微積分/積分的進一步方法/內容

回顧

基本積分規則

參見 微積分/定積分.

${\begin{aligned}&\int 0\,du=C\\&\int (k\cdot u)du=k\cdot \int u\,du+C\\&\int (u\pm v)du=\int u\,du\pm \int v\,du+C\end{aligned}}$

分部積分

參見 微積分/積分技巧/分部積分.

對於兩個變數$x$ 的函式 $u$ 和 $dv$，

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

其中$u$ 是根據 **LIPET** 優先順序選擇的

• L 對數
• I 反三角函式
• P 多項式
• E 指數
• T 三角函式

反常積分

參見 微積分/反常積分.

對於任何變數 $x$ 的函式 $f$，在給定的無限域上連續

${\begin{aligned}&\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\\&\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\\&\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$

對於任何在給定區間上連續的變數 $x$ 的函式 $f$，但在 (1) $a$，(2) $b$，或某些 (3) $c\in [a,b]$ 處存在無限間斷

${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx&=\lim _{c\to b^{-}}\int \limits _{a}^{c}f(x)dx&(1)\\\int \limits _{a}^{b}f(x)dx&=\lim _{c\to a^{+}}\int \limits _{c}^{b}f(x)dx&(2)\\\int \limits _{a}^{b}f(x)dx&=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx&(3)\end{aligned}}$