現代物理/數學/四維向量

狹義相對論
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數學教程 - 四維向量

我們已經看到，一個波是由四個數字描述的，即空間向量的分量 **k** 和頻率 ω

在狹義相對論中，這四個數字構成一個四維向量

它被稱為一個四維向量，因為它有 3 個類空間分量，形成一個向量，以及一個類時間分量（當存在 3 個空間維度時）。它被稱為四維向量，因為當我們改變參考系時，它的行為方式。

波四維向量的類空間分量只是 $\mathbf {k}$ 當存在 3 個空間維度時，而類時間分量是 $\omega /c$ 其中分母中的 c 用於使類時間分量與類空間分量具有相同的維度。

讓我們定義一些術語。我們用下劃線表示四維向量，並將分量按以下方式寫出： ${\underline {k}}=(k,\omega /c)$，其中 ${\underline {k}}$ 是波四維向量，$k$ 是它的類空間分量，以及 $\omega /c$ 是它的類時間分量。對於三個空間維度，我們有波向量而不是波數，我們寫 ${\underline {k}}=(k,\omega /c)$.

另一個四維向量的例子是時空中的位置向量，${\underline {x}}=(x,ct)$，或者在三個空間維度中，${\underline {x}}=(\mathbf {x} ,ct)$。在這種情況下，$c$ 乘以類時間分量，因為這是使其與類空間分量具有相同維度的必要條件。

在三維空間中，我們將向量定義為具有大小和方向的量。將其擴充套件到時空，四維向量是在時空具有大小和方向的量。這個定義中隱含著向量的大小是一個獨立於座標系或參考系的量。我們已經看到，時空中的不變間隔是

$I={\sqrt {x^{2}-c^{2}t^{2}}}$,

因此將它識別為位置向量的幅度是有道理的。這導致了定義四維向量點積的一種方式。

給定兩個四維向量

${\underline {A}}=(\mathbf {A} ,A_{t})\quad {\underline {B}}=(\mathbf {B} ,B_{t})$

那麼點積是

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} -A_{t}B_{t}\quad {\mbox{(時空中的點積)}}$

如果我們設定，這與不變間隔的定義一致

${\underline {A}}={\underline {B}}={\underline {x}}$,

自那時起

${\underline {x}}\cdot {\underline {x}}=x^{2}-c^{2}t^{2}=I^{2}$.

現在，關於三維向量點積的關鍵是，它們是標量，與觀察者無關。如果軸旋轉，它們不會改變，正如之前所證明的那樣。

為了使我們對四維向量點積的定義有用，它也應該獨立於觀察者。特別是，它不應該依賴於觀察者的速度，否則它將違反相對論原理。

我們可以很容易地檢查我們的定義是否滿足這個標準。

很明顯，它獨立於旋轉，因為它是一個點積和兩個標量乘積的差，這兩個項都不會受到座標旋轉的影響。

它也獨立於參考系速度嗎？

為了檢查，首先我們需要能夠在新的參考系中寫下我們的四維向量。我們知道如何對位置向量進行此操作——使用洛倫茲變換。可以證明，相同的變換必須適用於所有向量，因此四維向量在新的參考系中的分量（相對於之前的參考系，沿 *x* 軸以速度 *v* 運動）為

${\begin{matrix}A'_{x}&=&\gamma \left(A_{x}-{\frac {v}{c}}A_{t}\right)\\A'_{y}&=&A_{y}\\A'_{z}&=&A_{z}\\A'_{t}&=&\gamma \left(-{\frac {v}{c}}A_{x}+A_{t}\right)\end{matrix}}$

在此參考系中的點積為

${\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}=A'_{x}B'_{x}+A'_{y}B'_{y}+A'_{z}B'_{z}-A'_{t}B'_{t}$

簡化後，我們得到

${\begin{matrix}{\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}&=&\gamma ^{2}\left(A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}&\\&&-\gamma ^{2}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+A_{t}B_{t}\right)\\&=&\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left(A_{x}B_{x}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\\&&-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-A_{t}B_{t}\right)\\&=&A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}-A_{t}B_{t}\end{matrix}}$

這正是我們想要的，在原始座標系中的點積。

我們現在知道兩個四維向量的點積是一個 *標量* 結果，也就是說，它的值與座標系無關。在某些情況下，這一點可以用來獲得優勢。

在時空的奇特幾何中， *垂直* 的含義並不明顯。因此，我們 *定義* 兩個四維向量 ${\underline {A}}$ 和 ${\underline {B}}$ 為垂直的，如果它們的點積為零，就像三維向量一樣。

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=0$

由於點積是標量，如果向量在一個座標系中是垂直的，那麼它們在所有座標系中都是垂直的。

我們還可以考慮四維向量 ${\underline {A}}$ 的點積，該向量在非帶撇的座標系中分解為 $(A_{x},A_{t})$。讓我們進一步假設在某個帶撇的座標系中，類空間分量為零，因此該座標系中的分量為 (0, A_t' )。點積與座標系無關這一事實意味著

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}=A_{x}^{2}-A_{t}^{2}=-A_{t}'^{2}$

這構成了時空勾股定理在四維向量（除位置四維向量外）上的擴充套件。因此，例如，某個波的波數在參考系中可能為零，這意味著未參考系中的波數和頻率與參考系中的頻率的關係為$k^{2}-\omega ^{2}/c^{2}=-\omega '^{2}/c^{2}$.

固有時

在經典力學中，時間導數 d/dt 就像一個標量，因此我們可以用它來乘以一個向量，並得到另一個向量。

在相對論中，t 是四維向量的一部分，這意味著 d/dt 也是，因此我們不能簡單地對向量關於 t 進行微分，並期望得到向量。

例如，靜止粒子的位置是 (0, ct)。

從以 v 向右移動的參考系來看，其位置變為 (-vτ, cτ)，其中 τ=γt 是在移動參考系中測量的時間。

如果我們關於 τ 進行微分，則速度將為 (-v, c)。

如果我們關於 t 進行微分，則在靜止參考系中得到 (0, c)，如果這是四維向量，則在移動參考系中將為 (-γv, -γc)（使用洛倫茲變換）。

當在同一個參考系中測量時，這兩個表示式相差一個 γ 因子，因此這不可能是四維向量。

但是，如果移動的觀察者除以 γ（即時間膨脹），他們將得到與靜止的觀察者相同的向量。

這樣做等同於關於粒子自身靜止系中的時間進行微分。由於這對位置向量有效，我們預計它對所有向量都有效。

在粒子靜止系中測量的時間稱為其固有時。

關於固有時對向量進行微分將得到另一個向量，它是時間導數的相對論等效物。