定義

法圖集被稱為

正規性域
等度連續性域

部分

法圖集、域和分量那麼存在有限數量的開集 $\;F_{1},...,F_{r}\;$ ，它們被 $\;f(z)\;,$ 保持不變，並且

集合 $\;F_{i}\;$ 的並集在平面上稠密，並且
$\;f(z)\;,$ 在每個集合 $\;F_{i}\ ;.$ 上以規律和相等的方式表現。

最後一句話意味著由 $\;F_{i}\;$ 的點生成的迭代序列的終止點

要麼完全相同，在這種情況下它是一個有限迴圈
要麼它們是同心排列的圓形或環形集合的有限迴圈。

在第一種情況下，迴圈是吸引的，在第二種情況下它是中性的。

這些集合 $\;F_{i}\;$ 是 $\;f(z)\;,$ 的法圖域，它們的並集是 $\;\operatorname {F} (f)\;$ ，即 $\;f(z)\;.$ 的法圖集。

法圖集中的每個域可以歸類為四種不同的類別之一。^[1]

每個法圖域至少包含一個 $\;f(z)\;,$ 的臨界點，即

滿足 $\;f'(z)=0\;,$ 的一個（有限）點z，
$\;f(z)=\infty \;,$ $\;f(z)=\infty \;,$
- 如果分子 $\;p(z)\;$ 的次數至少比分母 $\;q(z)\;,$ 的次數大 2。
- 如果存在某個 c 和滿足此條件的有理函式 $\;g(z)\;$ ，使得 $\;f(z)=1/g(z)+c\;$ 。

補集

$\;\operatorname {F} (f)\;$ 的補集是 $\;\operatorname {J} (f)\;$ ，即 $\;f(z)\;.$ 的Julia集。

如果所有臨界點都是前週期點，也就是說它們不是週期點，但最終會落入一個週期迴圈中，那麼 $\;\operatorname {J} (f)\;$ 將是整個球體；否則， $\;\operatorname {J} (f)\;$ 是一個無處稠密的集合（它沒有內點）並且是一個不可數的集合（與實數具有相同的基數）。像 $\;\operatorname {F} (f)\;,$ 一樣， $\;\operatorname {J} (f)\;$ 不變於 $\;f(z)\;,$ ，並且在這個集合上迭代是排斥的，這意味著對於 z 的鄰域 [在 $\;\operatorname {J} (f)\;$ 內] 的所有 w ，都有 $\;|f(z)-f(w)|>|z-w|\;$ 。這意味著 $\;f(z)\;$ 在Julia集上表現出混沌行為。儘管Julia集中的某些點的迭代序列是有限的，但這樣的點只有可數個（它們構成Julia集的無窮小部分）。由這些集合之外的點生成的序列表現出混沌行為，這種現象被稱為 確定性混沌。

分量

關於有理對映的動態平面的分量，Fatou集的分量個數:^[2]

0（Fatou集為空，整個黎曼球面都是Julia集）^[3]
1 ( 例如 $f(z)=z^{2}-2$ ，這裡只有一個 Fatou 域，它包含一個分量 = 完整的 Fatou 集)
2 ( 例如 $f(z)=z^{2}$ ，這裡有兩個 Fatou 域，兩者都包含一個分量)
無限多個 ( 例如 $f(z)=z^{2}-1$ ，這裡有兩個 Fatou 域，一個 ( 外部 ) 包含一個分量，另一個 ( 內部 ) 包含無限多個分量)

分量的數量
2 個域 ( 盆 ) 和 2 個分量，所以域 = 分量
2 個域：一個域包含一個分量，但另一個域包含無限多個分量
1 個域和無限多個分量

The Samuel Lattes 函式的 Julia 集 $l(z)={\frac {{(z^{2}+1)}^{2}}{4z(z^{2}-1)}}$ 包含整個復球面 = Fatou 集為空^[4]^[5]

域

在基於復二次多項式的離散動力系統的情況下，Fatou 集可以由域 ( 盆 ) 組成

吸引 ( 吸引不動點的盆 / 週期 )
- 超吸引 ( Boettcher 座標 )
  - 無窮遠處的盆 ^[6]
- 吸引但不是超吸引 (
拋物線 (Leau-Fatou) 盆 ( Fatou 座標 ) 附近有理無差異不動點 / 週期的區域性動力學 ;
橢圓盆 = Siegel 圓盤 ( 附近無理無差異不動點 / 週期的區域性動力學 )

座標

座標
盆	座標		接近不動點的速度
超吸引	Boettcher		快
吸引	Koenigs		中等
拋物線	Fatou		慢
Siegel 圓盤		無理旋轉，所以軌道是閉合曲線	點圍繞不動點旋轉，永遠不會接近它
Herman 環		無理旋轉，所以軌道是閉合曲線	點圍繞不動點旋轉，永遠不會接近它

排斥盆是另一個名字

多項式的超吸引盆

區域性離散復動力學

Julia 集是連通的 ( 2 個吸引盆)

吸引 : 雙曲動力學
- 超吸引 : 非常快 ( = 指數 ) 收斂到週期迴圈 ( 不動點 )
拋物線分量 = 慢 ( 懶惰 ) 動力學 = 慢 ( 指數減速 ) 收斂到拋物線不動點 ( 週期迴圈)
Siegel 圓盤分量 = 圍繞不動點旋轉，永遠不會到達不動點

當 Julia 集不連通時，Julia 集沒有內部 ( 臨界不動點是排斥的 ( 或吸引到無窮大 ) - 只有一個吸引盆

沿逃逸路徑 0 的動力學演化 ( 拋物線內爆)
引數 c	c 的位置	Julia 集	內部	臨界軌道動力學型別	臨界點	不動點	alfa 的穩定性
c = 0	中心，內部	連通	存在	超吸引	吸引到 alfa 不動點	臨界不動點等於 alfa 不動點，alfa 是超吸引的，beta 是排斥的	r = 0
0<c<1/4	內部射線 0，內部	連通	存在	吸引	吸引到 alfa 不動點	alfa 是吸引的，beta 是排斥的	0 < r < 1.0
c = 1/4	尖點，邊界	連通	存在	拋物線	吸引到 alfa 不動點	alfa 不動點等於 beta 不動點，兩者都是拋物線的	r = 1
c>1/4	外部射線 0，外部	不連通	消失	排斥	排斥到無窮大	兩個有限不動點都是排斥的	r > 1

穩定性 r 是不動點 alfa 處的乘子的絕對值

 $r=|m(z_{\alpha })|$

c = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0000000000000000 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0513167019494862+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0513167019494862 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1055728090000841+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1055728090000841 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1633399734659244+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1633399734659244 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2254033307585166+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2254033307585166 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2928932188134524+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2928932188134524 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.3675444679663241+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.3675444679663241 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.4522774424948338+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.4522774424948338 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.5527864045000419+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.5527864045000419 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.6837722339831620+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.6837722339831620 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.9999999894632878+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.9999999894632878 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.3162277660168377*I 	 r(m) = 1.0488088481701514 	 t(m) = 0.0487455572605341 	period = 1
 c = 0.3000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.4472135954999579*I 	 r(m) = 1.0954451150103321 	 t(m) = 0.0669301182003075 	period = 1
 c = 0.3250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.5477225575051662*I 	 r(m) = 1.1401754250991381 	 t(m) = 0.0797514300099943 	period = 1
 c = 0.3500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.6324555320336760*I 	 r(m) = 1.1832159566199232 	 t(m) = 0.0897542589928440 	period = 1

沿內部 / 外部射線 0 的動力學演化
中心 = 超吸引
吸引
拋物線
排斥

測試

區域性動力學分析

繪製臨界軌道
查詢週期點
將複數移動劃分為簡單的路徑
拓撲圖,^[7]
繪製網格 ( 極座標或矩形 )

方法	測試	描述	結果集	真實集
二進位制逃逸時間	保釋	abs(zn)>ER	逃逸和不逃逸	逃逸集包含快速逃逸畫素，是真正的外部。不逃逸集被視為填充的 Julia 集 ( 內部和邊界 )，但它包含來自外部的緩慢逃逸點， Julia 集內部點
離散逃逸時間 = 等級集方法 = LSM	保釋	最後一次迭代或 final_n = n : abs(zn)>ER	逃逸集被劃分為具有相同 n ( 最後一次迭代 ) 的子集。這些子集稱為等級集，並建立圍繞 Julia 集並逼近它的帶。等級集的邊界稱為停留帶
連續逃逸時間	示例	示例	示例