抽象代數/多項式環

多項式的次數 $a_{0}+a_{1}X+...+a_{n}X^{n}$ 被定義為 $n$。如果 $R$ 是一個域，並且 $f$ 和 $g$ 是 $R[X]$ 中的多項式，那麼我們可以用 $g$ 除 $f$ 以獲得 $f=gq+r$。然而，如果 $g$ 的首項係數為 1，我們也可以對任何任意環進行此操作。

取實數 R 作為環，並新增兩個不定元 X 和 Y。自由代數 R<X,Y> 在 R 上是包含 X、Y 和實數的和與積的集合。多項式環 R[X,Y] 是代數透過 XY=YX 簡化後的結果，即兩個不定元是可交換的。用商環的術語來說，以 XY−YX 生成的理想，R[X,Y] = R<X,Y>/(XY−YX)。多項式環在交換代數中至關重要，例如在下面討論的雙二元數和四元數中。

在非交換代數中，反交換性質 XY=−YX 在四元數中有所體現。所謂的“虛數單位”對應於不可約二項式 XX+1 和 YY+1。商代數 R<X,Y>/(XY+YX, XX+1, YY+1) 的元素像四元數一樣相乘。

練習：這些商的常用名稱是什麼？

• 多項式商 R[X]/(XX−1)
• 自由代數商 R<X,Y>/(XY+YX, XX+1, YY−1)。

應用：雙二元數 & 四元數

十九世紀提出了可交換的四維 超複數系統。詹姆斯·科克爾提出了四元數，而柯拉多·塞格雷提出了雙複數，在 結合組合代數 的研究中稱為 雙二元數。這些系統的同構可以透過多項式環的商來證明

考慮多項式環 R[X,Y]，其中 XY = YX。理想 $A=(X^{2}+1,\ Y^{2}-1)$ 然後提供一個商環，代表四元數。在這種商環方法中，四元數的元素對應於關於 理想 A 的陪集。類似地，理想 $B=(X^{2}+1,\ Y^{2}+1)$ 生成一個商環，代表雙複數。

這種方法的推廣使用兩個不可交換不定元 X 和 Y 的自由代數 R⟨X,Y⟩。考慮這三個二次多項式 $X^{2}+1,\ Y^{2}-1,\ XY-YX$。令 A 是由它們生成的理想。那麼商環 R⟨X,Y⟩/A 與四元數環同構。

要看到 $(XY)^{2}+1\in A$，請注意

$XY^{2}X=X(Y^{2}-1)X+(X^{2}+1)-1,$ 所以

$XY^{2}X+1=X(Y^{2}-1)X+(X^{2}+1)\in A.$ 但是然後

$XY(XY-YX)+XY^{2}X+1\in A.$ 如所要求。

現在考慮由 $X^{2}+1,\ Y^{2}+1,\ XY-YX$ 生成的備選理想 B。 在這種情況下，可以證明 $(XY)^{2}-1\in B$。 環同構 R⟨X,Y⟩/A ≅ R⟨X,Y⟩/B 包含交換 $Y\leftrightarrow XY$ 的基變換。

或者，假設給定普通複數的域 C，而 C[X] 是具有復係數的多項式的環。 那麼商 C[X]/(X² + 1) 是雙複數的另一種表示。