量子世界/費曼路線/從量子到經典

從量子到經典

作用

讓我們回到傳播子

$\langle B|A\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B].$

對於自由且穩定的粒子，我們發現

$Z[{\mathcal {C}}]=e^{-(i/\hbar )\,m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]},\qquad s[{\mathcal {C}}]=\int _{\mathcal {C}}ds,$

其中$ds={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})/c^{2}}}$ 是與路徑元素$d{\mathcal {C}}$ 相關的固有時間間隔。對於一般情況，我們發現振幅$Z(d{\mathcal {C}})$ 是$t,x,y,z$ 和$dt,dx,dy,dz$ 的函式，或者等效地，座標$t,x,y,z$，4-速度的分量$c\,dt/ds,dx/ds,dy/ds,dz/ds$，以及$ds$。對於穩定的但不自由的粒子，我們透過與上述振幅相同的論證得到，

$Z[{\mathcal {C}}]=e^{(i/\hbar )\,S[{\mathcal {C}}]},$

我們引入了函式 $S[{\mathcal {C}}]=\int _{\mathcal {C}}dS$，稱為作用量。

對於自由且穩定的粒子，$S[{\mathcal {C}}]$ 是固有時間（或固有持續時間）$s[{\mathcal {C}}]=\int _{\mathcal {C}}ds$ 乘以 $-mc^{2}$，而無窮小作用量 $dS[d{\mathcal {C}}]$ 與 $ds$ 成正比。

$S[{\mathcal {C}}]=-m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}],\qquad dS[d{\mathcal {C}}]=-m\,c^{2}\,ds.$

讓我們回顧一下。如果我們知道如何計算機率 $p(B|A)$（在所有情況下），我們就能瞭解穩定粒子的所有運動。如果我們知道振幅 $\langle B|A\rangle$，我們就能知道這一點。如果我們知道函式 $Z[{\mathcal {C}}]$，我們就能知道後者。如果我們知道無窮小作用量 $dS(t,x,y,z,dt,dx,dy,dz)$ 或 $dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} )$（在所有情況下），我們就能知道這個函式。

我們對 $dS$ 知道些什麼呢？

連續傳播子的可乘性意味著與相鄰無窮小路徑段 $d{\mathcal {C}}_{1}$ 和 $d{\mathcal {C}}_{2}$ 相關聯的作用量的可加性。換句話說，

$e^{(i/\hbar )\,dS(d{\mathcal {C}}_{1}+d{\mathcal {C}}_{2})}=e^{(i/\hbar )\,dS(d{\mathcal {C}}_{2})}\,e^{(i/\hbar )\,dS(d{\mathcal {C}}_{1})}$

意味著

$dS(d{\mathcal {C}}_{1}+d{\mathcal {C}}_{2})=dS(d{\mathcal {C}}_{1})+dS(d{\mathcal {C}}_{2}).$

因此，微分 $dS$ 在微分 $dt,d\mathbf {r}$ 中是齊次的（1 次齊次）。

$dS(t,\mathbf {r} ,\lambda \,dt,\lambda \,d\mathbf {r} )=\lambda \,dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} ).$

這個性質 $dS$ 使我們能夠將作用 $S[{\mathcal {C}}]$ 視為與 ${\mathcal {C}}$ 相關的（特定於粒子的）長度，並將 $dS$ 視為定義了（特定於粒子的）時空幾何。將 $1/dt$ 代入 $\lambda$，我們得到

$dS(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} )={\frac {dS}{dt}}.$

不對吧？由於等式右邊現在是一個有限值，我們不應該使用符號 $dS$ 來表示左邊。我們實際上發現存在一個函式 $L(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$，稱為拉格朗日函式，使得 $dS=L\,dt$.

測地線方程

考慮一個時空路徑 ${\mathcal {C}}$ 從 $A$ 到 $B.$ 讓我們以這樣的方式改變（“變化”）它：${\mathcal {C}}$ 的每個點 $(t,\mathbf {r} )$ 都被微小地移動到相應的點 $(t+\delta t,\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} ),$ 除了端點，它們保持固定：$\delta t=0$ 和 $\delta \mathbf {r} =0$ 在 $A$ 和 $B.$

如果 $t\rightarrow t+\delta t,$ 那麼 $dt=t_{2}-t_{1}\longrightarrow t_{2}+\delta t_{2}-(t_{1}+\delta t_{1})=(t_{2}-t_{1})+(\delta t_{2}-\delta t_{1})=dt+d\delta t.$

同樣地，$d\mathbf {r} \rightarrow d\mathbf {r} +d\delta \mathbf {r} .$

一般來說，變化 ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}'$ 會導致作用相應的變化：$S[{\mathcal {C}}]\rightarrow S[{\mathcal {C}}']\neq S[{\mathcal {C}}].$ 如果作用沒有改變（也就是說，如果它在 ${\mathcal {C}}$ 是靜止的），

$\delta S=\int _{{\mathcal {C}}'}dS-\int _{\mathcal {C}}dS=0,$

那麼 ${\mathcal {C}}$ 是由 $dS.$ 定義的幾何中的測地線。（函式 $f(x)$ 在那些當 $x$ 無限小變化時其值不會改變的 $x$ 值處是駐點的。同樣地，我們稱泛函 $S[{\mathcal {C}}]$ 是駐點的，如果當 ${\mathcal {C}}$ 無限小變化時其值不會改變。）

為了獲得一種更方便的方法來描述測地線，我們首先展開

$dS({\mathcal {C}}')=dS(t+\delta t,\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} ,dt+d\delta t,d\mathbf {r} +d\delta \mathbf {r} )$

$=dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} )+{\frac {\partial dS}{\partial t}}\,\delta t+{\frac {\partial dS}{\partial \mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} +{\frac {\partial dS}{\partial dt}}\,d\delta t+{\frac {\partial dS}{\partial d\mathbf {r} }}\cdot d\delta \mathbf {r} .$

這給了我們

$(^{*})\quad \int _{{\mathcal {C}}'}dS-\int _{\mathcal {C}}dS=\int _{\mathcal {C}}\left[{\partial dS \over \partial t}\delta t+{\partial dS \over \partial \mathbf {r} }\cdot \delta \mathbf {r} +{\partial dS \over \partial dt}d\,\delta t+{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot d\,\delta \mathbf {r} \right].$

接下來，我們使用導數的乘積法則：

$d\left({\partial dS \over \partial dt}\delta t\right)=\left(d{\partial dS \over \partial dt}\right)\delta t+{\partial dS \over \partial dt}d\,\delta t,$

$d\left({\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot \delta \mathbf {r} \right)=\left(d{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\right)\cdot \delta \mathbf {r} +{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot d\,\delta \mathbf {r} ,$

用這些替換(*)中的最後兩項，得到：

$\delta S=\int \left[\left({\partial dS \over \partial t}-d{\partial dS \over \partial dt}\right)\delta t+\left({\partial dS \over \partial \mathbf {r} }-d{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\right)\cdot \delta \mathbf {r} \right]+\int d\left({\partial dS \over \partial dt}\delta t+{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot \delta \mathbf {r} \right).$

第二個積分消失，因為它等於括號中表達式在端點 $A$ 和 $B,$ 處的差值，其中 $\delta t=0$ 且 $\delta \mathbf {r} =0.$ 如果 ${\mathcal {C}}$ 是測地線，那麼第一個積分也會消失。事實上，在這種情況下，$\delta S=0$ 必須對所有可能的（無窮小）變化 $\delta t$ 和 $\delta \mathbf {r} ,$ 成立，因此第一個積分的被積函式消失。底線是，由 $dS$ 定義的測地線滿足測地線方程

${\partial dS \over \partial t}=d\,{\partial dS \over \partial dt},\qquad {\partial dS \over \partial \mathbf {r} }=d\,{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }.$

最小作用原理

如果一個物體從 $A$ 運動到 $B,$ 它會沿著從 $A$ 到 $B,$ 的所有路徑運動，就像電子穿過兩個狹縫一樣。那麼，為什麼像行星、網球或蚊子這樣的大物體看起來是沿著單一、明確的路徑運動的呢？

至少有兩個原因。其中之一是，物體越大，就越難滿足規則 $B.$ 所規定的條件。另一個原因是，即使滿足這些條件，在經典物理定律預測其不應該出現的地方發現質量為 $m$ 的物體的可能性會隨著 $m$ 的增加而降低。

要理解這一點，我們需要考慮到這樣一個事實：嚴格來說，我們無法檢查一個從 $A$ 到 $B,$ 運動的物體是否沿著數學上精確的路徑 ${\mathcal {C}}.$ 讓我們做一個半現實的假設：我們能檢查的是，一個物體是否在一條狹窄的路徑束中從 $A$ 運動到 $B$——這些路徑包含在一個狹窄的管子裡 ${\mathcal {T}}.$ 發現它確實這樣做的機率，是路徑積分 $I({\mathcal {T}})=\int _{\mathcal {T}}{\mathcal {DC}}e^{(i/\hbar )S[{\mathcal {C}}]},$ 的絕對值的平方，它對包含在 ${\mathcal {T}}.$ 內的路徑求和。

讓我們假設從 $A$ 到 $B$ 恰好有一條路徑，對於這條路徑 $S[{\mathcal {C}}]$ 是平穩的：無論我們如何稍微改變路徑，它的長度都不會改變。換句話說，我們假設只存在一條測地線。我們稱之為 ${\mathcal {G}},$，並且我們假設它位於 ${\mathcal {T}}.$

無論泛路徑${\mathcal {C}},$ 的變化如何迅速，相位$S[{\mathcal {C}}]/\hbar$ 在 ${\mathcal {G}}.$ 處將是靜止的。簡單來說，這意味著在 ${\mathcal {G}}$ 附近的大量路徑對 $I({\mathcal {T}})$ 的貢獻具有幾乎相同的相位。結果是，相應的相位因子 $e^{(i/\hbar )S[{\mathcal {C}}]}$ 的總和的幅度很大。

如果$S[{\mathcal {C}}]/\hbar$ 在 ${\mathcal {C}},$ 處不是靜止的，則一切都取決於它在 ${\mathcal {C}}.$ 變化下變化的速度。如果它變化得足夠快，與 ${\mathcal {C}}$ 附近的路徑相關的相位或多或少地均勻分佈在區間 $[0,2\pi ],$ 上，因此相應的相位因子加起來為一個幅度相對較小的複數。在極限 $S[{\mathcal {C}}]/\hbar \rightarrow \infty ,$ 中，對 $I({\mathcal {T}})$ 的唯一顯著貢獻來自 ${\mathcal {G}}.$ 的無窮小鄰域內的路徑。

我們假設 ${\mathcal {G}}$ 位於 ${\mathcal {T}}.$。 如果它不在，並且如果 $S[{\mathcal {C}}]/\hbar$ 變化足夠快，那麼與 ${\mathcal {T}}$ 中任何路徑附近的路徑相關的相位或多或少地均勻分佈在區間 $[0,2\pi ],$ 使得在極限 $S[{\mathcal {C}}]/\hbar \rightarrow \infty$ 情況下，對 $I({\mathcal {T}}).$ 沒有顯著的貢獻。

對於自由粒子，正如你所記得的，$S[{\mathcal {C}}]=-m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}].$ 從中我們得出，找到一個自由運動的物體在經典物理定律認為它不應該存在的地方的可能性，隨著其質量的增加而減小。 由於對於足夠重的物體，由於運動影響而對作用的貢獻相對於 $|-m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]|,$ 很小，因此對於不自由運動的物體也是如此。

那麼，經典物理定律究竟是什麼呢？

它們是量子物理定律在極限 $\hbar \rightarrow 0.$ 下退化的。 在這個極限下，正如你從上面所瞭解到的，找到一個粒子在包含測地線的管道（無論多窄）中行進的機率為 1，而找到一個粒子在不包含測地線的管道（無論多寬）中行進的機率為 0。 因此，我們可以透過說它遵循由 $dS.$ 定義的幾何的測地線來陳述經典物理定律（首先是單一的“點質量”）。

這很容易推廣。 具有 $n$ 個自由度的系統的傳播子 - 比如一個具有 $m$ 個粒子的系統，具有 $n=3m$ 個自由度 - 是

$\langle {\mathcal {P}}_{f},t_{f}|{\mathcal {P}}_{i},t_{i}\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,e^{(i/\hbar )S[{\mathcal {C}}]},$

其中 ${\mathcal {P}}_{i}$ 和 ${\mathcal {P}}_{f}$ 分別是系統在初始時間 $t_{i}$ 和最終時間 $t_{f},$ 的各自配置，積分對系統所有路徑求和，這些路徑在系統的 $n{+}1$ 維配置時空中從 $({\mathcal {P}}_{i},t_{i})$ 到 $({\mathcal {P}}_{f},t_{f}).$ 在這種情況下，相應的經典系統也遵循由作用微分定義的幾何的測地線 $dS,$ 現在它依賴於 $n$ 個空間座標、一個時間座標以及相應的 $n{+}1$ 個微分。

經典系統遵循由其作用定義的幾何的測地線的論述通常被稱為最小作用原理。更合適的名稱是駐定作用原理。

能量和動量

觀察到，如果 $dS$ 不依賴於 $t$（即 $\partial dS/\partial t=0$）那麼

$E=-{\partial dS \over \partial dt}$

在測地線上是常數。（我們將在稍後發現負號的原因。）

同樣地，如果 $dS$ 不依賴於 $\mathbf {r}$ （即，$\partial dS/\partial \mathbf {r} =0$ ) 那麼

$\mathbf {p} ={\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }$

在測地線上是常數。

$E$ 告訴我們投影 $dt$ 一條路徑 ${\mathcal {C}}$ 的線段 $d{\mathcal {C}}$ 到時間軸上的貢獻，對 ${\mathcal {C}}.$ 的作用有多大。 $\mathbf {p}$ 告訴我們投影 $d\mathbf {r}$  $d{\mathcal {C}}$ 到空間上的貢獻，對 $S[{\mathcal {C}}].$ 如果 $dS$ 沒有顯式的對時間的依賴性，那麼時間軸上的等間隔將對 $S[{\mathcal {C}}],$ 做出相等的貢獻，如果 $dS$ 沒有顯式的對空間的依賴性，那麼任何空間軸上的等間隔將對 $S[{\mathcal {C}}].$ 在前一種情況下，相等的時間間隔是物理上等價的：它們代表著相等的時間段。在後一種情況下，相等的距離間隔是物理上等價的：它們代表著相等的距離。

如果時間座標的等間隔或空間座標的等間隔在物理上並不等效，那麼這是由於以下兩個原因之一。第一個原因是使用了非慣性座標。因為如果使用慣性座標，那麼所有自由運動的點質量在時間座標的等間隔內都會在空間座標上運動等間隔，這意味著等座標間隔在物理上是等效的。第二個原因是，無論正在運動的是什麼，它都不自由運動：無論如何，有些東西會影響它的運動。這是因為將物體運動的影響納入量子物理學數學形式的一種方法，就是透過讓$dS$ 依賴於 $t$ 和/或 $\mathbf {r} .$ 來使慣性座標間隔在物理上不等效。

因此，對於一個自由運動的經典物體，$E$ 和 $\mathbf {p}$ 都是常數。由於$E$ 的恆定性源於座標時間等間隔的物理等效性（也稱為時間的“均勻性”），並且由於（在經典力學中）能量被定義為其恆定性暗示時間均勻性的量，所以 $E$ 是物體的能量。

同樣，由於$\mathbf {p}$ 的恆定性源於任何空間座標軸等間隔的物理等效性（也稱為空間的“均勻性”），並且由於（在經典力學中）動量被定義為其恆定性暗示空間均勻性的量，所以 $\mathbf {p}$ 是物體的動量。

讓我們微分 先前結果：

$dS(t,\mathbf {r} ,\lambda \,dt,\lambda \,d\mathbf {r} )=\lambda \,dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} ),$

關於$\lambda .$ 左邊變為

${d(dS) \over d\lambda }={\partial dS \over \partial (\lambda dt)}{\partial (\lambda dt) \over \partial \lambda }+{\partial dS \over \partial (\lambda d\mathbf {r} )}\cdot {\partial (\lambda d\mathbf {r} ) \over \partial \lambda }={\partial dS \over \partial (\lambda dt)}dt+{\partial dS \over \partial (\lambda d\mathbf {r} )}\cdot d\mathbf {r} ,$

當右側簡化為 $dS.$。設定 $\lambda =1$ 並使用上面定義的 $E$ 和 $\mathbf {p} ,$，我們得到

$-E\,dt+\mathbf {p} \cdot d\mathbf {r} =dS.$

$dS=-m\,c^{2}\,ds$ 是一個 4-標量。由於 $(c\,dt,d\mathbf {r} )$ 是 4-向量的分量，左側，$-E\,dt+\mathbf {p} \cdot d\mathbf {r} ,$ 是一個 4-標量當且僅當 $(E/c,\mathbf {p} )$ 是另一個 4-向量的分量。

（如果我們沒有在 $E$ 前面加上負號定義它，那麼這個 4-向量將具有 $(-E/c,\mathbf {p} ).$ 分量。）

在一個自由點質量的靜止系 ${\mathcal {F}}'$ 中，$dt'=ds$ 且 $dS=-m\,c^{2}\,dt'.$ 使用 洛倫茲變換，我們發現這等於

$dS=-mc^{2}{dt-v\,dx/c^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=-{mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,dt+{m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\cdot d\mathbf {r} ,$

其中 $\mathbf {v} =(v,0,0)$ 是點質量在 ${\mathcal {F}}.$ 的速度。將它與上面框定的方程比較，可以發現對於自由點質量，

$E={mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\qquad \mathbf {p} ={m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\;.$

洛倫茲力定律

為了將粒子的運動效應（無論其原因是什麼）納入考慮，我們必須修改自由粒子與路徑段 $d{\mathcal {C}}.$ 相關的動作微分 $dS=-mc^{2}\,dt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 。在這樣做時，我們必須注意修改後的 $dS$ (i) 仍然 對微分是齊次的 並且 (ii) 仍然是 4 標量。最直接的方法是新增一個不僅是齊次的，而且是座標微分的線性的項

$(^{*})\quad dS=-mc^{2}\,dt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-qV(t,\mathbf {r} )\,dt+(q/c)\mathbf {A} (t,\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .$

信不信由你，所有經典電磁效應（與它們的起因相對）都可以用這個表示式來解釋。 $V(t,\mathbf {r} )$ 是一個標量場（即，一個關於時間和空間座標的函式，在空間座標旋轉下保持不變），$\mathbf {A} (t,\mathbf {r} )$ 是一個 3-向量場，而 $(V,\mathbf {A} )$ 是一個 4-向量場。我們稱 $V$ 和 $\mathbf {A}$ 分別為標量勢和向量勢。粒子特有的常數 $q$ 是電荷，它決定了特定種類的粒子受到電磁影響的強度。

如果一個質點不是自由的，則上一節末尾的表示式給出了它的動能 $E_{k}$ 和它的動量 $\mathbf {p} _{k}.$ 將 (*) 轉化為以下形式

$dS=-(E_{k}+qV)\,dt+[\mathbf {p} _{k}+(q/c)\mathbf {A} ]\cdot d\mathbf {r}$

並將其代入定義

$(^{*}{}^{*})\quad E=-{\partial dS \over \partial dt},\qquad \mathbf {p} ={\partial dS \over \partial d\mathbf {r} },$

我們得到

$E=E_{k}+qV,\qquad \mathbf {p} =\mathbf {p} _{k}+(q/c)\mathbf {A} .$

$qV$ 和 $(q/c)\mathbf {A}$ 分別是粒子的勢能和勢動量。

現在，我們將 (**) 代入測地線方程

${\partial dS \over \partial \mathbf {r} }=d\,{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }.$

對於等式右側，我們得到

$d\mathbf {p} _{k}+{q \over c}d\mathbf {A} =d\mathbf {p} _{k}+{q \over c}\left[dt{\partial \mathbf {A} \over \partial t}+\left(d\mathbf {r} \cdot {\partial \over \partial \mathbf {r} }\right)\mathbf {A} \right],$

而等式左側的結果為

$-q{\partial V \over \partial \mathbf {r} }dt+{q \over c}{\partial (\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} ) \over \partial \mathbf {r} }=-q{\partial V \over \partial \mathbf {r} }dt+{q \over c}\left[\left(d\mathbf {r} \cdot {\partial \over \partial \mathbf {r} }\right)\mathbf {A} +d\mathbf {r} \times \left({\partial \over \partial \mathbf {r} }\times \mathbf {A} \right)\right].$

兩項抵消，最終結果為

$d\mathbf {p} _{k}=q\underbrace {\left(-{\partial V \over \partial \mathbf {r} }-{1 \over c}{\partial \mathbf {A} \over \partial t}\right)} _{\displaystyle \equiv \mathbf {E} }dt+d\mathbf {r} \times {q \over c}\underbrace {\left({\partial \over \partial \mathbf {r} }\times \mathbf {A} \right)} _{\displaystyle \equiv \mathbf {B} }=q\,\mathbf {E} \,dt+d\mathbf {r} \times {q \over c}\,\mathbf {B} .$

當一個經典物體沿測地線的線段 $d{\mathcal {G}}$ 運動時，它的動量會改變，改變數由兩項之和組成，一項是時間分量 $dt$ 的 $d{\mathcal {G}}$ 的線性函式，另一項是空間分量 $d\mathbf {r} .$ 的線性函式。 $dt$ 對 $\mathbf {p} _{k}$ 變化的貢獻取決於 *電場* $\mathbf {E} ,$ 以及 $d\mathbf {r}$ 對變化的貢獻取決於 *磁場* $\mathbf {B} .$ 最後一個方程通常寫成

${d\mathbf {p} _{k} \over dt}=q\,\mathbf {E} +{q \over c}\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,$

被稱為 *洛倫茲力定律*，並伴隨以下故事：存在一個叫做電磁場的物理實體，它無處不在，並對電荷 $q$ 施加電場力 $q\mathbf {E}$ 和磁場力 $(q/c)\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} .$

(注意：洛倫茲力定律的這種形式在 高斯單位制 中成立。在 MKSA 單位制 中，$c$ 會消失。)

經典故事從何而來？

想象時空中的一個小矩形，其四個角為

$A=(0,0,0,0),\;B=(dt,0,0,0),\;C=(0,dx,0,0),\;D=(dt,dx,0,0).$

讓我們計算從 $A$ 到 $D$ 透過 $B$ 的路徑對作用量的電磁貢獻，對於單位電荷 ($q=1$) 在自然單位 ( $c=1$ )

$S_{ABD}=-V(dt/2,0,0,0)\,dt+A_{x}(dt,dx/2,0,0)\,dx$

$\quad =-V(dt/2,0,0,0)\,dt+\left[A_{x}(0,dx/2,0,0)+{\partial A_{x} \over \partial t}dt\right]dx.$

接下來，從 $A$ 到 $D$ 透過 $C$ 的路徑對作用量的貢獻。

$S_{ACD}=A_{x}(0,dx/2,0,0)\,dx-V(dt/2,dx,0,0)\,dt$

$=A_{x}(0,dx/2,0,0)\,dx-\left[V(dt/2,0,0,0)+{\partial V \over \partial x}dx\right]dt.$

觀察一下差值

$\Delta S=S_{ACD}-S_{ABD}=\left(-{\partial V \over \partial x}-{\partial A_{x} \over \partial t}\right)dt\,dx=E_{x}\,dt\,dx.$

或者，您可以將 $\Delta S$ 視為環路 $A\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A.$ 作用的電磁貢獻。

讓我們對一個帶有角點的矩形重複計算。

$A=(0,0,0,0),\;B=(0,0,dy,0),\;C=(0,0,0,dz),\;D=(0,0,dy,dz).$

$S_{ABD}=A_{z}(0,0,0,dz/2)\,dz+A_{y}(0,0,dy/2,dz)\,dy$

$=A_{z}(0,0,0,dz/2)\,dz+\left[A_{y}(0,0,dy/2,0)+{\partial A_{y} \over \partial z}dz\right]dy,$

$S_{ACD}=A_{y}(0,0,dy/2,0)\,dy+A_{z}(0,0,dy,dz/2)\,dz$

$=A_{y}(0,0,dy/2,0)\,dy+\left[A_{z}(0,0,0,dz/2)+{\partial A_{z} \over \partial y}dy\right]dz,$

$\Delta S=S_{ACD}-S_{ABD}=\left({\partial A_{z} \over \partial y}-{\partial A_{y} \over \partial z}\right)dy\,dz=B_{x}\,dy\,dz.$

因此，此環路作用的電磁貢獻等於 $\mathbf {B}$ 穿過環路的通量。

記住 (i) 斯托克斯定理 和 (ii) 定義 of $\mathbf {B}$ 在 terms of $\mathbf {A} ,$ 我們發現

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

換句話說，磁通量透過迴路 $\partial \Sigma$ (或透過任何表面 $\Sigma$ 被 $\partial \Sigma$ 包圍) 等於 $\mathbf {A}$ 在迴路周圍的環流 (或圍繞回路包圍的任何表面)。

環流 $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ 繞有限矩形 $A\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A$ 的影響是增加 (或減少) 與線段 $A\rightarrow B\rightarrow D$ 相關的動作，相對於與線段 $A\rightarrow C\rightarrow D.$ 相關的動作。如果兩個線段的動作相等，那麼我們可以預期從 $A$ 到 $D$ 的最小作用路徑是一條直線。如果一個線段的動作大於另一個，那麼我們可以預期從 $A$ 到 $D$ 的最小作用路徑會偏離動作更大的線段。

將此與經典故事進行比較，經典故事透過呼叫作用於磁場和粒子運動方向垂直的力來解釋帶電粒子在磁場中路徑的曲率。 對同一效應的量子力學處理沒有提供這樣的解釋。量子力學不涉及任何機制。它只是告訴我們，對於從$A$ 到 $D,$ 運動的足夠大的電荷，找到它已在不包含連線$A$ 與 $D,$ 的作用測地線的任何路徑束中的機率實際上為 0。

同樣的事情也適用於經典故事，該故事認為帶電粒子在時空平面中的路徑曲率是由於作用於電場方向的力造成的。（觀察到，時空平面中的曲率等同於加速度或減速。特別是，包含$x$ 軸的時空平面中的曲率等同於平行於$x$ 軸的方向的加速度。）在這種情況下，相應的迴圈是 4 向量勢$(cV,\mathbf {A} )$ 在時空環路周圍的迴圈。