波/各向異性介質

波 : 幾何光學
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問題

各向異性介質

請注意，斯涅爾定律隱含地假設光線沿光波矢的方向運動，即垂直於波前。正如上一章的分析表明，這隻在光學介質各向同性時成立，即波頻率僅取決於波矢的大小，而不取決於其方向。

某些型別的晶體，例如由方解石製成的晶體，不是各向同性的——光在這些晶體中的速度，因此波頻率，取決於波矢的方向。例如，各向異性介質中的角頻率可能採用以下形式

$\omega =\left[{\frac {c_{1}^{2}(k_{x}+k_{y})^{2}}{2}}+{\frac {c_{2}^{2}(k_{x}-k_{y})^{2}}{2}}\right]^{1/2},$ (4.4)

其中 $c_{1}$ 是當 $k_{y}=k_{x}$ 時波的光速，而 $c_{2}$ 是當 $k_{y}=-k_{x}$ 時的光速。

圖 3.3: 右圖顯示了一束光線垂直入射到一塊切割得當的方解石晶體表面的情況。產生這種行為的各向異性色散關係顯示在左圖中。

圖 3.3 顯示了一個例子，其中一束光線照射到一塊方解石晶體上，該晶體以這樣一種方式定向，使得恆定頻率等高線如公式 (3.4) 所指定。波矢垂直於晶體表面，因此波前平行於該表面。進入晶體後，為了保持表面相位連續性，波前方向必須保持不變。然而，由於晶體中光色散關係的各向異性，光線方向會發生改變，如右圖所示。這種行為明顯不符合斯涅爾定律的通常版本！

可以將斯涅爾定律擴充套件到各向異性情況。我們不會在這裡推匯出這些方程，但它們是

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {\partial \omega }{\partial k_{i}}}\quad {\frac {dk_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}}$

稍後我們將看到這些幾何光學方程與經典力學方程之間存在著令人聯想到的相似之處。

不過，現在，我們將假設使用各向同性的光學介質，並討論光學儀器。

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