定義

動力學平面被劃分為

Fatou 集
Julia 集

Fatou 集由一個或多個吸引到吸引子的吸引域組成。

每個吸引域有一個或多個臨界點，這些臨界點落入週期軌道（吸引子）

多項式對映
排斥情況：Julia 集不連通，只有一個盆地（週期為 1 的超吸引：無窮大的盆地）
2 個盆地，每個盆地只有一個分量
2 個盆地：外部（1 個分量）和內部：由無限多個分量組成（吸引情況）
2 個盆地：外部和內部。外部僅由一個分量組成（週期為 1 的超吸引）。內部由無限多個分量組成。直接吸引域由包含週期 3 迴圈的 3 個分量組成
拋物線吸引子屬於 Julia 集

目標集

是前向軌道的陷阱
是一個捕獲任何趨向於吸引子的軌道的集合（極限集 = 吸引迴圈 = 固定 / 週期點）。

型別

分類標準：可以根據以下標準進行劃分

吸引子（有限或無限）
動力學（雙曲型、拋物線型、橢圓型）
形狀（逃逸測試）
目標
目標集的分解：二元分解（BDM）、角度分解，

按吸引子

對於無限吸引子

目標集 $T\,$ 是動力學平面上包含無窮大且不包含填充 Fatou 集點的任意集合。
對於逃逸時間演算法，目標集決定了水平集和曲線的形狀。對於其他方法則不然。
對於逃逸到無窮大點的（無窮大盆地 = Julia 集的外部），它是以原點 $z=0\,$ 為中心，半徑 =ER 的圓的外部。

 $T_{ER}=\{z:abs(z)>ER\}\,$

半徑稱為逃逸半徑（ER）或逃逸值。半徑應大於 2。

無窮大

對於多項式，無窮大是超吸引不動點。因此，在 Julia 集的外部（無窮大的吸引域）中，所有多項式的動力學都相同。逃逸測試（= 逃逸測試）可以用作第一個通用工具。
對於有理對映，無窮大不是超吸引不動點。它可能是週期點，也可能不是。

對於有限吸引子

不動點周圍的內部水平集

對於有限吸引子，請參見：按盆地劃分的目標集

參見

內部水平集
二元分解
透過 Tomoki KAWAHIRA 對填充 Julia 集內部進行細分 ^[1]

按動力學

目標集沿內部射線 0 如何變化。如果圓包含來自 Julia 集外部的點，則它是一個不好的目標集。在拋物線情況下，應該更改圓的中心（圓的所有部分都應在 Julia 集內）

這裡

$z_{n}$ 是臨界軌道的最後一次迭代
$center$ 是陷阱（圓形）的中心
$z_{p}$ 是週期/不動點（阿爾法不動點）

陷阱是以 $z=center$ 為中心，半徑 = AR 的圓。

排斥情況

穩定性指數 = cabs(乘子) > 1.0
週期/不動點（阿爾法不動點）是排斥的 = Julia 集沒有內部

吸引但不是超吸引情況

當所有點都在Julia集內部時， $z_{n}<z_{p}<z_{p}+AR$
$AR=z_{p}-z_{n}$
穩定性指數：0.0 < |乘子| < 0.0

橢圓型情況

對於橢圓動力學，當存在Siegel圓盤時，目標集是內圓

超吸引情況

吸引子

無窮大對於多項式的正向迭代總是超吸引的。這裡目標集是包含所有Julia集點（及其內部）的任何形狀的外部。
當引數c是Mandelbrot集的雙曲分量的中心（核）時，有限吸引子也可以是超吸引的。

在正向迭代的情況下，目標集 $T\,$ 是在動力學平面上包含無窮大且不包含填充Julia集點的任意集合。

超吸引情況：這裡

$z_{cr}=z_{p}$ 所以必須手動設定AR，例如AR = 30*畫素寬度
穩定性指數 = |乘子| = 0.0
吸引盆的中心是 $center=z_{c}r=z_{p}$

拋物線情況：花瓣

週期1-2和圓形目標
不動點屬於Julia集和陷阱的邊界（此處為圓形）。

週期大於2，則為三角形目標。
拋物線情況下t = 1/30時的三角形陷阱。

在拋物線情況下，陷阱可以用於

在拋物線情況下，目標集應在花瓣內部。

對於子週期為1和2的拋物線情況，目標集可以具有圓形形狀。

應該
- 計算AR
- 將陷阱中心更改為吸引不動點zp和臨界軌道的最後一次迭代zn之間的中點以獲得： $z_{n}<center<z_{p}$
穩定性指數|乘子| = 1.0
這裡 $AR={\frac {z_{p}-z_{n}}{2}}$

對於子週期 > 2，花瓣可以是圍繞父週期不動點的圓的三角形片段。

按目的地

對於拋物線情況很重要

對於Fatou盆（顏色取決於目標集）：圍繞不動點的圓 = 內部陷阱
對於Fatou盆的組成部分（顏色與迭代模週期成比例） - 上述圓的三角形片段 = 最大三角形（zp，zprep，-zprep） = 組成部分的陷阱
對於Fatou盆的水平集（顏色與最後一次迭代次數成比例） = 組成部分的陷阱
對於BDM或拋物線棋盤格：2個較小的三角形（zp，zprecr，zcr）和（zp，zcr，-zprecr）= BD的陷阱

  		    -zprecr
zf      	    zcr 
  		    zprecr

其中

p是週期
zf = 不動點（這裡週期 = 1）
zcr = 臨界點z=0
zprecr = 臨界前點 = 臨界點的原像： $f^{-p}(z_{cr})$ 。請注意，逆函式是多值的，因此應該選擇合適的原像。

unsigned char ComputeColorOfFatouBasins (complex double z)
{

  int i;			// number of iteration
  for (i = 0; i < IterMax; ++i)
    {


		
      // infinity is superattracting here !!!!!	
       if ( cabs2(z) > ER2 ){ return iColorOfExterior;}
	
      // 1 Attraction basins 
      if ( cabs2(zp-z) < AR2 ){ return iColorOfInterior;}
		 
      			
     
      z = f(z);		//  iteration: z(n+1) = f(zn)
	

    }

  
  return iColorOfUnknown;


}


unsigned char ComputeColorOfFatouComponents (complex double z)
{


  int i;			// number of iteration
  for (i = 0; i < IterMax; ++i)
    {


      // infinity is superattracting here !!!!!	
       if ( cabs2(z) > ER2 ){ return iColorOfExterior;}
	
  
      //1 Attraction basins 
      if ( cabs2(zp-z) < AR2 )
      	{ return iColorOfBasin1 - (i % period)*20;} // number of components in imediate basin = period
	 
		
     
      z = f(z);		//  iteration: z(n+1) = f(zn)
	

    }

  
  return iColorOfUnknown;


}






unsigned char ComputeColorOfLSM (complex double z)
{

  //double r2;


  int i;			// number of iteration
  for (i = 0; i < IterMax_LSM; ++i)
    {

    
       if ( cabs2(z) > ER2 ){ return iColorOfExterior;}
      //1 Attraction basins 
      if ( cabs2(zp-z) < AR2 ){
      		return  i  % 255 ; 
	 	}
     
	
      z = f(z);	

    }

  return iColorOfUnknown;
}

按形狀

圓形
正方形
Julia集
p-範數圓盤

圓形外部

這是典型的目標集。它是以原點 $z=0\,$ 為中心，半徑為ER的圓的外部。

$T_{ER}=\{z:abs(z)>ER\}\,$

半徑被稱為逃逸半徑（ER）或溢位值。

以原點為中心，半徑為ER的圓為： $\{z:abs(z)=ER\}\,$

對於逃逸到無窮大點的（無窮大盆地 = Julia 集的外部），它是以原點 $z=0\,$ 為中心，半徑 =ER 的圓的外部。

 $T_{ER}=\{z:abs(z)>ER\}\,$

半徑稱為逃逸半徑（ER）或逃逸值。半徑應大於 2。

對於有限吸引子，它是以週期點為中心的圓的內部。

 $T_{AR}=\{z:abs(z-z_{p})<AR\}\,$

對於拋物線週期點

它被稱為花瓣。
花瓣是圓的內部。
花瓣圓的中心等於最後一次迭代和拋物線週期點之間的中點。
拋物線週期點屬於Julia集。

拋物線情況

正方形的外部

這裡目標集是邊長為 $s\,$ 的正方形的外部，該正方形以原點為中心。

$T_{s}=\{z:abs(re(z))>s~~{\mbox{or}}~~abs(im(z))>s\}\,$

Julia集

埃舍爾式平鋪是水平集方法（LSM/J）的修改版。這裡逃逸時間的水平集是不同的，因為目標集是不同的。這裡目標集是一個縮放後的填充Julia集。

更多描述請參見

Fractint : escher_julia
Heinz-Otto Peitgen、Dietmar Saupe編著的《分形影像科學》第187頁^[2]

巴西利卡
c = -1.24
杜瓦迪兔子

p-範數圓盤

另請參閱

kf^[3]
DLD

參考文獻

↑ 川平朋樹的填充Julia集的鑲嵌
↑ {Peitgen, H.O. and Fisher, Y. and Saupe, D. and McGuire, M. and Voss, R.F. and Barnsley, M.F. and Devaney, R.L. and Mandelbrot, B.B.}, (2012). 《分形影像科學》. Springer Science & Business Media, 2012. p. 187. ISBN 9781461237846.{{cite book}}: CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ fractalforums.org : Kalles Fraktaler的其他退出變化

[1] 川平朋樹的填充Julia集的鑲嵌

[2] {Peitgen, H.O. and Fisher, Y. and Saupe, D. and McGuire, M. and Voss, R.F. and Barnsley, M.F. and Devaney, R.L. and Mandelbrot, B.B.}, (2012). 《分形影像科學》. Springer Science & Business Media, 2012. p. 187. ISBN 9781461237846.{{cite book}}: CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[3] ractalforums.org : Kalles Fraktaler的其他退出變化

[1]

[2]

[3]