高中數學擴充套件/補充/基本計數/解答

高中數學擴充套件

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補充章節 — 素數和模運算 — 邏輯

數學證明 — 集合論和無限過程 — 計數和生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進一步的模運算 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

練習解答

練習 1

如果所有字母都不相同，將有4！種方式。由於"O"重複了兩次（2！排列），因此每個不同的排列都被計算了2！次；因此有

$4!/2!=12$

種方式。

練習 2

一副牌中有十三張方塊牌；因此，有

${13 \choose 5}={\frac {13!}{8!\times 5!}}={\frac {13\times 12\times 11\times 10\times 9}{120}}=1287$

種方式。

練習 3

由於生菜總是放在最上面，我們只需要考慮火腿 - 乳酪 - 番茄 - 薩拉米的所有可能排列，使得火腿絕不與薩拉米相鄰。我們計算四個元素的排列數，

$4!=24$

然後減去火腿和薩拉米在一起的排列。也就是說，（火腿 & 薩拉米） - 乳酪 - 番茄和（薩拉米 & 火腿） - 乳酪 - 番茄的排列

$2\times 3!=2\times 6=12$

Joey 可以將配料排列在

$24-12=12$

不同的方式。

練習 4

我們計算從十種口味中選擇三種口味的方法數量，並減去選擇一種口味（巧克力和香草）的方法數量，即從剩下的八種口味中選擇一種口味的方法數量

${10 \choose 3}-{8 \choose 1}={\frac {10!}{7!\times 3!}}-{\frac {8!}{7!\times 1!}}=120-8=112$

瑞秋可以點112種不同的冰淇淋杯。

練習 5

我們計算從五種可用配料中選擇一種、兩種、三種、四種和五種配料的組合數量。 也就是說，五個5 選 k項的總和，其中k等於1、2、3、4、5

${5 \choose 1}+{5 \choose 2}+{5 \choose 3}+{5 \choose 4}+{5 \choose 5}$

然後，我們從每一項中減去火腿、薩拉米和k - 2種配料的組合數量，這些配料是從剩下的 3 種配料中選擇的（請注意，5 選 1不需要任何扣除）

• ${5 \choose 1}-0=5-0=5$
• ${5 \choose 2}-{3 \choose 0}=10-1=9$
• ${5 \choose 3}-{3 \choose 1}=10-3=7$
• ${5 \choose 4}-{3 \choose 2}=5-3=2$
• ${5 \choose 5}-{3 \choose 3}=1-1=0$

Joey 可以製作

$5+9+7+2+0=23$

不同的三明治。