量子世界/費曼路線/自由傳播子

自由穩定粒子的傳播子

傳播子作為路徑積分

假設我們在固定時間間隔內進行 m 次中間位置測量$\Delta t.$ 每次測量都藉助於探測器陣列，監測 n 個互不相交的區域$R_{k},$ $k=1,\dots ,n.$ 根據 規則 B 的規定，傳播子 $\langle B|A\rangle$ 現在等於振幅之和

$\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=1}^{n}\langle B|R_{k_{m}}\rangle \cdots \langle R_{k_{2}}|R_{k_{1}}\rangle \,\langle R_{k_{1}}|A\rangle .$

在雙重極限 $\Delta t\rightarrow 0$（這意味著 $m\rightarrow \infty$）和 $n\rightarrow \infty .$ 發生的事情並不難理解。多元求和 $\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=1}^{n}$ 變成了一個在從 **A** 到 **B** 的連續時空路徑上的積分 $\int \!{\mathcal {DC}}$，而振幅 $\langle B|R_{k_{m}}\rangle \cdots \langle R_{k_{1}}|A\rangle$ 變成了一個復值泛函 $Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]$——一個代表從 **A** 到 **B** 的連續時空路徑的連續函式的複函式。

$\langle B|A\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]$

積分 $\int \!{\mathcal {DC}}$ 不是標準的黎曼積分 $\int _{a}^{b}dx\,f(x),$，在黎曼積分中，每個無窮小區間 $dx$ 的貢獻與 $f(x)$ 在區間內取的值成正比，而這是一個泛函或路徑積分，其中每個寬度為 ${\mathcal {DC}}$ 的無窮小寬度的路徑“束”的貢獻與 $Z[{\mathcal {C}}]$ 在該束中取的值成正比。

目前，路徑積分 $\int \!{\mathcal {DC}}$ 僅僅是一個想法的概念。必須根據具體情況設計適當的評估方法。

自由粒子

現在從 A 到 B 選擇任意路徑 ${\mathcal {C}}$，然後選擇 ${\mathcal {C}}$ 的任何無窮小線段 $d{\mathcal {C}}$。用 慣性座標 $t,x,y,z$ 和 $t+dt,x+dx,y+dy,z+dz,$ 分別標記 $d{\mathcal {C}}$ 的起點和終點。在一般情況下，振幅 $Z(d{\mathcal {C}})$ 將是 $t,x,y,z$ 和 $dt,dx,dy,dz.$ 在自由粒子的情況下， $Z(d{\mathcal {C}})$ 既不依賴於 $d{\mathcal {C}}$ 在時空中的位置（由 $t,x,y,z$ 給出），也不依賴於 $d{\mathcal {C}}$ 的時空方向（由 四速度 $(c\,dt/ds,dx/ds,dy/ds,dz/ds)$ 給出），而僅依賴於 固有時間 間隔 $ds={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})/c^{2}}}.$

(由於其範數等於光速，四速度依賴於三個而不是四個獨立的引數。與 $ds,$ 它們包含與四個獨立的數字 $dt,dx,dy,dz.$ 相同的資訊。）

因此對於一個自由粒子 $Z(d{\mathcal {C}})=Z(ds).$ 使用這一點，連續傳播子的可乘性 告訴我們

$\prod _{j}Z(ds_{j})=Z{\Bigl (}\sum _{j}ds_{j}{\Bigr )}\longrightarrow Z{\Bigl (}\int _{\mathcal {C}}ds{\Bigr )}$

因此存在一個複數 $z$ 使得 $Z[{\mathcal {C}}]=e^{z\,s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]},$ 其中 線積分 $s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]=\int _{\mathcal {C}}ds$ 給出了時鐘從 A 到 B 透過 ${\mathcal {C}}.$ 時經過的時間。

一個自由且穩定的粒子

透過對 ${\bigl |}\langle B|A\rangle {\bigr |}^{2}$ （作為 $\mathbf {r} _{B}$ 的函式）在整個空間上進行積分，我們得到了在時空點 $t_{A},\mathbf {r} _{A}$ 發射的粒子在時間 $t_{B}.$ 仍然存在的機率。對於一個穩定的粒子，該機率等於 1。

$\int \!d^{3}r_{B}\left|\langle t_{B},\mathbf {r} _{B}|t_{A},\mathbf {r} _{A}\rangle \right|^{2}=\int \!d^{3}r_{B}\left|\int \!{\mathcal {DC}}\,e^{z\,s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]}\right|^{2}=1$

如果你用平靜的心和開放的思想思考這個方程式，你會注意到，如果複數 $z=a+ib$ 的實部 $a\neq 0,$，那麼兩個等號之間的積分要麼會爆炸 $(a>0)$，要麼會隨著 $t_{B}$ 指數級下降 $(a<0)$，這是由於指數因子 $e^{a\,s[{\mathcal {C}}]}$ 造成的。

質量的意義

因此，自由穩定粒子的傳播子只有一個“自由度”：它完全依賴於 $b.$ 的值。如果以秒為單位測量固有時間，那麼 $b$ 以弧度/秒為單位。我們可以將 $e^{ib\,s},$（其中 $s$ 是 ${\mathcal {C}},$ 的固有時間引數化）看作是透過 ${\mathcal {C}},$ 從 A 到 B 行進的粒子所攜帶的時鐘，前提是我們必須記住，我們正在思考量子力學數學形式主義的一個方面，而不是現實世界的一個方面。

慣例是

• 插入一個負號（因此時鐘實際上是順時針轉動的）：$Z=e^{-ib\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 乘以$2\pi$（以便我們可以將$b$視為時鐘“滴答”的速率——它每秒完成的迴圈次數）：$Z=e^{-i\,2\pi \,b\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 除以普朗克常數$h$（使得$b$以能量單位衡量，被稱為粒子的靜止能量）：$Z=e^{-i(2\pi /h)\,b\,s[{\mathcal {C}}]}=e^{-(i/\hbar )\,b\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 並乘以$c^{2}$（使得$b$以質量單位衡量，被稱為粒子的靜止質量）：$Z=e^{-(i/\hbar )\,b\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]}.$

使用相同的字母$b$的目的在於強調它表示的是相同的物理量，只是以不同的單位測量。如果我們使用自然單位，其中$\hbar =c=1,$而不是傳統的單位，各種$b$'s的同一性將是顯而易見的。