抽象代數/群論/群/單位元唯一性

定理

每個群只有一個單位元

證明

0. 令 G 為任意群。 則 G 具有一個單位元，假設為e₁。

1. 假設 G 具有一個不同 的單位元 e₂

由於e1 是 G 的單位元 (用法 1)，	由於e2 是 G 的單位元 (用法 1)，
2a. ${\color {blue}e_{1}}\in G$	2b. ${\color {OliveGreen}e_{2}}\in G$
e2 是 G 的單位元 (用法 3)，	由於e1 是 G 的單位元 (用法 3)，
3a. $\forall \;g\in G:g\ast {\color {OliveGreen}e_{2}}=g$	3b. $\forall \;g\in G:{\color {Blue}e_{1}}\ast g=g$
由 2a. 和 3a.，	由 2b. 和 3b.，
4a. ${\color {blue}e_{1}}\ast {\color {OliveGreen}e_{2}}={\color {blue}e_{1}}$	4b. ${\color {blue}e_{1}}\ast {\color {OliveGreen}e_{2}}={\color {OliveGreen}e_{2}}$

由 4a. 和 4b.，

5. ${\color {blue}e_{1}}={\color {OliveGreen}e_{2}}$，與 1. 矛盾。

由於正確的假設不能導致錯誤或矛盾的結論，因此我們的假設 (1.) 是錯誤的，並且群的單位元是唯一的。

圖表

1. 假設一個群有兩個單位元。

2. e1 * e2 = e1 由於 e2 是 G 的單位元， 並且 e1 屬於 G。

3. e1 * e2 = e2 由於 e1 是 G 的單位元， 並且 e2 屬於 G

4. 這兩個單位元是相同的。

5. 群只有一個單位元