或數字濾波器之類的取樣系統不是基於微分方程而是基於差分方程 進行分析。在給定的時間，取樣濾波器的輸出是濾波器輸入和內部訊號的最後 個值的函式。
求解差分方程需要藉助 Z 變換。類似於拉普拉斯分析，輸入訊號的 Z 變換， ，乘以取樣後的傳遞函式， ，可以得到輸出訊號的 Z 變換， 。利用 的逆 Z 變換可以計算輸出訊號的時間樣本， 。
數字濾波器可以執行與模擬濾波器相同的任務，但作用於取樣訊號。此外，它們還可以用於：
- 在訊號的原始樣本之間插入額外的樣本，以提高訊號的取樣率（插值）
- 預測訊號的未來值（外推）
- 根據對訊號時變特性的評估來調整它們的傳遞函式。
自適應濾波問題源於資料透過噪聲通道傳輸的事實。在接收端，需要從其他資料流、符號間干擾和外部噪聲中分離出訊號中的資料。需要注意的是，噪聲和其他資料流都可以被視為隨機過程。這些過程可以被發現具有某些特徵，例如均值和方差。除了分離問題之外，接收訊號的不同成分（資料本身、噪聲和其他資料流）的特徵也隨時間變化。例如，新的發射機可能會向通道中新增資料流，或者可能會新增新的噪聲，或者目標資料流的發射器可能會改變。不同成分的均值和方差可能會隨時間變化。
作為類比，想象一個房間裡有一人說話（說話者）和一人傾聽（聽眾）。房間裡會有一些環境噪音，例如音響系統的電磁噪聲，或者其他房間裡其他說話者發出的微弱聲音。通常情況下，如果說話者的音量與其他噪音的音量比值很高，聽眾將能夠輕鬆地集中注意力到說話者身上。然而，如果第二個說話者架設了一個講臺並開始講話，聽眾就會難以集中注意力，因為接收到的訊號已經改變了。
從本質上講，濾波問題就是試圖從噪聲訊號中檢測和提取有用資料。資料和背景噪聲的特徵可能事先未知，並且很可能隨時間變化。