材料力學/扭轉

工程力學中的材料力學

作用在長杆上的扭矩會使其沿扭矩方向扭轉。分析是在垂直於軸線的截面上進行的，內阻扭矩的總和等於作用在系統上的外部扭矩。在本章中研究的杆件將做出以下假設

我們想要找到由於施加扭矩T而在半徑為c的圓形軸中產生的最大剪下應力τ_max。根據上述假設，我們有，在軸內的任何點r處，剪下應力為τ_r = r/c τ_max。

∫τ_rdA r = T

∫ r²/c τ_max dA = T

τ_max/c∫r² dA = T

現在，我們知道，

J = ∫ r² dA

是橫截面積的極慣性矩。

因此，最大剪下應力

τ_max = Tc/J

上述方程稱為扭轉公式。

現在，對於實心圓軸，我們有，

J = π/32(d)⁴

此外，對於任何距軸心r距離的點，我們有，剪下應力τ由下式給出

τ = Tr/J

在本分析中，我們只考慮簡單圓軸的扭轉荷載，即圓柱或無裂縫的非偏心管。圓軸在機械中作為傳遞扭矩的部件最為常見，例如旋轉部件的傳動軸（如電機傳動軸）。這是幸運的，因為非圓形杆件在扭轉下的分析很難進行解析。

上圖顯示了一個在某一端受到扭矩T作用的軸的扭轉。我們知道剪下角γ由下式給出

γ = τ/G

對於半徑為c的軸，我們有

φ c = γ L

其中L是軸的長度。現在，τ由下式給出

τ = Tc/J

因此

φ = TL/GJ

作用在軸線x點上的扭矩T_x作用的圓形軸的扭轉角φ由下式給出

$\phi =\phi _{B}-\phi _{A}=\int _{A}^{B}{\frac {T_{x}}{J_{x}G}}dx$

其中J_x是截面x處的矩。請注意，只要圓軸是圓形的，就可以使用扭轉公式來計算面積變化緩慢的軸。