高中數學擴充套件

二叉樹期權定價

簡介

我們都至少聽說過一家證券交易所。納斯達克、道瓊斯、富時和恒生。鮮為人知，但對許多人來說更有用的是期貨交易所。證券交易所允許股票經紀人（也稱為投資顧問）交易公司股票，而期貨交易所則允許交易更奇特的衍生品。例如，金融期權，這也是本章的重點。

期權是一種合約，賦予持有人在未來某個時間以某個價格購買（或出售）某種商品的選擇權。期權有什麼用？最初，它們被用來規避風險。但它們也被用來利用可預見的機遇，就像泰勒斯所做的那樣¹。

泰勒斯，偉大的希臘哲學家，被認為是西方世界首次使用期權的人。一個流行的軼事表明，在某一特定年份的冬季，他預測來年將會有豐收的橄欖。他幾乎沒有錢，所以他購買了在他所在地區的橄欖榨油機使用權的選擇權。自然而然，當收割的時節到來時，每個人都想使用他獲得使用權的榨油機！不用說，他從中賺了很多錢。

基礎

期權是一種選擇權合約。您可以選擇是否執行期權。

如果您擁有一份期權，它宣告

您可以在明天從 A 店購買 1 公斤糖，價格為 2 美元

假設明天糖的市場價格為 3 美元，您會想執行期權，即以 2 美元的價格購買糖。然後，您可以在市場上以 3 美元的價格出售它，在此過程中賺取 1 美元。但如果 1 公斤糖的市場價格為 1 美元，那麼您就會選擇不執行期權，因為市場上的價格更便宜。

讓我們更正式地定義期權。特別地，期權有兩種型別

看漲期權

看漲期權是一種合約，賦予持有人選擇在“到期日”以“執行價格”購買“標的股票”的權利。

看跌期權

看跌期權是一種合約，賦予持有人選擇在“到期日”以“執行價格”出售“標的股票”的權利。

在上面的例子中，“標的股票”是糖，“執行價格”是 2 美元，“到期日”是明天。

我們將期權表示如下

{C 或 P，$金額，# 到期時間段}

. 例如

{C,$3,1}

代表一個看漲期權，其執行價格為某個未指定的標的股票，將在一個時間單位的時間內到期。這裡的時間單位可以是一年、一個月、一天或一小時。重要的是，我們將在後面介紹的數學方法實際上不依賴於這個時間單位是什麼。此外，我們也不必指定標的股票。另一個例子

{P,$100,2}

代表一個看跌期權，其執行價格為 100 美元，用於某個未指定的標的股票，將在2個時間單位內到期。

現在我們對期權有了基本的概念，我們可以開始想象一個交易期權的市場。我們假設這樣的市場存在。我們還假設參與交易沒有任何費用。這樣的市場被稱為無摩擦市場。當然，我們還假設存在一個交易標的股票的市場。

資訊 -- 美式或歐式

實際上，期權主要有兩種型別：美式或歐式。歐式期權只允許您在“到期日”執行期權；而美式期權則允許您在“到期日”之前的任何時間執行期權。在本章中，我們只討論歐式期權。

套利

另一個非常重要的概念是套利。簡而言之，套利是一種從無到有賺錢的方式。我們假設在這個世界上沒有免費午餐，換句話說，我們的市場是無套利市場。我們將在本章後面展示一個如何進行套利的例子。

本章的核心內容是用來對期權進行定價的技術。簡單來說，我們有一個期權，它應該值多少錢？從這個角度來看，我們將看到無套利要求是一個非常強的條件，因為它基本上決定了期權的價格應該是什麼。

期權到期時的價值

期權定價是指它現在值多少錢。當然，期權的現值取決於它未來的可能價值。因此，瞭解期權到期時的價值至關重要，因為那時需要選擇是否執行期權。例如，考慮以下期權

{C,$2,1}

這是一個看漲（買入）期權，將在一個星期的時間內（或一天、一年或任何規定的時間段內）到期。如果標的股票的市場價格在到期時為 3 美元，那麼期權應該值多少錢？如果市場價格為 1 美元呢？

有道理地說，如果市場價格（標的股票的）為 3 美元，那麼期權的價值為 1 美元，而如果市場價格為 1 美元，那麼期權就應該毫無價值（0 美元）。

為什麼我們說以上述價格對期權進行定價是合理的？因為我們假設市場是無套利市場。此外，在一個市場中，我們假設

存在一家銀行願意借錢給你
如果你在借款當天償還銀行，將不會收取任何費用。

基於這些假設，我們可以證明，如果你以任何不同的價格出售期權，那麼有人可以在不使用任何自己資金的情況下賺錢。例如，假設到期時，標的股票的市場價格為 3 美元，而你決定以 0.7 美元的價格出售期權（而不是合理的 1 美元）。一個聰明的買家會做以下操作

操作	資金	餘額
借入 2.7 美元	+$2.7	$2.7
以 0.7 美元的價格購買你的期權	-$0.7	$2
以期權購買價值 2 美元的糖	-$2	$0
在市場上以 3 美元的價格出售 1 公斤糖	+$3	$3
償還銀行 2.7 美元	-$2.7	$0.3

他/她賺取了 0.3 美元，並且在任何時候都沒有使用自己的資金（即餘額從未低於零）！這是個“免費午餐”，與無套利市場的假設相矛盾！

練習

1. 在一個*無套利*市場中，考慮一個期權 T = {C, $100, 1}。

i) 如果標的股票的價格為 90 美元，期權到期時應是多少？

ii) 如果標的股票到期時價格為 110 美元呢？

iii) 100 美元呢？

2. 考慮一個期權 T = {C, $10, 1}。

i) 到期時，如果標的股票價格為 12 美元，而期權以 2 美元的價格出售，你會考慮購買它嗎？

ii) 如果標的股票價格為 13 美元呢？

3. 考慮*看跌*期權 T = {P, $2, 1}。到期時，標的股票價格為 1 美元。珍妮擁有 T，她決定採取以下行動

借入 1 美元

以 1 美元的價格從市場上購買標的股票

執行期權，即以 2 美元的價格出售股票

償還 1 美元

她做得對嗎？

4. 在一個*無套利*市場中，考慮*看跌*期權 T = {P, $2, 1}。

i) 到期時，如果標的股票價格為 1 美元，期權應值多少？

ii) 3 美元呢？

5. 考慮*看跌*期權 T = {P, $2, 1}。到期時，標的股票價格為 1 美元。期權 T 以 0.5 美元的價格出售。珍妮立刻發現了一個套利機會。詳細說明她應該採取的行動來利用套利機會。（提示：模仿操作、資金、餘額表）

期權定價

考慮這種情況，一家公司 MassiveSoft 正在與另一家公司 Pears 談判合併。MassiveSoft 的股價目前為 7 美元。如果談判成功，股價將上漲至 11 美元；否則，它將跌至 5 美元。專家預測成功的機率為 90%。考慮一個看漲期權，它允許你在談判完成時以 8 美元的價格購買 1000 股 MassiveSoft。期權應該值多少？

由於市場是無套利的，因此期權到期的價值已經確定。當然

如果談判成功，期權價值為（11 - 8）× 1000 = 3000 美元

否則，期權應無價值（0 美元）

以上是期權到期時的唯一*正確*價值，否則人們會“欺騙你”。

設*x*為期權目前的價值，我們可以使用以下圖表來說明情況，

	$\nearrow$	$\$3000\!$
$\$x\!$
	$\searrow$	$\$0\!$

該圖顯示期權的當前價格應為*x*美元，如果談判成功，它將價值 3000 美元，否則將無價值。類似地，以下圖表顯示了公司股票現在和未來的價值

	$\nearrow$	$\$11\!$
$\$7\!$
	$\searrow$	$\$5\!$

你可能已經注意到我們沒有寫下成功或失敗的機率。有趣的是（反直覺的是），它們並不重要！再次，無套利原則決定了我們上面兩個圖中顯示的內容足以讓我們對期權進行定價！

怎麼做？

什麼是期權？它是讓你選擇購買... 等等，等等，等等。從另一個角度考慮它

它是一個可交易的物品，如果談判成功，它價值 3000 美元；否則，它價值 0 美元

這是期權定價背後的主要理念。期權的價格必須與另一個*物品*的價格相同，該物品根據談判的成功與否，價格會上漲到 3000 美元或下降到 0 美元。希望這個物品是已知價格的。這個理念被稱為構建*複製組合*。

*組合*是由可交易的*東西*組成的集合。我們希望構建一個行為與期權相同的組合。事實證明，我們只使用兩種東西就可以構建一個與期權行為相同的組合。它們是

MassiveSoft 股票
以及*資金*

假設*資金*是*可交易的*，因為你可以用一美元購買一美元。這個概念乍看起來可能很不直觀。但讓我們繼續進行數學運算，假設這個組合包含*y*單位的 MassiveSoft 股票和*z*單位的資金。如果談判成功，那麼每股將價值 11 美元，整個組合應價值 3000 美元，因為它與期權的行為相同，因此我們有以下等式