電路理論/相量

相量

變數

變數的定義方式相同。但存在差異。以前變數要麼是“已知”，要麼是“未知”。現在有一種介於兩者之間的概念。

此時，需要回顧常數函式（一個數字）和變數函式（隨時間變化）的概念。參見此 學生教授 對話。已知量以函式形式描述，未知量根據已知量計算，也是函式。

例如

$v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})$ 隨時間變化的電壓

這裡 $v(t)$ 是函式的符號。它被分配給符號 $M_{v},\omega ,\phi _{v}$ 和 $t$ 的函式。通常情況下，時間永遠不會被求解。

時間仍然是未知數。此外，所有的功率、電壓和電流都變成了時間的方程。時間沒有被求解。由於時間無處不在，它可以從方程中消除。積分和導數變成了代數，答案可以是純粹的數值（在時間被加回來之前）。

在最後時刻，時間被放回電壓、電流和功率，最終的解是時間的函式。

本課程中的大部分數學都有這些步驟

1. 在時域中描述已知量和未知量，描述所有方程
2. 將已知量改為相量，消除方程中的導數和積分
3. 在相量域中以數值或符號方式求解未知量
4. 將未知量轉換回時域

無源電路輸出類似於輸入

如果線性電路的輸入是正弦波，那麼電路的輸出將是正弦波。具體來說，如果我們有一個電壓正弦波，如下所示

$v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})$

那麼透過線性電路的電流也將是正弦波，儘管它的幅度和相位可能不同

$i(t)=M_{i}\cos(\omega t+\phi _{i})$

請注意，電壓和電流都是具有相同角頻率但幅度和相位角不同的正弦波。無源電路元件不能改變正弦波的頻率，只能改變幅度和相位。那麼為什麼我們需要在每個方程中寫 $\omega$，而它並沒有改變？同樣，為什麼我們需要寫出 cos( ) 函式，如果它也從未改變？對這些問題的答案是，我們不需要每次都寫這些東西。相反，工程師已經創造了一種簡寫這些函式的方法，稱為“相量”。

相量變換

相量是一種“變換”。我們正在對電路數學進行變換，使時間消失。想象一下，到一個時間不存在的地方去。

我們知道，每個函式都可以寫成一系列不同頻率和幅度的正弦波疊加。(搜尋傅立葉變換動畫)。整個世界可以用正弦波構建。因為正弦波是週期性的，所以你看它的時候具體的時間並不重要；重要的是你相對於週期的起始位置在哪裡。這裡，我們只看一個正弦波，它週期性的性質 ($\omega$) 被剝離了。剩下的就是相量。因為時間是由圓組成的，如果我們只考慮這些圓中的一個，我們可以進入一個時間不存在，圓是“東西”的世界。不要用“世界”這個詞，而要用“域”或“平面”來代替，就像二維那樣。

相量域中的數學幾乎與直流電路分析相同。這很方便，因為它意味著你不必每次要解決電路時都去解微分方程。不同之處在於，電感和電容的影響需要考慮在內。

變換到相量平面或域以及從時間變換回來是基於尤拉公式。這也是你在過去數學課上學過虛數的原因。

尤拉公式

尤拉公式

尤拉從這三個級數開始。顯然它們之間存在關係

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots$

他做了以下操作

$e^{ix}=1+ix+{\frac {i^{2}x^{2}}{2!}}+{\frac {i^{3}x^{3}}{3!}}+{\frac {i^{4}x^{4}}{4!}}+{\frac {i^{5}x^{5}}{5!}}+\cdots$

$e^{ix}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-i{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+i{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-i{\frac {x^{7}}{7!}}\cdots$

$e^{ix}=(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots )+i(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots )$

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

令 x = π，則

$e^{i\pi }=-1$

尤拉公式在數學、物理和工程領域中無處不在。物理學家理查德·費曼稱該公式為“我們的珍寶”和“所有數學中最非凡、最令人驚歎的公式之一”。

尤拉公式的更一般形式為

$Me^{j(\omega t+\phi )}=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )$

這個公式使我們能夠將正弦波視為復指數函式。用角頻率和相位角表示的電壓、電流或功率的迴圈函式會變成在相量域/平面上具有長度$\mathbb {C}$（幅度）和角度$\phi$（相位）的箭頭，或者在複數域/平面上具有實數($X$) 和虛數($Y$) 座標的點。

一般來說，相量$\mathbb {C}$（可以是電壓、電流或功率）可以寫成

$\mathbb {C} =X+jY$（直角座標）

$\mathbb {C} =M_{v}\angle \phi$（極座標）

我們可以在複數平面上繪製點 (X, Y)，並繪製一條指向該點的箭頭，以顯示$X,Y,\mathbb {C}$ 和$\phi$之間的關係。

利用這個事實，我們可以透過函式得到複數平面原點到點 (X, Y) 的角度

[角度方程]

$\theta _{C}=\arctan({\frac {Y}{X}})$

並且利用勾股定理，我們可以求得 C 的幅度 - 原點到點 (X, Y) 的距離 - 為

[勾股定理]

$M_{C}=|\mathbb {C} |={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$.

相量符號

相量不包含頻率資訊或偏移量，因此請確保將頻率和偏移量記錄在安全的地方。

假設在時域中

$v(t)=M_{v}e^{j(\omega t+\phi )}$

在相量域中，這個電壓表示如下

$\mathbb {V} =M_{v}\angle \phi$

徑向速度 $\omega$ 從已知函式中消失（不包括導數和積分運算），並在未知數的時間表達式中重新出現。

不是向量？

有些人認為相量是向量。要小心。相量圖在靈感、數學或概念方面都不如向量空間或場空間豐富。相量只是一個數字，可能是一個複數。相量圖用於“解釋”什麼是複數。相量可以進行除法、乘法、加法和減法。它們是一維的。

相量的數學與普通數學完全相同，只是使用複數。向量需要新的數學運算，例如點積和叉積。例如，可以將北除以東，或從西中減去嗎？

有關更多詳細資訊，請參見 http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor_(electronics) 或閱讀關於此爭議的資料 https://www.quora.com/What-is-difference-b-w-phasor-diagram-and-vector-diagram

• 向量的點積用於求一個向量在另一個向量上的投影。
• 向量的叉積將兩個向量合成一個垂直於這兩個向量的第三個向量。

這些乘積適用於相量，例如，可以在電機定子和轉子的交流電流相量中觀察到，其結果是產生扭矩，所有這些都可以透過向量乘積精確地表示。

餘弦約定

在本手冊中，所有相量都對應於餘弦函式，而不是正弦函式。

務必記住相量對映到哪個三角函式。由於相量只包含幅度和相角資訊，因此無法知道給定的相量對映到 sin( ) 函式還是 cos( ) 函式。按照慣例，本維基手冊和大多數電子文字/文件都對映到餘弦函式。

如果最終得到一個 sin 答案，可以透過減去 90 度將其轉換為 cos

$\sin(\omega t+\phi )=\cos(\omega t+\phi -{\frac {\pi }{2}})$

如果您的模擬器要求源採用 sin 形式，但起點是 cos，則可以透過新增 90 度將其轉換為 sin

$\cos(\omega t+\phi )=\sin(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}})$

相量概念

在相量域內，概念出現並被命名。電感器和電容器可以透過其導數運算元變換進行耦合，並表現為稱為“電抗”的虛阻。電阻和電抗的組合稱為“阻抗”。阻抗可以在代數上被視為相量，儘管技術上並非如此。功率概念，如實功率、無功功率、視在功率和功率因數，在相量域中出現。可以在相量域中進行數值計算。可以在相量域中進行符號操作。

相量數學

關於相量的更多資訊，請參見
附錄

相量數學演變成複數數學，下面將對其進行回顧。

相量 A 可以乘以相量 B

[相量乘法]

$\mathbb {A} \times \mathbb {B} =(M_{a}\times M_{b})\angle (\phi _{a}+\phi _{b})$

相角相加，因為在時域中，它們是兩個相乘事物的指數。

[相量除法]

$\mathbb {A} /\mathbb {B} =(M_{a}/M_{b})\angle (\phi _{a}-\phi _{b})$

同樣，相角被視為指數，因此它們相減。

相量的幅度和角度形式不能用於加法和減法。為此，我們需要將相量轉換為直角座標形式。

$\mathbb {C} =X+jY$

以下是將極座標形式（幅度和角度）轉換為直角座標形式（實部和虛部）的方法。

$X=M\cos(\phi )$, $Y=M\sin(\phi )$

轉換到直角座標形式後

• 實部相加或相減
• 虛部相加或相減

[相量加法]

$\mathbb {C} =\mathbb {A} +\mathbb {B} =(X_{A}+X_{B})+j(Y_{A}+Y_{B})=X_{C}+jY_{C}$

以下是將直角座標系形式轉換為極座標系形式的方法

$\mathbb {C} =M_{c}\angle \phi _{c}={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle \arctan({\frac {Y}{X}})$

一旦轉換為極座標形式，轉換回時域就很容易了

$\operatorname {Re} (Me^{j(\omega t+\phi )})=M\cos(\omega t+\phi )$

函式變換推導

$g(t)$ 代表電壓、電流或功率。

$g(t)=G_{m}cos(\omega t+\phi )$ 起點

$g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi )})$ 來自尤拉公式

$g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j\phi }e^{j\omega t})$ 指數定律

$g(t)=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})$ .... $G_{m}$ 是一個實數，所以它可以移到裡面

$g(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})$ $....\mathbb {G}$ 是相量定義，這裡它是一個表示式，代替了 $G_{m}e^{j\phi }$

$g(t)\Leftrightarrow \mathbb {G}$ 其中 $\mathbb {G} =G_{m}e^{j\phi }$

對 $e^{j\omega t}$ 項會怎樣？長答案。它會一直保留，直到需要轉換回時域。因為它是指數，而且所有相量運算都是與指數相關的代數運算，所以最終的相量可以乘以它。然後表示式實部的值就是時域解。

時域	變換	相量域
$Acos(\omega t)$	$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$ 證明	$A$
$Asin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$ 證明	$-Aj$
$Acos(\omega t)+Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A-Bj$
$Acos(\omega t)-Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A+Bj$
$Acos(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$ 證明	$Acos(\phi )+Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$ 證明	$Asin(\phi )-Acos(\phi )j$
$Acos(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 證明	$Acos(\phi )-Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 證明	$-Asin(\phi )-Acos(\phi )j$

在上述所有情況下，請記住 $\phi$ 是一個常數，在大多數情況下是一個已知值。因此，相量在大多數計算中是一個複數。

在“相量微積分”中討論了與導數相關的另一種變換。

將微積分運算子轉換為相量

當正弦量表示為相量時，微分方程變為代數。這個結果來自於復指數是操作的 特徵函式 的事實

${\frac {d}{dt}}(e^{j\omega t})=j\omega e^{j\omega t}$

也就是說，只有復振幅被導數運算改變。取上述方程兩邊的實部，得到熟悉的結論

${\frac {d}{dt}}\cos {\omega t}=-\omega \sin {\omega t}\,$

因此，當正弦量被轉換為相量域時，其時間導數變為代數

${d \over dt}i(t)\rightarrow j\omega \mathbb {I}$（j 是 -1 的平方根或虛數）

類似地，當轉換為相量域時，時間積分是

$\int V(t)dt\rightarrow {\frac {\mathbb {V} }{j\omega }}$

在轉換回時域時，需要處理一個積分常數。它不會消失。

以上結論適用於電壓、電流和功率。

問題是為什麼這有效？證明在哪裡？我們來進行三次證明：一次針對電阻，一次針對電感，最後一次針對電容。透過端子的電流和電壓符號為：$V_{m}cos(\omega t+\phi _{v})$ 和 $I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})$

電阻端子方程

$V=RI$ . 端子關係

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=RI_{m}cos(\omega t+\phi _{I})$ .. 代入示例函式

$V_{m}e^{\omega t+j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t+j\phi _{I}}$ .. 尤拉形式的端子關係

$V_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{I}}$ .. 指數律

$V_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{I}}$ .. 對等號兩邊進行相同操作

$V_{m}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{j\phi _{I}}$ .. 時域結果

$\mathbb {V} =R\mathbb {I}$ .. 相量表達式

只需將電壓和電流表示為相量形式，並進行代入，將方程遷移到相量域。

電感端子方程

$V=L{\frac {d}{dt}}I$ ... 端子關係

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=L{\frac {d}{dt}}(I_{m}cos(\omega t+\phi _{I}))$ .. 代入一般正弦函式

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=-\omega LI_{m}sin(\omega t+\phi _{I})$ .. 求導

$-sin(\omega t+\phi _{I})=cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 三角函式

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=\omega LI_{m}cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 代入

$V_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V})})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})})$ 根據尤拉公式

$V_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})$ 指數法則

$\operatorname {Re} (V_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega LI_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})$ .... 實數可以移到裡面

$e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j$ ... 代入上式

$\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}$ 以及 $\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}$ .. 代入上式

在等式兩邊消去$e^{j\omega }$ 項。

$\operatorname {Re} (\mathbb {V} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega L\mathbb {I} e^{j\omega t})$ .... 相量定義。

$\mathbb {V} =j\omega L\mathbb {I}$ .... 等式轉換為相量域。

結論，將電壓和電流表示為相量形式，用$j\omega$ 代替${\frac {d}{dt}}$，將等式轉換為相量域。

電容器端電壓方程

電容器的基本形式與電感器相同，V 和 I 交換位置，用 C 代替 L。

$I=C{\frac {d}{dt}}V$ ... 端電壓關係

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=C{\frac {d}{dt}}(V_{m}cos(\omega t+\phi _{V}))$ .. 代入一般正弦函式。

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=-\omega CV_{m}sin(\omega t+\phi _{V})$ .. 求導。

$-sin(\omega t+\phi _{V})=cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 三角函式。

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=\omega CV_{m}cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 代入。

$I_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I})})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})})$ 來自尤拉公式。

$I_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})$ 指數定律

$\operatorname {Re} (I_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega CV_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})$ ... 實數可以移入

$e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j$ ... 代入上式

$\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}$ 以及 $\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}$.. 代入上式

在等式兩邊消去$e^{j\omega }$ 項。

$\operatorname {Re} (\mathbb {I} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega C\mathbb {V} e^{j\omega t})$ .... 相量定義

$\mathbb {I} =j\omega C\mathbb {V}$ .... 方程轉換為相量域

結論，將電壓和電流表示為相量形式，用$j\omega$ 代替${\frac {d}{dt}}$，將等式轉換為相量域。

總之，所有終端關係都具有 $e^{j\omega }$ 項，它們會相互抵消

$V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*R$

$\mathbb {V} =\mathbb {I} R$

$V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *L$

$\mathbb {V} =\mathbb {I} j\omega L$

$I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *C$

$\mathbb {I} =\mathbb {V} j\omega C$

這種探究/邏輯/思考路徑的有趣之處在於，一個新的概念出現了

器件	${\frac {\mathbb {V} }{\mathbb {I} }}$	${\frac {\mathbb {I} }{\mathbb {V} }}$
電阻	$R$	${\frac {1}{R}}$
電容	${\frac {1}{j\omega C}}$	$j\omega C$
電感器	$j\omega L$	${\frac {1}{j\omega L}}$

不抵消的 $j\omega$ 項來自端點關係中的導數項。這些導數項與電容和電感器本身有關，而不是與電源有關。雖然導數應用於電源，但導數起源的獨立器件（電容或電感器）在變換後保留了其特性！因此，如果我們將驅動力的 ${\frac {output}{input}}$ 比值保留在等號一邊，我們可以將等號另一邊視為一個函式！這些函式有一個名字... 傳遞函式。當我們根據 R、L 和 C 分析電壓/電流比值時，我們可以掃描 $\omega$ 透過各種驅動源頻率，或者保持頻率恆定並掃描各種電感值... 我們可以分析電路響應！

注意：傳遞函式是本課程的整一個部分。它們也會在機械工程控制系統課程中出現。兩者之間有相似之處。駛過一個顛簸就像一次湧浪或尖峰。駛過一個路緣就像接通一個電路。當機械工程師研究振動時，他們會處理正弦驅動函式，但他們處理的是三維物體，而不是像本課程中那樣的一維物體。

相量域到時域

回到時域就簡單多了。在相量域中完成方程運算並找到$\mathbb {V}$ 和 $\mathbb {I}$ 後，目標是將它們轉換為 $V$ 和 $I$。

相量解將具有形式 $\mathbb {G} =A+Bj=G_{m}e^{j\phi }$，你現在應該能夠在兩種解的形式之間進行轉換。然後

$G=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j(\omega t+\phi )})=G_{m}cos(\omega t+\phi )$

如果相量數學中涉及積分，則需要在時域解中新增一個常數。時間常數根據初始條件計算。如果解不涉及微分方程，則時間常數立即計算。否則，解被視為特解，時間常數是在找到齊次解的大小後計算的。有關更多詳細資訊，請參閱相量示例。

未涵蓋的內容

還有另一種思考電路的方法，其中電感器和電容器是復阻抗。這個想法是

阻抗 = 電阻 + j * 電抗

或符號表示為

$Z=R+j*X$

這裡，導數附加在電感和電容上，而不是像我們那樣附加在端點方程上。這將解決電路問題的數學運算分散到更小的部分中，更易於檢查，但也使符號解更加複雜，並且可能導致數值解誤差由於中間計算而累積。

相量概念無處不在。如果你參與到涉及 "短截線" 的微波專案或涉及 "負載線圈" 的天線專案，將來你將需要學習它……名單很長。

這裡的目標是避免 電導、電抗、阻抗、電納和導納 的概念……並避免在嘗試將相量數學與微積分和拉普拉斯變換進行比較時，將這些概念聯絡起來所帶來的困惑。

相量表示法

記住，相量表示一個可以以多種方式顯示的單個值。

$\mathbb {C} =M\angle \phi$ "極座標表示法"

$C=Me^{j(\omega t+\phi )}$ "指數表示法"

$\mathbb {C} =A+jB$ "矩形表示法"

$C=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )$ "時域表示法"

這 4 種表示法只是寫同一個東西的不同方式。

相量符號

在黑板上或紙上書寫時，使用帶帽符號 ${\hat {V}}$ 表示相量。預計在書籍和網路上會有不同的表示方法。

• $\mathbb {V}$ （我們在這本華夏公益教科書中使用的粗體大字）
• ${\bar {V}}$ （“bar”表示法，維基百科使用）
• ${\vec {V}}$ （不好... 只適用於向量... 向量箭頭表示法）
• ${\tilde {V}}$ （一些教科書）
• ${\hat {V}}$ （一些教科書）

微分方程

相量生成特解

相量可以替代微積分，可以替代拉普拉斯變換，可以替代三角函式。但它們不能做的一件事是：初始條件/積分常數。當使用相量和拉普拉斯變換，或相量和微積分求解問題時，答案的差異將是一個積分常數。

本課程中微分方程的求解分為三個步驟

• 找到特解... 特別是針對驅動函式... 特別是針對電壓或電流源
• 找到齊次解... 無論驅動函式是什麼，該解都相同... 該解探討了電路中初始能量不平衡如何平衡
• 確定係數，從初始條件計算積分常數

相量不生成積分常數

積分常數不會出現在相量解中。但它們會出現在相量解的拉普拉斯變換和微積分替代方案中。如果要求解完整的微分方程，必須注意相量在何處無法建立未知積分常數的符號... 該常數在第三步中計算出來。

相量是用於求解特定交流解的技術。積分常數記錄了電路中的初始直流偏置或能量差異。要找到這些常數，首先需要找到齊次解，它處理電容器在電路首次接通時可能充電也可能不充電的事實。相量並不能完全替代微分方程的步驟。相量只是替代了第一步：求解特解。

微分方程回顧

目標是使用相量、微積分和拉普拉斯變換求解一階和二階常微分方程 (ODE)。這樣就可以將相量解與先修或同修數學課程的內容進行比較。目標是使用數字和符號工具（如 matLab 和 mupad/mathematica/wolframalpha）求解這些問題。如果您已經修過微分方程課程，這將是一次快速回顧。

最重要的是理解函式的本質。三角函式、微積分、拉普拉斯變換和相量都與函式相關，而不是代數。如果您不瞭解代數和函式之間的區別，也許這個 學生教授 對話會有所幫助。

我們從端子定義、迴路和節點的方程開始。這些代數方程中的每個符號都是一個函式。我們不是在變換方程。我們是在變換這些方程中的函式。這些方程中出現了各種運算子，包括 + - * / 和 ${\frac {d}{dt}}$。第一個表格重點介紹了這些運算子的變換。第二個重點介紹了函式本身的變換。

拉普拉斯變換的真正威力在於它消除了積分和微分運算子。然後可以變換函式本身。然後可以用代數求解未知數。然後可以將函式變換回時域函式。

以下是一些 屬性和定理，用於變換本課程中典型的正弦電壓、功率和電流。

拉普拉斯運算子變換

單邊拉普拉斯變換的屬性

	時域	's'域	評論
時間縮放	$f(at)$	${\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)$	用於瞭解 $\omega$ 如何影響方程
時間偏移	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	u(t) 是單位階躍函式。用於計算 $\phi$ 相位角
線性	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	可以使用基本積分規則證明。
微分	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	假設 f 是可微函式，並且它的導數是指數型別的。這可以透過分部積分得到。
積分	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	最後也會出現一個常數。

拉普拉斯函式變換

以下是本課程中需要的一些 變換

函式	時域 $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	拉普拉斯 s 域 $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$	收斂域	參考
指數衰減	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	Re(s) > −α	頻率偏移 單位階躍
指數逼近	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	Re(s) > 0	單位階躍減去 指數衰減
正弦	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
餘弦	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
指數衰減 正弦波	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α
指數衰減 餘弦波	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α