現代物理學/速度疊加

狹義相對論
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在經典物理學中，速度簡單地相加。如果一個物體在一個參考系中以速度u運動，而該參考系本身相對於第二個參考系以v的速度運動，則該物體在第二個參考系中以速度u+v運動。

這與相對論不一致，因為相對論預測如果光速在第一個參考系中為c，那麼它在第二個參考系中將為v+c。

我們需要找到一個用於組合速度的替代公式。我們可以使用洛倫茲變換來做到這一點。

因為因子v/c將不斷出現，我們將這個比率稱為β。

我們正在考慮三個參考系：參考系O，參考系O'（相對於參考系O以速度u運動），以及參考系O"（相對於參考系O'以速度v運動）。

我們想知道O"相對於參考系O的速度U，在經典情況下，它將是u+v。

從O到O'和從O'到O"的變換可以寫成矩陣方程，

${\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}1&-\beta \\-\beta &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}x''\\t''\end{pmatrix}}=\gamma '{\begin{pmatrix}1&-\beta '\\-\beta '&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}$

其中我們定義β和γ為

${\begin{matrix}\beta ={\frac {u}{c}}&\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\\beta ^{\prime }={\frac {v}{c}}&\gamma ^{\prime }={\frac {1}{\sqrt {1-{\beta ^{\prime }}^{2}}}}\end{matrix}}$

我們可以將它們組合起來，透過簡單地將矩陣相乘來獲得O和O"座標之間的關係，得到

${\begin{pmatrix}x''\\ct''\end{pmatrix}}=\gamma \gamma ^{\prime }{\begin{pmatrix}1+\beta \beta '&-(\beta +\beta ')\\-(\beta +\beta ')&1+\beta \beta '\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}\quad (1)$

這應該與這兩個參考系之間的洛倫茲變換相同，

${\begin{pmatrix}x''\\ct''\end{pmatrix}}=\gamma ''{\begin{pmatrix}1&-\beta ''\\-\beta ''&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}\quad (2){\mbox{ where }}{\begin{matrix}\beta ''&=&{\frac {U}{c}}\\\gamma ''&=&{\frac {1}{\sqrt {1-{\beta ''}^{2}}}}\end{matrix}}$

這兩個方程組看起來很相似。我們可以透過從(1)中的矩陣中提取1+ββ'的因子，使它們看起來更相似#

${\begin{pmatrix}x''\\ct''\end{pmatrix}}=\gamma \gamma '(1+\beta \beta '){\begin{pmatrix}1&-{\frac {\beta +\beta '}{1+\beta \beta '}}\\-{\frac {\beta +\beta '}{1+\beta \beta '}}&1+\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}$

如果以下條件成立，該公式將與公式 2 相同。

$\beta ''={\frac {\beta +\beta '}{1+\beta \beta '}}{\mbox{ (3a) and }}\gamma ''=\gamma \gamma '(1+\beta \beta '){\mbox{ (3b)}}$

由於這兩個公式 *必須* 給出相同的結果，因此我們知道這些條件必須為真。

將 β 寫成速度公式 3a，得到

${\frac {U}{c}}={\frac {{\frac {u}{c}}+{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {uv}{c^{2}}}}}$

這告訴我們 *U* 與 *u* 和 *v* 的關係。

少許代數運算表明這暗示著公式 3b 也是真的。

用 *c* 乘以公式，我們最終可以寫出

$U={\frac {u+v}{1+{\frac {uv}{c^{2}}}}}$

注意，如果 *u* 或 *v* 遠小於 *c*，則分母近似為 1，速度近似相加，但如果 *u* 或 *v* 為 *c*，則 *U* 也為 *c*，正如我們預期的那樣。