抽象代數/群論/群/群的定義

群的定義

首先，群是

一個非空集合，具有二元運算。

其次，如果 G 是一個群，群 G 的二元運算為 $\ast$，則

1. 封閉性

$\forall \;a,b\in G:a\ast b\in G$

2. 結合性

$\forall \;a,b,c\in G:(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$

3. 單位元

$\exists \;e_{G}\in G:\forall \;g\in G:e_{G}\ast g=g\ast e_{G}=g$

4. 逆元

$\forall \;g\in G:\exists \;g^{-1}\in G:g\ast g^{-1}=g^{-1}\ast g=e_{G}$

從現在開始，e_G始終表示群 G 的單位元。

群的階

群 G 的階，o(G)，是 G 中不同元素的數量

圖示

封閉性: 如果 a、b 屬於群 G，則 a*b 屬於 G

結合性: (a*b)*c = a*(b*c) 如果 a、b、c 屬於群 G

單位元: 1. 群 G 具有單位元 eG。 2. 如果 c 屬於群 G，則 eG*c = c*eG = c

逆元: 1. 如果 c 屬於 G，則 c-1 屬於 G。 2. c*c-1 = c-1*c = eG