SA NC 開展調查/第 6 章
| 開展調查：GET 和 FET 數學和科學教育工作者的資源手冊 |
迄今為止描述的調查都是專案，屬於學習者提出想法，然後盡力找出更多相關資訊的型別。這類調查的目的是讓學習者參與科學過程（參見第 9 章瞭解科學素養各個方面的完整列表）。但是，調查精神可以在更簡單的活動中找到，並且在過去偉大的科學教育家朱利葉斯·薩姆納·米勒的一句話中繼續存在：“多做少說”！在介紹新概念或只是向學習者展示一個非凡的現象以激發他們的想象力時，調查仍然是科學和數學教育工作者手中的強大工具。以下是一些流行的調查活動。請按照說明操作並找出正在展示的科學概念。從這些活動中得出的調查活動將是找出每個現象在何處發揮作用。
一個有用的縮略語總結了使用這些快速調查的方法，即“OPE”或觀察、預測和解釋。在課堂上進行這些活動時，要讓學習者有時間仔細觀察（可能在過程中重新演示），討論他們的預測以及他們預測背後的理論，然後解釋發生的事情，特別是如果他們的預測不正確。
你需要一杯水、冰塊、一根繩子和一些鹽。步驟 1. 將一塊冰塊放入一杯水中。它漂浮著，大約十分之一的冰塊從水面突出。
步驟 2. 將繩子的一端放在露出的冰塊上，並在其上撒一些鹽。讓它停留一兩分鐘。
步驟 3. 輕柔地提起繩子。
你期望什麼？ 你期望冰塊留在水中，繩子會拉開。實際發生什麼？ 繩子緊緊地粘在冰塊上，足以將其從水中提起。它是如何工作的？ 鹽將水的冰點降低到低於 0° C。當冰塊在繩子末端所在的位置融化時，融化的冰會稀釋鹽，冰塊會再次凍結。繩子的熱量首先會在冰塊中形成一個小孔，當繩子在冰塊內部時，水鹽混合物就會再次在周圍凍結。
你需要一張雙層報紙和一把尺子。步驟 1. 將尺子放在桌子上，使幾釐米伸出桌邊。
步驟 2. 用一張報紙蓋住桌上的尺子。
步驟 3. 用手用力敲擊伸出桌邊的尺子部分。
你期望什麼？ 你期望紙張在你敲擊尺子時跳起來。實際發生什麼？ 紙張留在桌子上。它甚至沒有撕裂。它是如何工作的？ 手掌向上時的空氣重量約為 45 公斤。雙層報紙上的空氣重量是多少？當然超過尺子能承受的重量！
你需要一個沉重的玻璃杯、一個氣球和一個空的冷飲瓶。
步驟 1. 將氣球放在瓶口。
步驟 2. 將氣球的開口纏繞在瓶子的開口處。
步驟 3. 吹入瓶子裡的氣球。
你期望什麼？ 氣球應該膨脹並充滿瓶子。實際發生什麼？ 氣球略微膨脹，但之後就無法再膨脹了。它是如何工作的？ 當氣球膨脹時，瓶子裡的空氣被壓縮到剩餘的空間。這意味著吹氣者肺部的反壓力也會增加。即使是輕微地膨脹氣球，都很難！
你需要一個沉重的玻璃杯、一條報紙、兩枚大硬幣和一把尺子。
步驟 1. 將一條報紙的一端放在杯沿上。
步驟 2. 將兩枚硬幣平衡在杯沿上。
步驟 3. 確保硬幣只是接觸到紙張，但實際上是平衡在杯沿上，而不是紙張上。
步驟 4. 提起紙張的自由端，將其保持水平。
步驟 5. 用尺子敲擊距離玻璃邊緣約 5 釐米的紙張。
你期望什麼？ 你期望硬幣掉入玻璃杯中。實際發生什麼？ 紙張從硬幣下方抽出來，它們仍然留在玻璃杯的邊緣上。'它是如何工作的？ 所有物體都抵抗被置於運動狀態（即被使動）。物體質量越大，使其運動就越困難。所以輕的紙張移動了，但重的硬幣沒有。（找出物質的這種性質叫什麼。）
你需要一個酒精燈、火柴、一根木頭和金屬棒（用一根圓柱形木棒和一塊鋁箔包裹其中一半幾次製成）以及一張書寫紙。
步驟 1. 將一張紙繞在木金屬棒上，形成單層包裹。
步驟 2. 點燃酒精燈。
步驟 3. 將火焰輕輕地對準紙張，在金屬和木材的交界處。
你預計會發生什麼？ 你預計紙張會燃燒。實際上發生了什麼？ 紙張覆蓋木頭的那一半會炭化，但覆蓋鋁箔的那一半不會。這是如何運作的？ 金屬導熱，將熱量從紙張上帶走，而木材則不會。因此，紙張在木材上的溫度很快升高到紙張焦化的程度。但在金屬上不會發生這種情況。
你需要一個軟木塞、一枚別針、兩把叉子和一個厚玻璃杯。
步驟 1. 將別針插在軟木塞的一端。
步驟 2. 將叉子插在軟木塞的側面，使它們向下垂落 - 手柄低於帶有別針的軟木塞底部。
步驟 3. 將別針平衡在一個倒置的玻璃杯底部。
你預計會發生什麼？ 你預計整個裝置會翻倒，因為它看起來很不穩定。實際上發生了什麼？ 該裝置在別針上保持平衡，雖然它一開始可能會搖晃，但很快就會穩定下來。這是如何運作的？ 每個物體都有一個稱為重心 (CoG) 的點與之相關。它是物體整個質量似乎集中在一點上的位置。如果重心低於平衡點，則物體將非常穩定。
你需要兩根掃帚和一段繩子。
步驟 1. 讓超級男孩/超級女孩垂直地握住兩根掃帚，每隻手一根，然後向內拉，而另兩個人試圖將掃帚（和握持者的手臂）向外拉。
步驟 2. 現在，當兩個“拉扯者”各自垂直地握住一根掃帚時，將繩子的一端系在其中一根掃帚上（大約向上三分之一處），然後將繩子繞著兩根掃帚纏繞 5 圈，向上纏繞。
步驟 3. 讓兩個拉扯者再次嘗試將掃帚向外拉，而超級男孩/超級女孩則拉住繩子的自由端。
你預計會發生什麼？ 你預計兩個人會輕鬆地將掃帚拉開。實際上發生了什麼？ 繩子很容易地將兩個人拉向內。這是如何運作的？ 這種作用類似於一組滑輪（或滑輪組）。繩子每次纏繞幾乎會使繩子末端的人的拉力加倍。
你需要一張 A4 紙和一把剪刀。
步驟 1. 給每個學習者一把剪刀和一張 A4 紙。
步驟 2. 向他們提出問題：“你能剪開這張紙，使它適合你的身體嗎？”
步驟 3. 將紙張對摺，短邊對短邊。
步驟 4. 從摺疊的末端剪出一個狹窄的矩形，如所示 (X)。
步驟 5. 按照此圖案進行奇數次剪裁
你預計會發生什麼？ 做不到！實際上發生了什麼？ 它有效！這是如何運作的？ 仔細觀察排列方式，看看它是如何運作的。
步驟 6. 你可以使用另一張紙進行實驗。嘗試違反說明，例如進行偶數次剪裁或不剪到紙邊的邊緣！
這一系列活動由蒙大拿西部大學的奧蒂斯·湯普森教授以其作為 Tlhatloga 專案首席研究員和數學專家的身份編制。這些活動在 2003 年舉辦的一系列研討會上展示。湯普森教授在數學教育方面擁有傑出的職業生涯，並將其與南非教育工作者合作的三年視為其職業生涯的亮點。
數學被定義為對模式的研究。模式無處不在 - 在牆紙、地板和牆壁瓷磚上，在藝術作品中，在植物和動物的生長和行為中，在交通中，甚至在電視節目表中。科學家尋找模式，以便隔離變數，以便他們在研究中得出有效結論。學習者可以透過探索數字和幾何模式，並用文字或符號以數學方式表達這些模式來獲得模式方面的經驗。為了分析模式，我們首先確定模式的結構以及模式如何變化。然後，我們以系統的方式組織資訊，最後對模式中的數學關係進行概括。在這些活動中，學習者可以探索數字模式，並學習一些分析模式的方法。然後，他們可以使用他們的分析以數學方式表達模式。學習者還可以研究純數字模式如何應用於現實世界。
活動 1 在此活動中，學習者將探索一些熟悉的數字模式，並命名所描述的數字集。
活動 2 在此活動中，學習者將探索算術序列、幾何序列和圖形數序列。算術序列是指每個連續項透過新增或減去一個稱為公差的固定數字從前一項獲得的序列。幾何序列是指每個連續項透過乘以一個稱為公比的固定數字從前一項獲得的序列。圖形數是可以由排列成特定幾何圖形的點表示的數字。
活動 3 使用列奧納多·斐波那契在 1202 年提出的原始問題介紹斐波那契數列。然後，學習者將探索導致斐波那契數列的其他一些問題。學習者將發現該序列中的一些有趣關係，並以數學方式表達這些關係。學習者將探索植物生長模式如何與斐波那契數對齊。
活動 4 1+ \frac{1}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1 + L} } 學習者將探索連分數，並看到在給定點停止始終會導致斐波那契數的比率。當轉換為小數時，這些比率接近 1.61803...，即黃金分割。然後，學習者將進行實驗，以找到“最令人愉悅的矩形形狀”，並瞭解長寬比大約是黃金分割。然後，學習者將找出他們周圍環境中“黃金矩形”。
所需材料
- 紙和筆
- 計算器（可選）
- 整個菠蘿（可選）
- 圓規
- 直尺
- 剪刀或刀具
Thembisa 必須為學期結束時的拼寫測試學習一個長長的單詞列表。第一天她學習了兩個單詞，之後每天她學習拼寫兩個單詞。如果她在第 15 天學習完整個列表，那麼她的列表中有多少個單詞？
要解決這個問題，請完成以下表格
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天 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
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累計單詞數 |
2 |
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因此我們看到 Thembisa 的列表包含 _____________ 個單詞。
您建立的數字列表（稱為序列）是屬於一組非常特殊的自然數的一部分。該集合寫成 {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}，其中 ...（稱為省略號）表示該模式永遠持續下去。這組自然數的名稱是什麼？
還有其他您可能知道名稱的自然數序列。讓我們來探索並看看您知道哪些序列。在下面的每個序列中，填寫接下來的三個項，並給該序列命名。
1. 1, 3, 5, 7, 9, ______ , ______ , ______ , ...
名稱：________________________________
2. 0, 1, 4, 9, 16, 25, ______ , ______ , ______ , ...
名稱：________________________________
3. 0, 3, 6, 9, 12, 15, ______ , ______ , ______ , ...
名稱：_______________________________
4. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, _____ , ______ , ______ , ...
名稱：______________________________
一個大型劇院的設定方式是第一排有 20 個座位，每排後增加 4 個座位。最後一排有 144 個座位。劇院共有多少排？
如果我們試影像在活動一中那樣建立一個列表來解決這個問題，我們可能需要花一段時間才能完成列表。讓我們來探索像這樣序列的一些特性，以嘗試簡化我們的求解方法。
我們需要建立來解決此問題的序列稱為等差序列。等差序列是指每個連續項都是透過加或減一個固定數字（稱為公差）從前一項得到的序列。寫出對應於前五排的前五項：該序列中的第 10 項是多少？該序列中的第 20 項是多少？寫出求此序列第 n 項的規則？
現在使用此規則來查詢劇院的排數。要確定一個序列是否是等差序列，只需檢視連續項之間的差是否為常數即可。以下哪些序列是等差序列？如果該序列是等差序列，請寫出該序列的第 100 項。
1. 5, 8, 11, 14, 17, ...
等差？是/否
第 100 項 = ________________
2. 4, 6, 9, 13, 18, ....
等差？是/否
第 100 項 = ________________
3. 1040, 1032, 1024, 1016, 1008, ....
等差？是/否
第 100 項 = _____________
4. 偶數集
等差？是/否
第 100 項 = _____________
現在問題出現了，關於活動 2 中的導言問題：劇院有多少個座位？
為了回答這個問題，首先讓我們考慮一個更簡單的問題。這些數字的和是多少：1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100？（注意，這是一個公差為 1 的等差序列。）
寫出該和：1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
在它下面寫下“倒序”的序列：100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
現在，如果我們將上面和下面每一對加起來，則該和為 101，並且由於有 100 對，因此兩行的總和為 100 x 101。但是，由於這包含了序列中的每個數字兩次，因此我們將該乘積除以 2，得到 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050。
（注意：要找到等差序列中有限個項的和，您需要知道第一項、最後一項和項數。寫出使用這些資訊來查詢此類和的規則，然後使用此規則來查詢劇院中的座位數。）
找到以下和：1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1000 = _______________
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 72 = _______________
8 + 11 + 14 + 17 + ... + 305 = _______________
並非所有序列都是等差序列。還存在其他型別的序列。等比序列是指每個連續項都是透過乘以一個固定數字（稱為公比）從其前一項得到的序列。在這些等比序列中找出接下來的三個項
1. 2, 4, 8, 16, ______ , ______ , ______ , ...
2. 729 486 162, _____ , _____ , _____ , ...
3. 1, 0.4, 0.16, 0.064, _____ , _____ , _____, ...
圖形數（可以用點表示成特定幾何圖形形狀的數字）提供了既不是等差序列也不是等比序列的序列示例。以下是三角形數序列的前四項。
解釋為什麼下一個三角形數是 15。
序列 1, 3, 6, 10, 15, ... 不是等差序列（因為沒有公差），也不是等比序列（因為沒有公比）。但是，如果我們檢視連續項之間的差，然後檢視連續差之間的差，我們會發現一個模式，它應該可以幫助我們找到該序列的接下來的三個項。
以下是前三個五邊形數。使用您在三角形數中使用的方法來查詢接下來的三個五邊形數。
當要求您為給定序列找到模式時，首先尋找一些易於識別的模式，並確定該序列是等差序列還是等比序列。如果模式不清楚，則進行連續求差（如對圖形數所做的那樣）可能會有所幫助。有可能這些方法都沒有揭示出模式。
1202 年，萊昂納多·斐波那契在他的著作《算盤書》（《算盤書》）中提出了以下問題：某人將一對小兔子放在一個四面環繞著牆壁的地方。如果假設每對兔子每個月產下一對新兔子，並且從第二個月起，新兔子開始繁殖，那麼一年內從這一對兔子可以繁殖出多少對兔子？
為了解決這個問題，讓我們製作一個表格，並跟蹤我們每個月有多少對兔子。請記住，我們將從一對小兔子開始。在第二個月初，它們現在是一對成年兔子，因此它們繁殖。兔子的妊娠期是一個月，所以在第三個月初，我們現在有一對成年兔子和一對小兔子。
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月份 |
成年兔子 |
小兔子 |
兔子總數 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
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2 |
1 |
0 |
1 |
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3 |
1 |
1 |
2 |
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4 |
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5 |
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6 |
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7 |
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8 |
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9 |
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10 |
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11 |
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12 |
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現在完成表格，得出我們一年結束時有多少對兔子。仔細分析您為兔子總數獲得的數字序列。描述如何確定該序列中的下一項。
（注意：此序列既不是等差序列也不是等比序列。連續求差的方法不像對圖形數那樣有效，但它可能提供一些線索，說明如何構建此序列中的連續項。）
現在讓我們更詳細地探索這個序列，並對它做出一些推測。1. 完成以下斐波那契數列的前 25 項的表格：這裡沒有任何地方解釋什麼是斐波那契數，以及如何得到它們？
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符號 |
項 |
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F1 |
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F2 |
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F3 |
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F4 |
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F5 |
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F6 |
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F7 |
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F8 |
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F9 |
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F10 |
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F11 |
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F12 |
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F13 |
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F14 |
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F15 |
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F16 |
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F17 |
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F18 |
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F19 |
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F20 |
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F21 |
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F22 |
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F23 |
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F24 |
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F25 |
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2. 如果您的表格填寫正確，則第 25 個斐波那契項 F25 應該為 75025。
3. 找到以下和
a. F1 + F2
b. F1 + F2 + F3
c. F1 + F2 + F3 + F4
d. F1 + F2 + F3 + F4 + F5
e. F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6
f. F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 + F7
g. 寫出可以讓您根據斐波那契數給出前 n 項之和的答案的規則。
h. 使用您的規則來查詢此序列的前二十項的和。
4. 找到以下和（注意：我們只使用奇數項）
a. F1 + F3
b. F1 + F3 + F5
c. F1 + F3 + F5 + F7
d. F1 + F3 + F5 + F7 + F9
e. F1 + F3 + F5 + F7 + F9 + F11
f. 寫出可以讓您根據斐波那契數給出前 n 個奇數項之和的答案的規則。
g. 使用您的規則來查詢前十個奇數項的和。
5. 找到以下和（注意：這裡我們只使用偶數項）
a. F2 + F4
b. F2 + F4 + F6
c. F2 + F4 + F6 + F8
d. F2 + F4 + F6 + F8 + F10
e. F2 + F4 + F6 + F8 + F10 + F12
f. 寫出可以讓您根據斐波那契數給出前 n 個偶數項之和的答案的規則。
g. 使用您的規則來查詢前十個偶數項的和。
6. 找到兩個連續斐波那契數的平方和 - 這用符號表示為：(F_n)^2 + (F_{n+1})^2。結果應該是另一個斐波那契數。是哪一個？
7. a. 從您的列表中選擇任何三個連續的斐波那契數。將第一個數乘以第三個數，然後減去中間數的平方。- 這用符號表示為：F_{n-1} X F_{n+1} - {F_n}^2 寫出可以解釋答案是什麼的規則。）
b. 不進行實際計算，F24 x F26 ­ F25^2 的值是多少？
8. a. 現在計算 F_{n-2} x F_{n+2} - {F_n}^2，其中 n 的值不同。
b. 寫出可以解釋每次答案應該是什麼的規則。
9. （對於“專家”。）寫出可以給出 F_{n-k} x F_{n+k} - {F_n}^2 答案的規則。
10. 所有斐波那契數都可以被 F_1 和 F_2 整除（因為 F_1 = F_2 = 1，並且每個整數都可以被 1 整除。）
a. 哪些斐波那契數可以被 F_3 整除？
b. 哪些斐波那契數可以被 F_4 整除？
c. 哪些斐波那契數可以被 F_5 整除？
d. 描述可以被其他斐波那契數整除的斐波那契數之間的關係。
11. 選擇任何 10 個連續的斐波那契數，並將它們加起來。將此和除以 11。結果是什麼？每次都這樣嗎？
12. 查詢前 n 個斐波那契數的平方和。雖然這些和似乎與斐波那契數沒有直接關係，但它們是否有可能具有斐波那契數作為因子？如果是，請寫出這些因子。現在寫出查詢此平方和的規則。
13. 每個自然數要麼是斐波那契數，要麼可以唯一地表示為斐波那契數之和，其中沒有兩個數是斐波那契數。以下是其中一種方法
a. 寫下一個自然數。
b. 找到不超過你的數字的最大斐波那契數。這個斐波那契數是你求和的第一個項。
c. 現在從你的數字中減去這個斐波那契數，看看這個新的數字。
d. 接下來找到不超過這個新數字的最大斐波那契數。這個斐波那契數是你求和的第二個數字。
e. 繼續這個過程，直到餘數成為一個斐波那契數（你求和的最後一項）。
14. 斐波那契取石子游戲由兩個人玩：玩家 1 和玩家 2。所需要的只是一堆棍子。玩家 1 先走，從堆中拿走任意數量的棍子（至少一根，但不能全部）。玩家 1 走完後，就輪到玩家 2 走，然後他們繼續輪流走。每個人（除了第一次走）都可以拿走任意數量的棍子，但必須至少拿一根棍子，並且不能超過前一個人拿的棍子數量的兩倍。拿走最後一根棍子的玩家獲勝。玩家 1 可以使用以下策略始終獲勝。確保初始棍子數量不是斐波那契數。將堆中的棍子數量寫成非連續斐波那契數之和（見問題 13）。找出和中最小的斐波那契數，作為玩家 1，從堆中拿走這麼多根棍子。現在輪到你的對手（玩家 2）走。無論玩家 2 做什麼，你都重複前面的步驟。也就是說，一旦玩家 2 完成，玩家 1 將剩餘棍子數量表示為非連續斐波那契數之和，然後拿走數量等於和中最小的斐波那契數的棍子。實際上，無論玩家 2 做什麼，玩家 1 始終能夠在不違反規則的情況下拿走那麼多根棍子，最終玩家 1 將能夠拿走最後一根棍子並獲勝。現在讓我們探索一些其他問題。
1. 一個孩子試圖爬樓梯。他一次最多能爬兩級，也就是說，他可以一次爬一級或兩級。如果總共有 n 級臺階，他可以用多少種不同的方法爬上樓梯？
如果只有一級臺階 (n = 1)，顯然只有一種方法可以爬上去。如果有兩級臺階，孩子可以一次爬完兩級，也可以一級一級地爬，因此有兩種方法。如果 有 3、4、5...級臺階會怎樣？
2. 假設我們有兩塊由略微不同的玻璃製成的玻璃板，它們正面相對。如果我們用光照射這些玻璃板，光線原則上可以在四個反射面上發生內部反射，然後射出。更具體地說，它們可以不反射地直接穿過，或者它們可以發生一次內部反射、兩次內部反射、三次內部反射，依此類推，然後射出（見下面的圖）。計算當有 n 次內部反射時射出的光束數量。
3. 在蜜蜂群體中，雄蜂 (雄性) 從未受精的卵中誕生，因此只有一個親本 (蜂王)。蜂王從受精卵中誕生，因此有兩個親本 (蜂王和雄蜂)。如果我們追溯一隻雄蜂的“家譜”10 代，這隻雄蜂會有多少位曾曾曾曾曾曾曾曾曾祖父母？
4. 以下是一種建立稱為黃金序列的序列的演算法。從數字 1 開始，然後將 1 替換為 10。從那時起，將每個 1 替換為 10，將每個 0 替換為 1。在你進行了 12 次迭代過程之後，在 0 和 1 的序列中，有多少個 1？
以上所有問題都導致了斐波那契數列。斐波那契數列無處不在。它甚至出現在植物中。一些花的花瓣數量和花瓣排列包含斐波那契數。大多數雛菊有 13、21 或 34 片花瓣（都是斐波那契數）。植物枝條上的葉子或樹枝上的莖往往以最佳位置生長，以最大限度地接觸陽光、雨水和空氣。從一片葉子到下一片葉子（或從樹枝上的一根莖到下一根莖）的過渡以螺旋形的位移為特徵。例如，在梨樹上，需要旋轉三圈才能穿過八根莖，這是一對斐波那契數列的交替成員。菠蘿表面的六角形鱗片是三個不同螺旋的一部分。大多數菠蘿在表面上有五、八、十三或二十一根越來越陡峭的螺旋。所有這些都是斐波那契數。當你觀察向日葵的頭部時，你會注意到順時針和逆時針的螺旋圖案。在下面的圖片中，有 21 個順時針螺旋和 34 個逆時針螺旋，再次是斐波那契數。
檔案：DoingInvestigations chp6 sunflower.jpg
松果的外層由兩組互鎖的螺旋組成，通常一個方向有 5 個螺旋，另一個方向有 8 個螺旋。你可以在這個地方的植物中找到哪些斐波那契數的例子？
現在讓我們看看一種截然不同的無限表示式，這次涉及分數：1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1 + \frac {1}{...}}}}}
這是一個稱為連分數的數學實體的特例。我們如何計算這個分數的值？一種方法是在不同的點“截斷”連分數，簡化分數，並在我們的結果中尋找模式。
1. 表示為假分數。1 + \frac{1}{1}
2. 表示為假分數。1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}
3. 表示為假分數。1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}
4. 到這時，你可能已經發現了“捷徑”來做這件事。所以讓我們再做一次。表示為假分數。1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1}}}}
5. 你之前見過出現在這些假分數的分子和分母中的數字嗎？它們是什麼？（Fn+1）/Fn
6. 使用計算器獲得對於越來越大的 n 值的分數的十進位制近似值，其中 Fn 是第 n 個斐波那契數。這個數字稱為黃金分割，通常用希臘字母 phi（φ）表示。可以透過數學方法證明，這個數字精確地等於。
現在讓我們嘗試一個小實驗。你會得到一張紙，紙上畫著幾個矩形。你應該選擇一個你認為在這一組中最“令人愉悅、吸引人、優雅”的矩形。該組的結果將被製表。現在讓我們構建一個對許多人來說具有特殊吸引力的矩形。
1. 繪製正方形 ABCD。
2. 找到線段 DC 的中點。
3. 將圓規的尖端放在 M 點，以半徑 MB 畫弧 BE。
4. 點 E 是擴充套件的 DC 與弧的交點。
5. 找到點 F，使 AFED 成為一個矩形。檔案：DoingInvestigations chp6 7.png
可以透過數學方法證明，在矩形 AFED 中，邊長比率 frac{AF}/{DE} 和 {BC}/{BF} 都等於 φ，即黃金分割。因此，矩形 AFED 被稱為黃金矩形。人們寫了許多關於不同的藝術家和建築師如何在設計他們的作品時使用黃金矩形。在紙張的中央附近，構造一個黃金矩形。小心地將矩形從紙張上剪下，保持紙張的外部完整。現在使用這個“模板”來找到你周圍的物體，這些物體接近於“黃金矩形”。
此活動基於從“只愛數字的人：保羅·厄多斯的故事和尋找數學真理的旅程”一書中獲得的思想，作者為保羅·霍夫曼 (1998 年) 和“排程問題的組合數學”，《科學美國人》，1978 年 3 月。該活動由彼得·格洛弗博士撰寫，並於 2001 年 6 月首次在美國蒙大拿州迪倫的 Tlhatloga 專案暑期研討會上使用。
將 5 個砝碼（2、2、2、3 和 3）分成兩堆，使每堆的總重量儘可能接近。
'解決方案 1-1' 透過觀察（即只看重量）我們可以將它們排列成 (3, 3) 和 (2, 2, 2)。在處理少量砝碼時，可以透過“試錯法”解決問題，即嘗試所有可能的排列，直到找到最佳答案。這是一個屬於數學分支“組合數學”的問題——它是關於如何做出最佳決策，決定將什麼放在哪裡，以及如何以最佳方式組合數量以獲得所需結果的數學。這是一個相對較新的數學分支，它在各個領域都得到了應用，從國防到切割管道長度到貨車的包裝。
解決方案 1-2 羅納德·格雷厄姆是當今最優秀的組合數學家之一。以下是他用來最有效地包裝重量的演算法*：“從最重的砝碼開始，一直到最輕的砝碼，將每個砝碼放入在每一步都傾向於使兩堆重量儘可能相等的堆中。”
[* 演算法這個詞來自九世紀的波斯數論家穆罕默德·本·穆薩·阿爾-花拉子米，他也是代數的命名者。“演算法是……一個一步一步的程式，其中每一步都明確說明，以便人或機器可以機械地解決問題。”（霍夫曼。1998）。]
但是使用格雷厄姆的演算法來解決問題 1，我們得到以下解決方案
檔案：DoingInvestigations chp6 8.png
我們可以看到，這不是最佳解決方案，而我們的試錯法解決方案就是最佳解決方案，即每堆總重量為 6 個重量單位（即 3、3 和 2、2、2）。但它也不是最差的組合，如果堆的大小範圍從 2 到 10（即 3、3、2 和 2、2 或 3、3、2、2 和 2），就會出現這種情況。
我們的計算機程式只是將許多演算法串聯在一起，並用計算機可以解碼、"理解"和執行的語言編寫。 最佳解決方案與演算法解決方案 最佳解決方案（我們的解決方案，也是透過反覆試驗找到的）是 3、3 和 2、2、2（即 6 和 6）。 但羅恩·格雷厄姆的演算法給了我們 3、2、2 和 3、2（即 7 和 5）。
因此，格雷厄姆的演算法給出了一個在每種情況下偏差 1/6 的解決方案（即 6 對 7 和 6 對 5）或最佳答案的 ±16%。
格雷厄姆能夠證明，對於兩堆以及任何數量的重量的任何分佈，他的演算法的偏差永遠不會超過 16%。 1973 年，普林斯頓大學的傑弗裡·烏爾曼證明了所謂的“首次適應打包演算法”（即，將物品按到達的順序裝入您選擇的任何容器，只要它們適合）可能偏差高達 70%！
您有以下所示的 33 個重量和容量為 524 重量單位的箱子。 使用格雷厄姆的“首次適應，從重到輕”演算法，將提供的塊分成儘可能少的箱子。
1. 展示您所做的任何計算。
2. 展示您如何將重量包裝到箱子中
您仍然有 33 個重量，但現在每個重量都是問題 2 中使用的重量的一半。 在將 0.5 變成一半後，四捨五入，如示例所示。 您的新箱子容量為 262。 在使用“首次適應，從重到輕”演算法之前，請檢視您是否可以進行任何計算來預測包裝重量所需的箱子數量。 在做出預測後，將您的塊包裝到儘可能少的箱子中。
您的預測：_____ 箱子。
展示您將如何包裝您的重量。
使用問題 3 中使用的 33 個重量，但將所有“四捨五入”到 0.5 的地方改為“舍入”任何一半。 箱子的容量仍然是 262。 在您預測了所需的箱子數量後，使用格雷厄姆的演算法將您的塊包裝到儘可能少的箱子中。
您的預測：_____ 箱子。
展示您將如何包裝您的重量。
使用您在問題 2 中使用的 33 個重量，但丟棄 46 個重量。 預測您現在需要的箱子數量。（a）使用格雷厄姆的演算法將塊包裝到儘可能少的箱子中，以及（b）使用反覆試驗的方法，嘗試改進“首次適應，從重到輕”策略給出的解決方案。
您的預測：_____ 箱子。
展示您將如何包裝您的重量。
玻璃纖維絕緣材料以 1 米預切段出售。 水管工必須在經常被接頭打斷的地下室管道上安裝絕緣材料。 必須安裝絕緣材料的管道段上接頭之間的距離（以釐米為單位）為 30、40、45、30、20、25、40、50、30、35、50、55、60、70、95、10、70、30、80、85、40、45、30、20、15、90、60 和 50。 水管工需要使用多少預切段才能提供絕緣材料。 一段管道必須用一塊完整的絕緣材料覆蓋。 不允許將兩個較短的部件連線起來以製造更長的部件。
此問題和前面介紹的問題被稱為裝箱問題。 裝箱是指找到將重量為 w1、w2、w3、...、wn（每個都小於或等於 W）的最小數量的箱子，這些箱子的重量容量為 W。 格雷厄姆的演算法，“首次適應，從重到輕”也稱為首次適應遞減（FFD）演算法。 如果您在將重量分配到箱子之前知道所有重量，以便可以按從大到小的順序排列，則此演算法執行良好。 在某些裝箱問題中，我們沒有這種奢侈。 在這些情況下，必須使用其他演算法。 以下是用於裝箱的更常用演算法的定義。
首次適應 (FF)
要包裝的下一個重量將被放置在已經開啟的最低編號箱子中，它適合於此。 如果它不適合任何開啟的箱子，則開啟一個新的箱子。
首次適應遞減 (FFD)
首次適應演算法應用於已排序的重量列表，使其按遞減順序出現。
下一個適應 (NF)
如果要包裝的下一個重量不適合當前正在填充的箱子，則開啟一個新的箱子。 任何先前開啟的箱子都不能使用。
下一個適應遞減 (NFD)
下一個適應演算法應用於已排序的重量列表，使其按遞減順序出現。
最差適應 (WF)
要包裝的下一個重量將被放置在剩餘空間最大的開啟箱子中。 如果該重量不適合任何開啟的箱子，則開啟一個新的箱子。
最差適應遞減 (WFD)
最差適應演算法應用於已排序的重量列表，使其按遞減順序出現。
最佳適應 (BF)
要包裝的下一個重量將被放置在開啟的箱子中，該箱子在將該重量放置到該箱子後將留下最少的剩餘空間。 如果該重量不適合任何開啟的箱子，則開啟一個新的箱子。
最佳適應遞減 (BFD)
最佳適應演算法應用於已排序的重量列表，使其按遞減順序出現。
嘗試使用不同的裝箱演算法解決此頁面頂部的管道切割問題。 研究您從各種演算法中獲得的不同答案，看看您是否能理解答案不同的原因。 哪個演算法似乎最有用？ 為什麼？ 管道長度表將很有用。
將其視為教授這堂課的教育者指南。 使用提供的頁面，但在適當的時間之前不要向學習者分發描述。 只有在保留了驚喜元素的情況下，活動才有效。
- 四個農民的房屋正好位於他們共有的一個大型方形田地的四個角上。
- 他們決定在田地的正中央安裝一臺風車，為農舍抽水。
- 當然，他們希望使用盡可能短的管道長度來降低成本。
- 農民們討論了此事，得出了一個顯而易見的結論
從泵直接通往每個農舍的四根管道將提供最短的總管道長度（因此成本最低）。
進行測量。 測量到圓形和正方形的中心，並將管道總長度記為 **佈置 A 為 ............. 釐米。**
現在...
- ... 使用電線和鉗子用電線製作一個立方體（立方框架）。 角部的電線可以使用鉗子扭在一起。 製作一個手柄，以便可以將框架浸入肥皂水中。
- 立方體是一種“塊狀”形狀，有 6 個方形面。 在您製作的立方體的情況下，它實際上是一個未填充的框架（就像遊樂場裡一個小型攀爬架）。
- 當您和/或學習者製作了一個立方框架後，將其浸入肥皂水中。（一個好的肥皂水配方：1 份洗碗劑，2 份水，？ 份甘油。 甘油使肥皂泡更堅固。 嘗試這些比例並進行調整，以確保可以吹出好氣泡。 如果您沒有甘油，請新增更多洗碗劑。）
- 每個面上都有薄薄的肥皂膜。 您還會注意到，在立方體內部也會形成一些肥皂膜。 輕微搖晃立方體，直到肥皂膜沉澱下來。 重複此操作幾次，直到肥皂膜每次都沉澱到相同的形狀為止。
- 現在仔細觀察肥皂膜在立方體內部是如何排列的。
- 如果您用毛線纏繞所有電線框架的邊緣，您會發現肥皂膜會持續更長時間。 確保毛線被肥皂水充分浸泡。
- 立方體中肥皂膜的形狀暗示瞭如何在農場上排列水管？ 讓學習者繪製與 **佈置 A** 不同的管道排列方式，這可能會解決農民的問題。
- 測量管道總長度 **佈置 B 為 ............. 釐米。**
肥皂泡能幫助農民節省管道嗎？
**佈置 A** 測量四根管道，每根管道都直接從風車（圖片中的正方形）通往每個農舍（圖片中的圓形）。
**佈置 B** 測量四根管道，每根管道都從每個農舍通往中心，以及橫跨田地中心風車位置放置的管道段。
