現代物理/數學/四維向量

狹義相對論
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數學教程 - 四維向量

我們已經看到波是由四個數字描述的，即空間向量 k 的分量和頻率 ω

在狹義相對論中，這四個數字構成一個四維向量

它被稱為一個四維向量，因為它有 3 個類空間分量，形成一個向量，以及一個類時間分量，當有 3 個空間維度時。它被稱為一個四維向量，是因為它在改變參考系時的行為方式。

波四維向量的類空間分量只是 $\mathbf {k}$ 當有 3 個空間維度時，而類時間分量是 $\omega /c$ 其中分母中的 c 是為了使類時間分量具有與類空間分量相同的維度。

讓我們定義一些術語。我們用下劃線表示四維向量，並按以下方式寫出分量：${\underline {k}}=(k,\omega /c)$，其中 ${\underline {k}}$ 是波四維向量，$k$ 是其類空間分量，$\omega /c$ 是其類時間分量。對於三個空間維度，當我們有一個波向量而不是僅僅一個波數時，我們寫 ${\underline {k}}=(k,\omega /c)$。

四維向量的另一個例子是時空中的位置向量，${\underline {x}}=(x,ct)$，或在三個空間維度中為 ${\underline {x}}=(\mathbf {x} ,ct)$。$c$ 乘以類時間分量，因為這是賦予其與類空間分量相同維度所需要的。

在三維空間中，我們將向量定義為具有大小和方向的量。將此擴充套件到時空，四維向量是在時空中具有大小和方向的量。這個定義隱含著向量的大小是一個獨立於座標系或參考系的量。我們已經看到時空中的不變間隔是

$I={\sqrt {x^{2}-c^{2}t^{2}}}$,

因此，將此識別為位置向量的大小是有意義的。這導致了一種定義四維向量點積的方式。

給定兩個四維向量

${\underline {A}}=(\mathbf {A} ,A_{t})\quad {\underline {B}}=(\mathbf {B} ,B_{t})$

那麼點積是

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} -A_{t}B_{t}\quad {\mbox{(dot product in spacetime)}}$

這與不變間隔的定義一致，如果我們設定

${\underline {A}}={\underline {B}}={\underline {x}}$,

因為那樣的話

${\underline {x}}\cdot {\underline {x}}=x^{2}-c^{2}t^{2}=I^{2}$.

現在，關於三維向量點積的關鍵點是它們是標量，與觀察者無關。如果軸旋轉，它們不會改變，如前所述。

為了使我們對四維向量點積的定義有用，它也應該與觀察者無關。特別是，它不應該依賴於觀察者的速度，否則它將違反相對論原理。

我們可以很容易地檢查我們的定義是否滿足這個標準。

很明顯，它與旋轉無關，因為它是一個點積和兩個標量積的差，這兩個項都不會受到座標旋轉的影響。

它也與參考系速度無關嗎？

為了檢查，首先我們需要能夠在新的參考系中寫下我們的四維向量。我們知道如何對位置向量這樣做 - 使用洛倫茲變換。可以證明，同樣的變換必須對所有向量成立，因此四維向量在新參考系中的分量，相對於以前的參考系以速度 v 沿x軸運動，為

${\begin{matrix}A'_{x}&=&\gamma \left(A_{x}-{\frac {v}{c}}A_{t}\right)\\A'_{y}&=&A_{y}\\A'_{z}&=&A_{z}\\A'_{t}&=&\gamma \left(-{\frac {v}{c}}A_{x}+A_{t}\right)\end{matrix}}$

在這個參考系中的點積是

${\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}=A'_{x}B'_{x}+A'_{y}B'_{y}+A'_{z}B'_{z}-A'_{t}B'_{t}$

簡化後，我們得到

${\begin{matrix}{\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}&=&\gamma ^{2}\left(A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}&\\&&-\gamma ^{2}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+A_{t}B_{t}\right)\\&=&\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left(A_{x}B_{x}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\\&&-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-A_{t}B_{t}\right)\\&=&A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}-A_{t}B_{t}\end{matrix}}$

這僅僅是原始座標系下的點積，正如我們所期望的那樣。

現在我們知道兩個四維向量的點積是一個標量結果，也就是說，它的值與座標系無關。這在某些情況下可以利用。

在時空的奇特幾何中，垂直的含義並不明顯。因此，我們定義兩個四維向量 ${\underline {A}}$ 和 ${\underline {B}}$ 垂直，如果它們的點積為零，與三維向量相同。

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=0$

因為點積是一個標量，如果向量在一個座標系中垂直，那麼它們在所有座標系中都將垂直。

我們也可以考慮四維向量 ${\underline {A}}$ 的點積，它在非標註座標系中分解為 $(A_{x},A_{t})$ 。讓我們進一步假設空間分量在某些標註座標系中為零，因此該座標系中的分量為 (0, A_t' ) 。點積與座標系無關這一事實意味著

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}=A_{x}^{2}-A_{t}^{2}=-A_{t}'^{2}$

這構成了將時空畢達哥拉斯定理擴充套件到除位置四維向量之外的其他四維向量。因此，例如，某波的波數在參考系中可能為零，這意味著在非參考系中的波數和頻率與參考系中的頻率之間存在關係，即$k^{2}-\omega ^{2}/c^{2}=-\omega '^{2}/c^{2}$.

固有時間

在經典力學中，時間導數d/dt表現得像一個標量，因此我們可以用它乘以一個向量，並得到另一個向量。

在相對論中，t是四維向量的一部分，這意味著d/dt也是四維向量，因此我們不能簡單地用t對向量進行微分，並期望得到向量。

例如，靜止粒子的位置為（0，ct）。

從以v的速度向右運動的參考系觀察，它的位置變為（-vτ，cτ），其中τ=γt是運動參考系中測量的時刻。

如果我們對τ進行微分，那麼速度將是（-v，c）。

如果我們對t進行微分，則在靜止參考系中得到（0，c），如果這是一個四維向量，則在運動參考系中將（利用洛倫茲變換）得到（-γv，-γc）。

這兩個表示式在同一參考系中測量時相差一個γ因子，因此它不可能是四維向量。

然而，如果運動的觀察者除以γ（即時間膨脹），他們將得到與靜止觀察者相同的向量。

這樣做等效於用粒子自身的靜止系中的時間進行微分。由於這適用於位置向量，我們期望它適用於所有向量。

在粒子靜止系中測量的時刻稱為其固有時間。

用固有時間對向量進行微分會得到另一個向量，它是時間導數的相對論等效物。