分形/複平面上的迭代/臨界軌道

定義

正向軌道 的 臨界點 被稱為臨界軌道。

重要性

臨界軌道非常重要，因為每個吸引 週期軌道 都吸引一個臨界點，因此研究臨界軌道有助於我們理解 法圖集 中的動力學。

$z_{0}=z_{cr}=0\,$

$z_{1}=f_{c}(z_{0})=c\,$

$z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c\,$

$z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c\,$

$...\,$

此軌道落入 吸引週期迴圈 中。

形狀

形狀型別和動力學之間的關係

• n 臂螺旋：吸引或排斥 n 週期軌道（迴圈）
• 閉合曲線：西格爾圓盤（旋轉）
• n 臂星形 = 時期 n 拋物根

臨界軌道的形狀可以顯示動力學的型別和週期

• 
  拋物 n 臂星形
• 
  西格爾圓盤（閉合曲線）
• 
  弱吸引不動點 = 長螺旋

水平集

臨界軌道的點（包括臨界點和不動點 = 有限吸引子）位於水平曲線上，就像樂譜上的音符（曲線上的點）。

如何計算吸引半徑 (AR) 以獲得這種效果？

• 
  週期 1 拋物線
• 
  週期 1 吸引
• 
• 
  週期 2 吸引

程式碼

"https://github.com/conanite/rainbow/blob/master/src/arc/rainbow/spiral.arc
 This software is copyright (c) Conan Dalton 2008. Permission to use it is granted under the Perl Foundations's Artistic License 2.0.
 This software includes software that is copyright (c) Paul Graham and Robert Morris, distributed under the Perl Foundations's Artistic License 2.0.
 This software uses javacc which is copyright (c) its authors
"
(def plot (plt c)
  (with (z 0+0i
         n 0
         repeats 0)
    (while (and (small z) (< n 10000) (< repeats 1000))
      (assign n       (+ n 1)
              z       (+ c (* z z))
              repeats (if (apply plt (complex-parts z))
                          (+ repeats 1)
                          0)))))

圖片

• commons 上的臨界軌道圖片
• 作者：Mike Croucher
• Chris King
• Kerry Mitchel：心形邊界軌道
• Anne M. Burns 撰寫的《視覺化曼德布洛特集中的逃逸路徑》
• Stefan Zenker

列表

• 臨界軌道
• Lori GardiThe Mandelbrot set and the fractal nature of light, the Universe, and everything by
• Lori Gardi 撰寫的《曼德布洛特集作為準黑洞》
• Stefan Bion 撰寫的《曼德布洛特 Z 軌道》
• Stefan Bion 撰寫的《繪製列表中的軌道》
• Conan 使用 Rainbow 編寫的圖片
  • 簡介
  • 示例
• Stefan Forcey 撰寫的《曼德布洛特序列和軌道》
• P. Alcover 發表的 2017 年作品《曼德布洛特集軌道圖中的莫爾干涉》

程式

• Geogebra（互動式）
  • Ben Sparks 撰寫的《曼德布洛特迭代軌道》
  • Hüseyin KAVAK 撰寫的《曼德布洛特集》
• Stefan Forcey 撰寫的《Java 指令碼》

影片

• Fractal Woman 撰寫的《曼德布洛特集作為渦流發生器》

參見

• 在圓盤上散佈點