波/反射和折射

波 : 幾何光學
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問題

反射和折射

關於幾何光學，我們需要知道的大部分內容都可以歸納為兩條規則，即反射定律和折射定律。這兩條規則都可以透過考慮平面波段入射到平面上時會發生什麼來推斷。如果表面是拋光的金屬，波會被 *反射*，而如果表面是兩種具有不同折射率的透明介質之間的介面，波會被部分反射和部分 *折射*。反射是指波被折回它來自的半空間，而折射是指波穿過介面，從到達介面之前的運動方向改變到另一個方向。

**圖 3.1**：展示平面鏡反射波的示意圖。反射定律指出 $\theta _{I}=\theta _{R}$.

圖 3.1 展示了波從平面鏡反射時的波向量和波前。入射角 $\theta _{I}$ 和反射角 $\theta _{R}$ 定義為分別入射和反射波向量與鏡面法線的夾角。反射定律指出 $\theta _{R}=\theta _{I}$。這是由於入射波前和反射波前需要在鏡面表面上始終保持同相。這加上入射波長和反射波長相等，足以確保上述結果。

**圖 3.2**：展示波從兩種介電介質之間的介面折射的示意圖，其中 $n_{2}>n_{1}$.

折射，如 圖 3.2 所示，稍微複雜一些。由於 $n_{R}>n_{I}$，右側介質中的光速小於左側介質中的光速。（回想一下，折射率為 $n$ 的介質中的光速為 $c_{medium}=c_{vac}/n$。）波包的頻率在穿過介面時不會發生改變，因此右側的光的波長小於左側的波長。

讓我們檢查 圖 3.2 中的三角形 ABC。邊 AC 等於邊 BC 乘以 $\sin(\theta _{I})$。然而，AC 也等於 $2\lambda _{I}$，即介面左側波長的兩倍。類似的推理表明，$2\lambda _{R}$，即介面右側波長的兩倍，等於 BC 乘以 $\sin(\theta _{R})$。由於區間 BC 對兩個三角形都是共有的，我們很容易看到

${\frac {\lambda _{I}}{\lambda _{R}}}={\frac {\sin(\theta _{I})}{\sin(\theta _{R})}}.$ (4.1)

由於 $\lambda _{I}=c_{I}T=c_{vac}T/n_{I}$ 以及 $\lambda _{R}=c_{R}T=c_{vac}T/n_{R}$，其中 $c_{I}$ 和 $c_{R}$ 分別是介面左側和右側的波速，$c_{vac}$ 是真空中的光速，$T$ 是（共同的）週期，我們可以很容易地將上面的方程改寫成以下形式

$n_{I}\sin(\theta _{I})=n_{R}\sin(\theta _{R}).$ (4.2)

這就是所謂的 *斯涅爾定律*，它控制著光線在折射率不連續處透過時的彎曲方式。角度 $\theta _{I}$ 稱為入射角，$\theta _{R}$ 稱為折射角。請注意，這些角度是從法線到表面測量的，而不是從切線測量的。

反射定律的推導

使用費馬原理推導反射定律很簡單。反射定律可以使用基本的微積分和三角學推匯出來。反射定律的推廣是斯涅爾定律，它使用相同的原理推匯出來。

光線傳播的介質不會改變。為了使光線在兩點之間的傳播時間最小化，我們應該使光線經過的路徑最小化。

θ_i = θ_r。
入射角等於反射角

1. 光線的總路徑長度由下式給出

$L=d_{1}+d_{2}\,$

2. 使用歐幾里得幾何中的勾股定理，我們可以看到

$d_{1}={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}\,$ 以及 $d_{2}={\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}\,$

3. 當我們將 d₁ 和 d₂ 的兩個值代入上述公式時，我們得到

$L={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}$

4. 為了使光線傳播的路徑最小化，我們對 L 關於 x 求一階導數。

${\frac {dL}{dx}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}+{\frac {-(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=0$

5. 將兩邊設為相等。

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}={\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}$

6. 我們可以看到左側只是 $\sin \theta _{i}$，而右側是 $\sin \theta _{r}$，這意味著

$\sin \theta _{i}=\sin \theta _{r}\!\$

7. 對兩邊取反正弦，我們發現入射角等於反射角。

$\theta _{i}=\theta _{r}\!\$

斯涅爾定律的推導

使用費馬原理推導斯涅爾定律是直接的。斯涅爾定律可以使用基本 微積分 和 三角學 推匯出來。斯涅爾定律是對上述情況的推廣，它不要求介質在各處都相同。

為了標記光在不同介質中的速度，使用折射率 n₁ 和 n₂。

$v_{1}={\frac {c}{n_{1}}}\!\$

$v_{2}={\frac {c}{n_{2}}}$

斯涅爾定律將 n₁、θ₁ 和 n₂、θ₂ 聯絡起來。

這裡 $c$ 是真空中的光速，$n_{1},n_{2}\geq 1\,$，因為所有材料都會減慢光線穿過它們時的速度。

1. 旅行時間等於行程距離除以速度。

$t={\frac {d_{1}}{v_{1}}}+{\frac {d_{2}}{v_{2}}}$

2. 使用歐幾里得幾何中的勾股定理，我們可以看到

${\frac {d_{1}}{v_{1}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}\,$ 和 ${\frac {d_{2}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}\,$

3. 將此結果代入等式 (1) 中，我們得到

$t={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}$

4. 對該公式進行求導，並將導數設定為零，得到

${\frac {dt}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0$

5. 仔細觀察上面的公式，我們可以發現它實際上是

${\frac {dt}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0$

6. 因此

${\frac {v_{1}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {v_{2}}{\sin \theta _{2}}}$

7. 在等式兩邊乘以 $\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}$，得到

$v_{1}\sin \theta _{2}=v_{2}\sin \theta _{1}\!\$

8. 將 ${\frac {c}{n_{1}}}$ 替換為 v₁，將 ${\frac {c}{n_{2}}}$ 替換為 $v_{2}$，得到

${\frac {c}{n_{1}}}\sin \theta _{2}={\frac {c}{n_{2}}}\sin \theta _{1}$

9. 簡化等式兩邊，得到最終結果

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\!\$

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