現代物理學/相對性原理應用

相對論在波中的應用

回到波的相位，我們立即看到

\phi =\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t=\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -(\omega /c)(ct)={\underline {k}}\cdot {\underline {x}}.

因此，寫波的一個簡潔方法是 $A({\underline {x}})=\sin({\underline {k}}\cdot {\underline {x}}).$ (6.8)

由於 ${\underline {x}}$ 已知是四維向量，並且波的相位已知是獨立於參考系的標量，因此可以得出結論， ${\underline {k}}$ 確實是四維向量，而不僅僅是一組數字。因此，波四維向量長度的平方也必須是一個獨立於參考系的標量

{\underline {k}}\cdot {\underline {k}}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} -\omega ^{2}/c^{2}=const.

Figure 5.2: Resolution of a four-vector into components in two different reference frames.

四維向量在兩個不同參考系中分解為分量的示意圖。

讓我們仔細回顧一下這意味著什麼。正如該圖所示，我們可以將位置四維向量 *x* 分解到兩個不同參考系的座標系中，例如 ( *X*, *T* ) 和 ( *X′*, *T′* )，但這只是表示同一個向量的不同方法。

這與三維向量在旋轉座標系中具有不同分量的方式完全相同。

類似地，就像三維向量在所有座標系中具有相同的幅度一樣，四維向量也是如此；即

X^{2}-c^{2}T^{2}=X^{\prime 2}-c^{2}T^{\prime 2}

將此應用於波四維向量，我們可以推斷出

k^{2}-c^{-2}\omega ^{2}=k^{\prime 2}-c^{-2}\omega ^{\prime 2}

其中 *k* 和 ω 的無標註和帶標註值分別指的是波四維向量在兩個不同參考系中的分量。

到目前為止，這個論點適用於任何波。但是，波可以分為兩類，一類是存在 *特殊* 參考系的波，另一類是不存在這種特殊參考系的波。

例如，聲波在承載聲音的氣體靜止的參考系中看起來最簡單。同樣，光在折射率不等於 1 的材料介質中傳播也是如此。在這兩種情況下，只有在材料介質靜止的座標系中，波速在所有方向上都是相同的。

如果沒有材料介質，那麼就沒有明確的方法找到一個特殊座標系，因此這些波必須屬於第二類。這包括真空中所有的波，例如光。

在這種情況下，可以進行以下論證。一個相對於頻率為 ω 且波數為 *k* 的波運動的觀察者看到頻率為 ω′ 且波數為 *k′* 的波。如果觀察者能夠以任何方式判斷這些波是否來自一個相對於它們運動的源，那麼他們就可以利用這一點來識別這些波的特殊座標系，因此這些波看起來應該就像來自一個靜止的頻率為 ω 的源。

這迫使我們得出結論，對於這樣的波

\omega ^{2}=c^{2}k^{2}+\mu ^{2}\,

其中 μ 是一個常數。所有在真空中傳播的波都必須滿足這個形式，這是一個比經典物理學中更加受限的選擇。