波/光學儀器

波 : 幾何光學
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問題

薄透鏡公式和光學儀器

根據反射和折射定律，原則上可以追蹤光線透過光學儀器的路徑。對於許多初始光線，可以計算出光線在每個反射鏡面或折射率介面的方向變化。在這些點之間，光線描繪出一條直線。

雖然概念上很簡單，但該過程在實踐中可能非常複雜。然而，如果許多近似值（統稱為 *薄透鏡近似值*）成立，該過程將簡化。我們從計算光線透過稜鏡時的彎曲開始，如圖 3.4 所示。

找到所需的資訊 $\theta$，即光線偏轉的角度，如下所示：由光線入射點和出射點以及稜鏡頂點定義的三角形的幾何形狀得出

$\alpha +(\pi /2-\theta _{2})+(\pi /2-\theta _{3})=\pi ,$ (4.5)

簡化為

圖 3.4：光線透過稜鏡時的彎曲。

$\alpha =\theta _{2}+\theta _{3}.$ (4.6)

光線入射點和出射點的斯涅爾定律告訴我們

$n={\frac {\sin(\theta _{1})}{\sin(\theta _{2})}}\qquad n={\frac {\sin(\theta _{4})}{\sin(\theta _{3})}},$ (4.7)

其中 $n$ 是稜鏡的折射率。（周圍環境的折射率假定為 1。）也可以推斷

$\theta =\theta _{1}+\theta _{4}-\alpha .$ (4.8)

這來自於圖 3.4 中陰影四面體內部角之和為 $(\pi /2-\theta _{1})+\alpha +(\pi /2-\theta _{4})+(\pi +\theta )=2\pi$.

組合方程 (3.6)、(3.7) 和 (3.8) 允許用 $\theta _{1}$ 和 $\alpha$ 來確定光線偏轉 $\theta$，但結果表示式非常混亂。但是，如果滿足以下條件，則會得到很大的簡化

• 角度 $\alpha \ll 1$.
• 角度 $\theta _{1}\ll 1$ 和 $\theta _{4}\ll 1$.

在這些近似值下，很容易證明

$\theta =\alpha (n-1)\quad {\text{(小角度)}}.$ (4.9)

圖 3.5: 光線透過透鏡發生 $\theta$ 角偏轉。角度 $\alpha$ 是光線在透鏡的入射點和出射點的切線之間的夾角。

一般來說，光學儀器中的透鏡和鏡子表面是彎曲的，而不是平面的。但是，只要波包入射的表面段在波包尺寸尺度上沒有太大的彎曲，我們仍然可以使用平面表面的反射和折射定律。對於入射到普通光學儀器上的光來說，這個條件很容易滿足。在這種情況下，如果 $\alpha$ 定義為光線入射點和出射點的切線的交點，如圖 3.5 所示，則光線的偏轉由式 (3.9) 給出。

凸透鏡 的中心比邊緣厚。在距離中心軸 $r$ 處的兩個透鏡表面的切線之間的夾角 $\alpha$ 的形式為 $\alpha =Cr$，其中 $C$ 是一個常數。因此，距離中心 $r$ 處射入透鏡的光束的偏轉角為 $\theta =Cr(n-1)$，如圖 3.5 所示。角度 $o$ 和 $i$ 之和等於偏轉角：$o+i=\theta =Cr(n-1)$。然而，在小角度近似成立的情況下，$o=r/d_{o}$ 且 $i=r/d_{i}$，其中 $d_{o}$ 是到物體的距離，$d_{i}$ 是到物體像的距離。將這些方程組合在一起並消去 $r$ 得到薄透鏡公式

${\frac {1}{d_{o}}}+{\frac {1}{d_{i}}}=C(n-1)\equiv {\frac {1}{f}}.$ (4.10)

量 $f$ 被稱為透鏡的焦距。請注意 $f=d_{i}$ 如果物體距離透鏡很遠，即如果 $d_{o}$ 非常大。

圖 3.6：一個正透鏡在左邊箭頭右邊產生一個像。

圖 3.6 顯示了正透鏡如何成像。像是由來自物體上每個點的所有光線落在像的對應點上形成的。如果左邊箭頭是一個被照亮物體，一個像箭頭將在右邊出現，如果來自透鏡的光線被允許落在一張紙或一個毛玻璃屏上。物體的大小 $S_{o}$ 和像的大小 $S_{i}$ 是透過物體和像到透鏡的距離的簡單幾何關係聯絡起來的

${\frac {S_{i}}{S_{o}}}={\frac {d_{i}}{d_{o}}}.$ (4.11)

請注意，正透鏡會使像反轉。

圖 3.7：正透鏡產生虛像。

只有當 $d_{o}>f$ 時，在透鏡的右邊才會產生一個像。如果 $d_{o}<f$，透鏡無法將來自像的光線匯聚到一點，如圖 3.7 所示。然而，在這種情況下，光線的向後延伸會匯聚到一個點，稱為虛像，在正透鏡的情況下，它總是比物體離透鏡更遠。如果將像到透鏡的距離視為負數，薄透鏡公式仍然適用。像被稱為虛像，因為它不會出現在放置在這個點的毛玻璃屏上。與圖 3.6 中看到的實像不同，虛像不會反轉。

圖 3.8：負透鏡產生虛像。

負透鏡的中心比邊緣薄，只產生虛像。如圖 3.8 所示，負透鏡產生的虛像比物體更靠近透鏡。同樣，薄透鏡公式仍然有效，但像到透鏡的距離和焦距都必須取負數。只有物體到透鏡的距離保持為正數。

圖 3.9：凹面鏡產生實像。

彎曲的鏡子也能以類似於透鏡的方式產生影像，如圖 3.9 所示。凹面鏡，如圖所示，與正透鏡類似，根據物體距離鏡子更遠或更靠近鏡子焦距，產生實像或虛像。凸面鏡就像負透鏡一樣，總是產生虛像。薄透鏡公式在兩種情況下都適用，只要角度較小。

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