高中數學擴充套件/數學證明/解答

高中數學擴充套件

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數學證明

目前，主要精力集中在編寫每個章節的主要內容上。因此，本練習解答部分可能已過時且看起來雜亂無章。

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數學歸納法練習

1.

證明 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

當 n=1 時，

左邊 = 1² = 1

右邊 = 1*2*3/6 = 6/6 = 1

因此，左邊 = 右邊。

因此，當 n=1 時，該公式成立。

假設對於某個正整數 k，該公式成立，

即 1² + 2² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6

${\begin{matrix}1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}&=&{\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}&=&{\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}\\\ &=&{\frac {1}{6}}(k+1)\left[k(2k+1)+6(k+1)\right]\\\ &=&{\frac {1}{6}}(k+1)\left[2k^{2}+7k+6\right]\\\ &=&{\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}\end{matrix}}$

因此，這對 k+1 也成立。

因此，根據數學歸納法的原理，這對於所有正整數 n 都成立。

2.

證明對於 n ≥ 1，

$(1+{\sqrt {5}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {5}}$

其中 x_n 和 y_n 是整數。

當 n=1 時，

$1+{\sqrt {5}}=x_{1}+y_{1}{\sqrt {5}}$

因此 x₁=1 且 y₁=1，兩者均為整數。

因此，當 n=1 時，該公式成立。

假設對於某個正整數 k，該公式成立，

即 $(1+{\sqrt {5}})^{k}=x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}}$ 其中 x_k 和 y_k 是整數。

${\begin{matrix}(1+{\sqrt {5}})^{k}&=&x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}}\\(1+{\sqrt {5}})^{k+1}&=&(x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})\\\ &=&x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}}+x_{k}{\sqrt {5}}+5y_{k}\\\ &=&(x_{k}+5y_{k})+(x_{k}+y_{k}){\sqrt {5}}\end{matrix}}$

因為 x_k 和 y_k 都是整數，所以 x_k + 5y_k 和 x_k + y_k 也是整數。

因此，這對 k+1 也成立。

因此，根據數學歸納法的原理，這對於所有正整數 n 都成立。

3. （解法假設您瞭解二項式展開和求和符號）

注意

$\sum _{i=1}^{n}[i^{k}-(i-1)^{k}]=n^{k}$

證明對於所有整數m，存在一個關於

$\sum _{i=1}^{n}i^{m}$的顯式公式。例如

$1^{3}+2^{3}+...+n^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

很明顯，1¹ + 2¹ + ... = (n+1)n/2。所以當m=1時，命題成立。

假設

$\sum _{i=1}^{n}i^{j}$

對於所有j < k，都存在一個關於n的顯式公式 (**) ，我們的目標是證明

$\sum _{i=1}^{n}i^{k}$

也存在一個顯式公式。

從給定的性質開始，即

$\sum _{i=1}^{n}[i^{k+1}-(i-1)^{k+1}]=n^{k+1}$

$\sum _{i=1}^{n}[i^{k+1}-\sum _{j=0}^{k+1}{k+1 \choose j}i^{j}]=n^{k+1}$

$\sum _{i=1}^{n}[i^{k+1}-{k+1 \choose k+1}i^{k+1}-\sum _{j=0}^{k}{k+1 \choose j}i^{j}]=n^{k+1}$

$\sum _{i=1}^{n}[\sum _{j=0}^{k}{k+1 \choose j}i^{j}]=n^{k+1}$

$\sum _{j=0}^{k}[\sum _{i=1}^{n}{k+1 \choose j}i^{j}]=n^{k+1}$

$\sum _{j=0}^{k}[{k+1 \choose j}\sum _{i=1}^{n}i^{j}]=n^{k+1}$

由於我們知道小於k的任何次冪的冪和公式(**)，我們可以解上述方程並直接求出k次冪的公式。

因此，根據強數學歸納法的原理，該命題成立。

問題3的補充資訊

問題3中用來求冪和一般公式的方法稱為差分法，如我們所見，該方法考慮了所有相鄰項之差的和。

除了上述方法（它給出了求一般公式的遞迴解）之外，還有其他方法，例如使用生成函式的方法。有關詳細資訊，請參閱生成函式專案頁面中的最後一個問題。