這個量子世界/費曼路線/自由傳播子

自由穩定粒子的傳播子

傳播子作為路徑積分

假設我們以固定的時間間隔 $\Delta t.$ 進行 **m** 次中間位置測量。每次測量都藉助於一個探測器陣列，該陣列監控 **n** 個互不相交的區域 $R_{k},$ $k=1,\dots ,n.$ 在 **規則 B** 所規定的條件下，傳播子 $\langle B|A\rangle$ 現在等於幅度的總和

$\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=1}^{n}\langle B|R_{k_{m}}\rangle \cdots \langle R_{k_{2}}|R_{k_{1}}\rangle \,\langle R_{k_{1}}|A\rangle .$

在雙重極限 $\Delta t\rightarrow 0$ （這意味著 $m\rightarrow \infty$ ） 和 $n\rightarrow \infty .$ 發生了什麼，這並不難看出。 多重求和 $\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=1}^{n}$ 變成了一個在從A到B 的連續時空路徑上的積分 $\int \!{\mathcal {DC}}$， 而振幅 $\langle B|R_{k_{m}}\rangle \cdots \langle R_{k_{1}}|A\rangle$ 變成了一個復值泛函 $Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]$ —— 一個表示從A到B 的連續時空路徑的連續函式的複函式。

$\langle B|A\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]$

積分 $\int \!{\mathcal {DC}}$ 不是你標準的黎曼積分 $\int _{a}^{b}dx\,f(x),$ 其中每個無窮小區間 $dx$ 做出的貢獻與$f(x)$ 在該區間內取的值成正比，而是一個泛函或路徑積分，其中每個寬度為${\mathcal {DC}}$ 的無窮小寬度的“路徑束” 做出的貢獻與 $Z[{\mathcal {C}}]$ 在該束內取的值成正比。

就目前而言，路徑積分 $\int \!{\mathcal {DC}}$ 只是一個概念的思路。 必須針對不同的情況設計合適的評估方法。

一個自由粒子

現在選擇任意路徑 ${\mathcal {C}}$ 從 **A** 到 **B**，然後選擇路徑 ${\mathcal {C}}$ 上的任意無窮小線段 $d{\mathcal {C}}$。用 慣性座標 $t,x,y,z$ 和 $t+dt,x+dx,y+dy,z+dz,$ 分別標記 $d{\mathcal {C}}$ 的起點和終點。在一般情況下，振幅 $Z(d{\mathcal {C}})$ 將是 $t,x,y,z$ 和 $dt,dx,dy,dz.$ 的函式。對於自由粒子，$Z(d{\mathcal {C}})$ 既不依賴於 $d{\mathcal {C}}$ 在時空中的位置（由 $t,x,y,z$ 給出），也不依賴於 $d{\mathcal {C}}$ 在時空中的方向（由 四速度 $(c\,dt/ds,dx/ds,dy/ds,dz/ds)$ 給出），而只依賴於 固有時間 間隔 $ds={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})/c^{2}}}.$

(由於其模等於光速，四速度依賴於三個而不是四個獨立引數。連同$ds,$，它們包含與四個獨立數$dt,dx,dy,dz.$相同的資訊。）

因此，對於一個自由粒子，$Z(d{\mathcal {C}})=Z(ds).$ 隨之，連續傳播子的乘法性告訴我們

$\prod _{j}Z(ds_{j})=Z{\Bigl (}\sum _{j}ds_{j}{\Bigr )}\longrightarrow Z{\Bigl (}\int _{\mathcal {C}}ds{\Bigr )}$

由此得出，存在一個複數$z$，使得$Z[{\mathcal {C}}]=e^{z\,s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]},$ 其中線積分 $s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]=\int _{\mathcal {C}}ds$ 給出了一個時鐘從A到B透過${\mathcal {C}}.$時經過的時間。

一個自由而穩定的粒子

透過對${\bigl |}\langle B|A\rangle {\bigr |}^{2}$（作為$\mathbf {r} _{B}$的函式）在整個空間上的積分，我們得到了這樣一個粒子的機率，該粒子在時空點$t_{A},\mathbf {r} _{A}$發射後，仍然存在於時間$t_{B}.$ 對於一個穩定的粒子，這個機率等於1。

$\int \!d^{3}r_{B}\left|\langle t_{B},\mathbf {r} _{B}|t_{A},\mathbf {r} _{A}\rangle \right|^{2}=\int \!d^{3}r_{B}\left|\int \!{\mathcal {DC}}\,e^{z\,s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]}\right|^{2}=1$

如果你以平靜的心態和開放的思想思考這個方程式，你就會注意到，如果複數 $z=a+ib$ 的實部 $a\neq 0,$，那麼兩個等號之間的積分要麼會發散 $(a>0)$，要麼會以指數形式衰減 $(a<0)$，作為 $t_{B}$ 的函式，這是由於指數因子 $e^{a\,s[{\mathcal {C}}]}$。

質量的意義

因此，自由穩定粒子的傳播子只有一個“自由度”：它只依賴於 $b.$ 的值。如果固有時間以秒為單位測量，那麼 $b$ 以弧度/秒為單位測量。我們可以將 $e^{ib\,s},$ （其中 $s$ 是 ${\mathcal {C}},$ 的固有時間引數化）視為粒子從 A 到 B 透過 ${\mathcal {C}},$ 攜帶的時鐘，只要我們記住我們是在考慮量子力學數學形式主義的一個方面，而不是現實世界的一個方面。

通常

• 會插入一個負號（因此時鐘實際上是順時針轉動的！）：$Z=e^{-ib\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 乘以 $2\pi$（以便我們可以將 $b$ 視為時鐘“滴答”的速率——它每秒完成的迴圈次數）：$Z=e^{-i\,2\pi \,b\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 除以普朗克常數 $h$（使 $b$ 以能量單位測量，稱為粒子的 靜止能量）：$Z=e^{-i(2\pi /h)\,b\,s[{\mathcal {C}}]}=e^{-(i/\hbar )\,b\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 並乘以 $c^{2}$（使 $b$ 以質量單位測量，稱為粒子的 靜止質量）：$Z=e^{-(i/\hbar )\,b\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]}.$

使用相同字母 $b$ 的目的是強調它表示相同的物理量，只是以不同的單位測量。如果我們使用 自然單位，其中 $\hbar =c=1,$ 而不是傳統的單位，各種 $b$ 的同一性將變得顯而易見。