材料強度/弱鏈判定——基於三引數威布林統計

材料強度

工程力學中的材料強度

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當材料的某個特性在測量資料中顯示出較大離散度（例如，脆性材料的強度測量結果，或如參考文獻 [1] 中所列的厚度存在重大變化的螺紋）時，可以透過基於三引數威布林統計學分析測量資料來獲得該特性，或該特性中最弱環節的特徵值。

簡介

當材料需要進行強度判定時，一系列強度測量會顯示出離散度。當離散度相對於系列的平均值較低時，可以透過以下公式定義最小強度值 $f_{min}$：

(1) $f_{min}=f_{a}-u.s$

其中 $f_{a}$ 是平均強度，$s$ 是測量系列的標準偏差，$u$ 是與不失效機率相關的係數（例如，與 0.0001 的失效機率相關）。

然而，許多材料，例如厚度存在重大變化的螺紋，以及退火玻璃等脆性材料，會顯示出相對於系列的平均值而言較大，甚至非常大的離散度。甚至一系列測量值的平均值的離散度，相對於總平均值而言也可能顯示出如此大的離散度，以至於應用表示式 (1) 會導致無意義的最小強度。

在這些情況下，可以使用雙引數威布林分佈描述強度測量系列，該分佈表明最小值接近於零，或者：

(2) $F(f;\alpha ,\beta )=1-\exp \left[-\left({\frac {f}{\beta }}\right)^{\alpha }\right]$

其中 $F$ 是失效的累積機率，$f$ 是測得的強度值，$\alpha$ 是第一個或形狀引數，$\beta$ 是第二個或尺度引數。

最小適用強度值 $f_{min}$ 可以透過以下表達式確定：

(3) $f_{min}=\beta \left[\ln {\frac {1}{1-F}}\right]^{\frac {1}{\alpha }}$

其中，失效的累積機率 $F$ 值很低，例如 0.0001。

當強度測量的離散度極其大，或者最小強度值肯定大於零時，直接應用雙引數威布林分佈就沒有意義，應該用更復雜的方法代替，從而使用三引數威布林分佈，表示為：

(4) $F(f;\alpha ,\beta )=1-\exp \left[-\left({\frac {f-\gamma }{\beta }}\right)^{\alpha }\right]$

其中 $\gamma$ 是第三個引數，即強度的最小值。換句話說，即最薄弱環節。

還需考慮的是，引數應視為具有均值和方差的隨機變數的分佈 ${\mathcal {D}}$。

(5) 第一個引數，也稱為形狀引數：$\alpha ={\mathcal {D}}(\alpha _{m},Var_{\alpha })$

(6) 第二個引數，也稱為尺度引數：$\beta ={\mathcal {D}}(\beta _{m},Var_{\beta })$

(7) 第三個引數，也稱為位置引數：$\gamma ={\mathcal {D}}(\gamma _{m},Var_{\gamma })$

量化方法

為了量化三個引數，尤其是第三個引數，即最薄弱環節，需要大量的資料，並將其分組為多個系列。這些系列需要從批次中抽取的測量樣品中獲得，每個批次應視為相對同質。然後，可以按照以下迭代步驟估算引數：

步驟 i：使用三引數 Weibull 分佈，但將第三引數宣告為 $\gamma _{min}=0$。使用最佳擬合方法將每個資料系列放入該分佈中。這將為每個系列提供引數 $\alpha$ 和 $\beta$。有關最佳擬合方法，請參見參考文獻 [2]，以及維基百科條目 "Weibull 模量"。

步驟 ii：使用這些引數 $\alpha$ 和 $\beta$，計算特定的值和範圍，例如平均值 $f_{a}$ 和範圍 $R_{p2-p1}=f_{p2}-f_{p1}$，其中可能 $p1=0.05$ 和 $p2=0.95$。

步驟 iii: 將所有特定範圍/特定值對，例如 $R_{p2-p1}$/$f_{a}$ 對，繪製成笛卡爾圖，橫座標為特定範圍，縱座標為特定值。結果應為指向縱座標的拉伸雲。

步驟 iv: 計算趨勢，或迴歸線，並計算特定範圍等於零時的特定值。獲得的值，$f_{a,R=0}$，也是第三個引數的平均值 $\gamma _{a,R=0}$。

步驟 v: 計算殘差標準差的最佳估計值 $s_{r}$，這是估計第三個引數的下限值，即實際最弱環節 $\gamma _{min}$ 所需的，表示式為

(8) $s_{r}={\sqrt {K_{f}{\frac {1-r^{2}}{n-2}}}}$ 和 (9) $K_{f}=\sum _{i=1}^{n}f_{a}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}f_{a}\right)^{2}$

其中 $K_{f}$ 是平均值 $f_{a}$ 值的平方和，$n$ 是對數，$r$ 是相關係數。

步驟 vi: 透過以下公式計算第三個引數的下限值

(10) $\gamma _{min}=\gamma _{a,R=0}-u.s_{r}$

其中 $u$ 是正態分佈的偏心率，例如 $u=1.64$，對於 0.05 的機率。

步驟 vii: 將步驟 i中使用的第三個引數替換為步驟 vi中估計的$\gamma _{min}$ 值。重複步驟 i 到 步驟 vii，直到最後一次計算的值與倒數第二次計算的值之間的差值足夠小。

表示條件

為了選擇整個（或多或少不均勻的）總體中最具代表性的強度測量系列，但確保在每個批次中，具有最具代表性的均勻數量的測量件，應考慮一些條件。

a) 系列數量應代表相關材料生產的足夠時間間隔。由最多五個系列組成的總體無疑太小，由六到十個系列組成的總體可能會導致結果存疑。

b) 建議每個系列的測量件數量至少為 10 件。每個系列的測試件應從在可以假定為儘可能均勻的生產間隔內製造的同一批次中隨機選取。

c) 每個系列的測量件應為同一尺寸：不同系列的測量件應尺寸不同。

可能測量系列最小數量示例

螺紋：例如，從一個月的生產週期內分佈的四個生產間隔或批次中，每個螺紋生產儘可能均勻，第一個抗拉強度測量系列應由長度為 $l$ 的測量件組成，第二個系列應由 3 倍 $l$ 的測量件組成，第三個系列應由 10 倍 $l$ 的測量件組成。因此，總共 12 個抗拉強度測量件系列。

退火平板玻璃：例如，從一個月的生產週期內分佈的四個生產間隔或批次中，每個退火平板玻璃生產儘可能均勻（例如，系列可以從一塊非常大的玻璃板上獲取），第一個系列應由面積為 $A_{1}$ 的測量件組成，第二個系列應由面積為 $A_{2}$ 的測量件組成，第三個系列應由面積為 $A_{3}$ 的測量件組成。對於各種表面，請參考國際標準系列 CEN ISO 1288（參考文獻 [3]）。因此，總共 12 個系列

計算機生成的示例

圖 1

下面給出了一個使用計算機生成資料的示例。

測量件:

- 4 個批次，每個批次包含 3348 個強度值；

- 每個批次提供 3 個測量件系列，每個系列包含 121 個、25 個或 9 個強度值，分別對應第一、第二和第三個系列；

- 每個系列包含 12 個測量件；

- 共計 4 x 3 x 12 = 144 個測量件；

- 強度值 $f_{i}$ 是根據以下表達式隨機分佈的

(11) $f_{i}=20+4\mu _{0}+\left[\left(40+40\mu _{0}\right)\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)\right]$

其中 $\mu _{0}$ 是與批次相關的隨機變數，其值介於 0 和 1 之間，而 $\mu _{1}$ 和 $\mu _{2}$ 是與任何應力值相關的隨機變數，其值也介於 0 和 1 之間；

第三引數估計:

步驟 i 到 vii 已執行兩次。結果以圖形方式顯示在圖 1 中。透過重複整個過程 20 次來調查該方法的穩定性。平均最小第三引數值為 $\gamma _{min}$ 為 16.2，標準差為 $s_{\gamma _{min}}$=2.2。

背景

符號

$f$ = 出現次數，例如斷裂應力

$m$ = 表示平均值的下標

$A$ = 一個維度，例如長度、面積等

$F$ = 事件發生的機率

$K$ = 影響事件發生，最負面的不規則程度

$R$ = 範圍，或兩個事件之間差值的數值

$Var$ = 一系列值內的方差

$\alpha$ = 威布林分佈的第一個引數

$\beta$ = 威布林分佈的第二個或尺度引數

$\gamma$ = 威布林分佈的第三個引數

引數受隨機變化影響的威布林分佈

以下部分提供了將“引言”中的表示式推匯出“量化方法”中步驟 v 和 步驟 vi 中表達式的相關資訊。

從表示式（4）中，屬於特定事件機率 F 的應力 $f_{F}$ 為

(i) $f_{F}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$

從表示式 (i) 和表示式 (5) 到 (7) 可以得出以下結論

首先，具有確定發生機率的應力的方差為

(ii) $Var_{F}=Var_{\gamma }+Var_{\beta +\alpha }$，其中 + 表示“與…組合”。

當以 $\ln {\frac {1}{1-F}}=1$ 的方式選擇機率 $F$ 時，表示式 (i) 將簡化為

(iii) $f_{F}=\gamma +\beta$，可以詳細寫成

(iv.a) 平均值 $f_{F;m}=\gamma _{m}+\beta _{m}$ 和

(iv.b) 方差 $Var_{F}=Var_{\gamma }+Var_{\beta }$

其次，應力值 $f_{F}$ 具有確定的機率 $F$ 發生，其值與第二個引數 $\beta$ 的值呈線性關係。當 $\beta$ 的值可以減小到零時，剩餘的表示式將是

(v) $f_{F}=\gamma$，可以詳細描述為

(vi.a) 平均值 $f_{F;m}=\gamma _{m}$ 和

(vi.b) 方差 $Var_{F}=Var_{\gamma }$

第二個或尺度引數 $\beta$ 的性質

物體在應力下的失效，例如線材或退火玻璃等脆性材料，取決於物體的尺寸 $A$ 以及這些不規則性的強度 $K$，從這些不規則性開始失效。例如，對於線材，尺寸以長度為特徵，不規則性的強度以厚度變化等為特徵。在退火玻璃的情況下，尺寸以物體的表面為特徵，不規則性的強度以該表面上缺陷的存在和深度為特徵。

這種依賴關係可以表示為

(vii) ${\frac {\beta _{A_{1}}}{\beta _{A_{2}}}}=K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}$

因此，表示式 (6) 可以透過以下方式更詳細地描述：

(viii) $\beta _{A_{1}}={\mathcal {D}}\left[K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}\beta _{A_{2;m}},K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}Var_{A_{2;m}}\right]=K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}{\mathcal {D}}\left(\beta _{A_{2;m}},Var_{A_{2;m}}\right)$

此表示式表明，當尺寸 $A_{1}$ 趨近於無窮大，或不規則性使得 $K$ 趨近於零時，第二個引數 $\beta$ 趨近於零。

第二個引數 $\beta$ 降至零

對於某一特定測量系列，事件 $f_{F_{1}}$ 發生的機率為 $F_{1}$，事件 $f_{F_{2}}$ 發生的機率為 $F_{2}$，則

(ix) $f_{F_{1}}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$ 和

(x) $f_{F_{2}}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$

當說明該特定測量系列的範圍 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 為

(xi) $R_{F_{1}-F_{2}}=f_{F_{1}}-f_{F_{2}}=\beta \left[\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}\right]$

則第二個引數 $\beta$ 可以表示為

(xii) $\beta ={\frac {R_{F_{1}-F_{2}}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

當用表示式 (xii) 代替表示式 (ix) 中的 $\beta$ 時，結果是

(xiii) $f_{F_{1}}=\gamma +{\frac {R_{\left(F_{1}-F_{2}\right)}\ln \left({\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

此外，考慮到 $\beta$ 的可變性，使用表示式 (viii) ，可以得出結論，機率為 $F_{1}$ 的事件 $f$ 是

(xiv) $f_{F_{1}}=\gamma +K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}{\frac {R_{\left(F_{1}-F_{2}\right)}\ln \left({\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

這意味著當大小 $A_{1}$ 變得無限大，或者當不規則的強度非常重要時， $K$ 接近零，該事件等於第三個引數的值，或者

(xv) $f_{F_{1}}=\gamma$

詳細說明如下：

(xvi.a) 平均值: $f_{F_{1;m}}=\gamma _{m}$

(xvi.b) 方差: $Var_{F_{1}}=Var_{\gamma }$

結論

根據 (xiii)，測量值對 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 和 $f_{F_{1}}$ 可以放在一個笛卡爾圖中，這應該會給出一些點的散佈，其中散佈由 $\alpha$，$\beta$ 和 $\gamma$ 的分佈決定。當每個測量系列的樣本在尺寸上沒有差異，或者當這些系列來自在不規則程度方面沒有顯著差異的批次時，散佈將是不確定的點雲。不能得出任何結論。另一方面，當這些差異得到尊重時，散佈允許繪製 $f_{F_{1}}$ 作為範圍 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 的函式的迴歸線，以及當範圍 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 等於零時，應用表示式 (xv)，從而實現上述的量化方法。

參考文獻

[1] 材料強度/未分類主題

[2] 典型玻璃型別彎曲強度 - 雅各布·茲瓦特 - 國際玻璃評論，平板玻璃，第 3 期，1999 年。

[3] 歐洲和國際標準系列 EN ISO 1288：建築玻璃 - 玻璃彎曲強度的測定