現代物理學/多普勒效應

狹義相對論
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

---

多普勒效應

你可能聽說過火車鳴笛的聲音在火車經過你時會發生變化。當火車駛近時，音調或頻率比火車駛離你時更高。這就是多普勒效應。類似的，但不同的效應會發生在你經過聲源時。如果一個靜止的哨子在吹，從一輛移動的汽車聽到的音調在朝聲源移動時比遠離聲源時更高。因此，第一個情況是移動的聲源，而第二個情況是移動的觀察者。

在本節中，我們將計算多普勒效應在光在真空中傳播時的情況。下圖顯示了計算光波前時間間隔的幾何圖形，分別對應靜止和移動參考系。

• 在靜止參考系中，靜止觀察者之間的波前時間間隔為T。

• 在靜止參考系中，移動觀察者之間的波前時間間隔為T′。

• 在靜止參考系中，移動觀察者之間的波前時間間隔為τ。

由於波前的世界線斜率為1，陰影三角形的兩邊具有相同的數值C。如果觀察者以速度U移動，則觀察者世界線的斜率為c/U，即

${\frac {c}{U}}={\frac {cT+X}{X}}$

求解X並代入cT′=cT+X得到

$T'={\frac {T}{1-{\frac {U}{c}}}}\quad (1)$

在經典物理學中，T′和τ相同，因此該公式直接導致了移動觀察者的經典多普勒頻移。

然而，在相對論中，T′和τ不同。我們可以使用洛倫茲變換來修正這一點。

第二個波前在靜止觀察者參考系中經過移動觀察者時座標為(UT′,cT′)，但在其自身參考系中座標為(0,cτ)。洛倫茲變換告訴我們。

$c\tau =\gamma \left(cT'-{\frac {U}{c}}UT'\right)=cT'\gamma \left(1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}\right)=cT'/\gamma$

將公式(1)代入得到

${\begin{matrix}\tau &=&T{\frac {\sqrt {1-U^{2}/c^{2}}}{1-U/c}}\\&=&T{\sqrt {\frac {(1-U/c)(1+U/c)}{(1-U/c)^{2}}}}\\&=&T{\sqrt {\frac {c+U}{c-U}}}\end{matrix}}$

由此，我們推斷出光在真空中傳播的相對論多普勒頻移公式

$\omega ^{\prime }=\omega {\sqrt {\frac {c-U}{c+U}}}$

因為頻率與時間成反比。

我們可以繼續確定由移動聲源產生的多普勒頻移。但是，根據相對論原理，物理定律在觀察者靜止而聲源移動的參考系中應該是相同的。此外，光速在該參考系中仍然是c。因此，靜止觀察者和移動聲源的問題在概念上與移動觀察者和靜止聲源的問題相同，前提是波速為c。

這與例如聲波不同，聲波中靜止觀察者和靜止聲源會產生不同的多普勒頻移公式。

外部連結

• 相對論多普勒效應及其測量