材料強度/梁的荷載

工程力學中的材料強度

本書中討論的固體力學最有效的領域之一就是梁的荷載問題。作用在樑上的荷載可以是點荷載、分佈荷載或變荷載。樑上還可以有點力矩。梁本身在一個或多個點上支撐。支撐處的條件取決於所用支撐的型別。如果支撐是滾輪，則它只能承受垂直於滾輪運動方向的反應力。如果支撐是鉸鏈，則它不能承受力矩。如果支撐是固定支座，則它可以承受任何方向的反應力，並能承受力矩。

在上圖中，一個簡易梁在中心處受到荷載P的作用。它在一端有一個鉸鏈接觸，在另一端有一個滾輪接觸。

上圖顯示了作用在梁中心處的理想力矩。理想力矩是不與力相關的力矩。

分析梁問題的一般方法是找出荷載、反作用力、力矩，並得出每個截面的荷載和力矩值。一般來說，這將是沿梁距離的分段函式。

對於荷載，我們建立座標軸，這決定了力的符號。對於力矩，我們約定順時針力矩為正。

示例

1. 考慮前面討論的梁的情況，如上圖所示。

該梁在每個支撐處都有反作用力R₁ 和 R₂ 作用。

R₁ + R₂ = P

應用對稱性，我們有,

R₁ = R₂

因此,

R₁ = R₂ = P/2

上圖顯示了該問題的剪力圖。請注意，正負方向是約定俗成的，但重要的是選擇一個方向作為正剪力方向並始終保持一致。如您所見，剪力值在荷載作用點發生變化。

上圖顯示了梁的彎矩圖。彎矩從支撐處到中間線性變化。(中間的值應該是 PL/4)。請注意，彎矩在中間最大，在兩端為零，因此彎矩的影響在中心最大。在後面的章節中，我們將看到由於彎矩引起的應力和應變是梁中最重要的因素。

練習

1. 在上面的梁中，求出支撐處的反作用力，以及位置x處的剪力。另外，求出該點的彎矩。

2. 上面的梁顯示了由兩個獨立的點荷載引起的荷載。求出距梁一端x位置處的剪力和彎矩。

3. 求出在兩個不同點作用點荷載和力矩的樑上每個點的彎矩。點力矩在實踐中是如何發生的？

求解梁問題的微積分

微積分方法可以用來處理連續荷載函式。但是，這些方法可以透過使用狄拉克 delta 函式來擴充套件到點荷載和力矩。

上圖顯示了一個梁，其單位長度的均勻荷載為w。這種荷載用來模擬梁的自重，自重均勻地作用在整個樑上。這也可用於模擬橋樑由於其上的所有車輛引起的荷載。如果車輛數量很多，則可以透過輪胎作用的單個點荷載來模擬連續荷載。

考慮一個單位長度荷載為q(x)的梁，x表示樑上任意點的位置。考慮梁的一段微元長度dx。對該段微元應用力的平衡，我們有,

V + dV = q dx + V

其中V 是點x處的剪力。因此，我們有關係

dV/dx = q

對同一段微元應用力矩平衡，我們有,

M + dM − V dx − M − q dx dx/2 = 0

忽略dx中的二階項，我們有,

dM/dx = V

或,

d²M/dx² = q

上述微分方程可以與適當的邊界條件一起積分，以獲得每個點的剪力和彎矩。

示例

考慮一個長度為L的梁，其兩端由兩個鉸鏈支撐，單位長度的均勻荷載為w。

因此，樑上的總荷載為wL。因此，每個支撐處的反作用力為wL/2。

我們有，剪力的通用關係

$V=\int _{0}^{x}qdx+C_{1}$

原點處的剪力只是該點的反作用力 (=wL/2)。如果我們取垂直方向為正方向，則原點處的剪力為wL/2。此外，q = −w。因此，對於任意點x，我們有V = −wx + wL/2。

中心處的彎矩應為 wL^2/4

類似地，我們有彎矩M

$M=\int _{0}^{x}Vdx+C_{2}$

很容易看出，原點處的彎矩為零。因此，我們有M = w x (L − x)/2。

點荷載的微積分

上述方法適用於連續的、光滑的荷載函式。但在現實世界中，我們必須處理點荷載和力矩。因此，我們將位置為a的點荷載P的狄拉克函式用作

$P\left\langle x-a\right\rangle ^{-1}$

並將位置為a的點力矩M 用作

$M\left\langle x-a\right\rangle ^{-2}$

現在，之前給出的方程可以在狄拉克函式的規則下使用。函式本身的定義如下

$\left\langle x-a\right\rangle ^{n}=\left\{{\begin{matrix}0&x<a\\(x-a)^{n}&x>a\end{matrix}}\right.$

考慮一根長度為L的梁，兩端支撐，中心承受點載荷P。根據狄拉克定義，有：

$q=-P\left\langle x-L/2\right\rangle ^{-1}$

一端處的剪力僅僅是支撐反力P/2。任意點處的剪力由下式給出：

$V=\int _{0}^{x}qdx=\int _{0}^{x}-P\left\langle x-L/2\right\rangle ^{-1}dx=-P\left\langle x-L/2\right\rangle ^{0}+P/2$

一端處的彎矩為零。任意點處的彎矩由下式給出：

$M=\int _{0}^{x}Vdx=-P\left\langle x-L/2\right\rangle +{\frac {Px}{2}}$

應用狄拉克函式定義，我們有剪力為：

$V=\left\{{\begin{matrix}P/2&x<L/2\\-P/2&x>L/2\end{matrix}}\right.$

$M=\left\{{\begin{matrix}{\frac {Px}{2}}&x<L/2\\{\frac {P(L-x)}{2}}&x>L/2\end{matrix}}\right.$

注意，以上是拉普拉斯變換這種通用方法的一個特例。

練習

1. 使用狄拉克方法求解上述梁的剪力和彎矩。

2. 上述梁有兩個載荷，可以根據圖示進行建模。求解樑上任意點處的剪力和彎矩。

3. 考慮上述帶有懸臂的梁。求解梁軸線上各點處的剪力和彎矩。

梁的應力和應變

已知每個橫截面的載荷和彎矩，我們可以計算每個位置的應力和應變。

考慮一根細長梁的彎曲（其橫截面遠小於長度）。作用在樑上的彎矩會導致一種稱為撓曲的變形。設梁的密切圓半徑為ρ。考慮中性面（變形為零）上的一個微元長度ds。該微元在曲率中心處所對的角為θ，因此：

ds/dθ = ρ

如果我們沿著半徑移動距離y，所對的弧長將為(ρ − y) dθ。因此，微元伸長量將為y dθ。對於足夠小的曲率，我們有中性面上的距離將與初始未變形長度相同，即dx。這使我們得到任意點x處的軸嚮應變為：

ε_x = y/ρ

此外，根據胡克定律，我們有：

σ_x = E ε_x = Ey/ρ

現在，我們知道一個純彎矩M作用在樑上，因此沒有軸向力。或者：

∑ F_x = 0

∫ σ_x dA = 0

∫ y dA = 0

上述等式給出中性面的位置。

此外，應用平衡關係中的力矩守恆部分，我們有：

M − ∫ σ_x dA y = 0

現在，我們知道：

σ_x = Ey/ρ

並且

I = ∫ y² dA

其中I是慣性矩，因此：

M = E/ρ I

或者

E/ρ = M/I

因此，我們有由於純彎矩引起的應力的表示式為：

σ_x = My/I

假設y的最大值為c（中性面到距離），那麼我們有：

σ_max = Mc/I

量I/c被稱為梁的截面模量，用S表示。

σ_max = M/S

具有任意彎矩的梁

到目前為止，我們已經考慮了受M_z方向力矩作用的梁。假設存在另一個M_y方向的力矩。請注意，M_x方向的力矩將僅僅是扭轉效應，因為軸線位於x方向。現在，很容易看出，力矩的組合實際上等同於作用於任意橫截面的樑上的力矩。可以很直觀地證明，在這種情況下，橫截面面上任意點(y, z)處的應力是I_z、I_y和I_yz的函式。

梁的剪下

之前，我們已經瞭解了計算樑上剪下力的方法。現在，我們可以像分析彎矩產生的應力一樣，分析剪下力產生的應力。我們證明了剪下力V由V = dM/dx給出，其中M是作用於x點處的力矩。