高中數學擴充套件/習題解答

高中數學擴充套件

補充章節 — 質數和模運算 — 邏輯

數學證明 — 集合論和無限過程 — 計數與生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進一步的模運算 — 數學規劃 — 馬爾科夫鏈

質數和模運算

因式分解練習

對以下數字進行因式分解。(注意: 我知道你不必這樣做，但這只是為了那些好奇的人)

$13=13\cdot 1$
$26=13\cdot 2$
$59=59\cdot 1$
$82=41\cdot 2$
$101=101\cdot 1$
$121=11\cdot 11$
$2187=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

遞迴因式分解練習

使用遞迴因式分解。

$45=3\cdot 3\cdot 5$
$4050=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5$
$2187=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

素數篩練習

利用上面的結果，快速算出下面表格中還需要被劃掉的數字，已知下一個素數是5。

{\begin{matrix}X&2_{p}&3_{p}&X&5&X&7&X&X&X\\11&X&13&X&X&X&17&X&19&X\\X&X&23&X&25&X&X&X&29&X\\31&X&X&X&35&X&37&X&X&X\\41&X&43&X&X&X&47&X&49&X\\\end{matrix}}

下一個素數是5。因為5是一個未標記的素數，並且5 * 5 = 25，所以劃掉25。同樣，7是一個未標記的素數，並且5 * 7 = 35，所以劃掉35。但是，5 * 11 = 55，這太大了，所以標記5為素數，然後繼續到7。唯一可以劃掉的數字是7 * 7，它等於35。你不能再往上了。

2. 找出所有小於200的素數。

這裡不會詳細說明該方法，因為它太長了。但是，所有小於200的素數是

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

模運算練習

$(-1)\cdot (-5)\mod {11}=5$
$3\cdot 7\mod {11}=21=10$
$2^{1}=2,2^{2}=4,2^{3}=8,2^{4}=16=5$
$2^{5}=32=10,2^{6}=64=9,2^{7}=128=7$
$2^{8}=256=3,2^{9}=512=6,2^{10}=1024=1$
一個更簡單的列表: 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1