材料強度/最弱環節確定：基於三引數威布林統計

材料強度

工程力學中的材料強度

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當材料的某個特定屬性的測量資料顯示出很大的離散性時（例如，脆性材料的強度測量結果，或像參考文獻 [1] 中所列的厚度變化很大的螺紋），可以透過基於三引數 威布林 統計 來分析測量資料，從而獲得該屬性的特徵值或最弱環節。

簡介

當材料需要進行強度確定時，一系列強度測量將顯示出離散性。當離散性與系列的平均值相比很低時，可以定義一個最小強度值 $f_{min}$ 為

(1) $f_{min}=f_{a}-u.s$

其中 $f_{a}$ 是平均強度，$s$ 是測量系列的標準差，$u$ 是與不失效機率相關的係數（例如，與 0.0001 的失效機率相關）。

然而，許多材料，例如厚度變化很大的螺紋、退火玻璃等脆性材料，將顯示出與系列平均值相比很大的離散性，甚至非常大的離散性。甚至一系列測量平均值的離散性也可能與總體平均值相比表現出如此重要的離散性，以至於使用表示式 (1) 會導致毫無意義的最小強度。

在這些情況下，強度測量系列可以用 雙引數威布林分佈 來描述，這意味著最小值趨近於零，或者

(2) $F(f;\alpha ,\beta )=1-\exp \left[-\left({\frac {f}{\beta }}\right)^{\alpha }\right]$

其中 $F$ 是失效的累積機率，$f$ 是測量的強度值，$\alpha$ 是第一個引數或形狀引數，$\beta$ 是第二個引數或尺度引數。

適用的最小強度值 $f_{min}$ 可以透過以下表達式確定

(3) $f_{min}=\beta \left[\ln {\frac {1}{1-F}}\right]^{\frac {1}{\alpha }}$

其中累積機率 $F$ 失敗的數值很低，例如 0.0001。

當強度測量的離散性非常重要，或者最小強度值肯定大於零時，直接應用雙引數威布林分佈沒有意義，應該用更復雜的方法替換，從而使用三引數威布林分佈，表示為

(4) $F(f;\alpha ,\beta )=1-\exp \left[-\left({\frac {f-\gamma }{\beta }}\right)^{\alpha }\right]$

其中 $\gamma$ 是第三個引數，即強度的最小值。換句話說，就是最薄弱的環節。

還應考慮到，引數應被視為隨機變數的分佈 ${\mathcal {D}}$，具有平均值和方差

(5) 第一個引數，即形狀引數： $\alpha ={\mathcal {D}}(\alpha _{m},Var_{\alpha })$

(6) 第二個引數，即尺度引數： $\beta ={\mathcal {D}}(\beta _{m},Var_{\beta })$

(7) 第三個引數，即位置引數： $\gamma ={\mathcal {D}}(\gamma _{m},Var_{\gamma })$

量化方法

為了量化三個引數，特別是第三個引數，即最薄弱的環節，應該提供大量的分組資料。這些資料系列必須從從批次中抽取的測量樣本中獲得，其中每個批次應該被認為或多或少是均勻的。然後，引數的估計可以遵循以下迭代過程

步驟 i: 使用三引數威布林分佈，但將第三個引數 $\gamma _{min}=0$。透過最佳擬合方法將每個資料系列放入該分佈中。這將為每個系列提供引數 $\alpha$ 和 $\beta$。有關最佳擬合方法，請參見參考文獻 [2]，以及維基百科條目 "威布林模量"。

步驟 ii： 對於引數 $\alpha$ 和 $\beta$，計算一個特定的值和範圍，例如平均值 $f_{a}$ 和範圍 $R_{p2-p1}=f_{p2}-f_{p1}$，可能分別為 $p1=0.05$ 和 $p2=0.95$。

步驟 iii： 將所有特定範圍/特定值對，例如 $R_{p2-p1}$/$f_{a}$，放置在笛卡爾座標系中，橫座標為特定範圍，縱座標為特定值。結果應該是一個指向縱座標的拉伸雲。

步驟 iv： 計算趨勢或迴歸線，並計算特定範圍等於零時的特定值。得到的值 $f_{a,R=0}$，也是第三個引數的平均值 $\gamma _{a,R=0}$。

步驟 v： 計算殘差標準差 $s_{r}$ 的最佳估計，用於估計第三個引數的較低值，即實際最薄弱環節 $\gamma _{min}$，表示式如下

(8) $s_{r}={\sqrt {K_{f}{\frac {1-r^{2}}{n-2}}}}$ 和 (9) $K_{f}=\sum _{i=1}^{n}f_{a}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}f_{a}\right)^{2}$

其中 $K_{f}$ 是平均值 $f_{a}$ 的平方和，$n$ 是對數，$r$ 是相關係數。

步驟 vi：透過以下公式計算第三個引數的較低值

(10) $\gamma _{min}=\gamma _{a,R=0}-u.s_{r}$

其中 $u$ 是正態分佈的偏心率，例如 $u=1.64$ 對應於 0.05 的機率。

步驟 vii：將步驟 i中使用的第三個引數替換為步驟 vi中估計的 $\gamma _{min}$ 值。重複步驟 i到步驟 vii，直到最後一次計算值和倒數第二次計算值之間的差值足夠小。

表示條件

為了選擇整個或多或少不均勻總體中最具代表性的強度測量系列數量，但確保在每個批次中具有最具代表性的均勻測量件數量，應考慮一些條件。

a) 系列數量應代表所關注材料生產的足夠時間間隔。最多包含五個系列的總體肯定太小，六到十個系列的總體可能會導致可疑的結果。

b) 建議每個系列的測量件數量至少為 10 件。一個系列的試件應從一個批次中隨機選擇，該批次在可被認為儘可能均勻的生產間隔內製造。

c) 每個系列的測量件應為一種尺寸：不同系列的測量件應尺寸不同。

可能的最小測量系列數量示例

線材：例如，從四個生產間隔或批次中的每一個，分佈在為期一個月的生產期間內，其中每條線材的生產儘可能均勻，第一個拉伸測量系列應包含長度為 $l$ 的測量件，第二個系列應包含 3 倍 $l$ 的測量件，第三個系列應包含 10 倍 $l$ 的測量件。因此，總共 12 個拉伸測量件系列。

退火平板玻璃：例如，從四個生產間隔或批次中的每一個，分佈在為期數月的生產期間內，其中每塊退火平板玻璃的生產儘可能均勻（例如，系列可以從一塊非常大的玻璃板上取樣），第一個系列應包含表面積為 $A_{1}$ 的測量件，第二個系列應包含表面積為 $A_{2}$ 的測量件，第三個系列應包含表面積為 $A_{3}$ 的測量件。有關各種表面的資訊，請參閱國際標準系列 CEN ISO 1288（參考文獻 [3]）。因此，總共 12 個系列。

計算機生成的示例

圖 1

下面給出了一個使用計算機生成資料的示例。

測量件:

- 4 個批次，每個批次包含 3348 個強度值；

- 每個批次提供 3 個測量件系列，其中測量件分別包含 121、25 或 9 個強度值，分別對應於第一個、第二個和第三個系列；

- 每個系列包含 12 個測量件；

- 總共 4 x 3 x 12 = 144 個測量件；

- 強度值 $f_{i}$ 是根據以下表達式隨機分佈的

(11) $f_{i}=20+4\mu _{0}+\left[\left(40+40\mu _{0}\right)\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)\right]$

其中 $\mu _{0}$ 是一個與批次相關的隨機變數，其值在 0 到 1 之間，而 $\mu _{1}$ 和 $\mu _{2}$ 是與任何應力數相關的隨機變數，其值也在 0 到 1 之間；

第三引數估計:

步驟 i 到 步驟 vii 已經執行了兩次。結果以圖形方式顯示在圖 1 中。透過重複整個過程 20 次，研究了該方法的穩定性。平均最小第三引數值為 $\gamma _{min}$ 為 16.2，標準差為 $s_{\gamma _{min}}$=2.2。

背景

符號

$f$ = 發生，例如斷裂應力

$m$ = 表示平均值的下標

$A$ = 維度，例如長度、表面積等

$F$ = 發生發生的機率

$K$ = 影響發生的最負面的不規則強度

$R$ = 範圍，或兩個發生之間的差值

$Var$ = 一系列值內的方差

$\alpha$ = 威布林分佈的第一個引數

$\beta$ = 威布林分佈的第二個或尺度引數

$\gamma$ = 威布林分佈的第三個引數

引數受隨機變化影響的威布林分佈

以下部分提供了從“引言”中的表示式到“量化方法”中的步驟 v 和 步驟 vi 中的表示式的發展資訊。

從表示式 (4) 可以看出，對應於特定發生機率 *F* 的應力 $f_{F}$ 為

(i) $f_{F}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$

從表示式 (i) 和表示式 (5) 到 (7) 可以得出結論

首先 具有確定發生機率的應力的方差為

(ii) $Var_{F}=Var_{\gamma }+Var_{\beta +\alpha }$ 其中 + 表示“合併”。

當機率 $F$ 以 $\ln {\frac {1}{1-F}}=1$ 的方式選擇時，表示式 (i) 將簡化為

(iii) $f_{F}=\gamma +\beta$ 可以詳細說明為

(iv.a) 平均值 $f_{F;m}=\gamma _{m}+\beta _{m}$ 和

(iv.b) 方差 $Var_{F}=Var_{\gamma }+Var_{\beta }$

其次 具有確定機率 $F$ 發生的應力值 $f_{F}$ 隨第二個引數 $\beta$ 的值線性變化。當 $\beta$ 的值可以減小到零時，剩餘的表示式將為

(v) $f_{F}=\gamma$ 可以詳細說明為

(vi.a) 平均值 $f_{F;m}=\gamma _{m}$ 和

(vi.b) 方差 $Var_{F}=Var_{\gamma }$

第二個或尺度引數 $\beta$ 的屬性

對於像線材這樣非均勻物體或像退火玻璃這樣的脆性材料，物體在應力作用下的失效取決於物體的大小$A$以及從失效開始的物體內部或表面不規則的強度$K$。例如，對於線材，尺寸由長度表徵，不規則的強度由厚度變化等表徵。對於退火玻璃，尺寸由物體表面表徵，不規則的強度由表面缺陷的存在和深度表徵。

這種依賴關係可以表示為

(vii) ${\frac {\beta _{A_{1}}}{\beta _{A_{2}}}}=K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}$

因此，表示式（6）可以更詳細地表示為

(viii) $\beta _{A_{1}}={\mathcal {D}}\left[K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}\beta _{A_{2;m}},K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}Var_{A_{2;m}}\right]=K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{a}}{\mathcal {D}}\left(\beta _{A_{2;m}},Var_{A_{2;m}}\right)$

這個表示式表明，當大小$A_{1}$趨近於無窮大，或者不規則性使得$K$趨近於零時，第二個引數$\beta$的值趨近於零。

第二個引數$\beta$歸零

對於某個測量系列，以機率$F_{1}$發生的事件$f_{F_{1}}$，以及以機率$F_{2}$發生的事件$f_{F_{2}}$是

(ix) $f_{F_{1}}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$ 和

(x) $f_{F_{2}}=\gamma +\beta \left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$

當指出特定測量系列的範圍 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 為

(xi) $R_{F_{1}-F_{2}}=f_{F_{1}}-f_{F_{2}}=\beta \left[\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}\right]$

那麼第二個引數 $\beta$ 可以表示為

(xii) $\beta ={\frac {R_{F_{1}-F_{2}}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

用表示式 (xii) 代替表示式 (ix) 中的 $\beta$，結果是

(xiii) $f_{F_{1}}=\gamma +{\frac {R_{\left(F_{1}-F_{2}\right)}\ln \left({\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

此外，考慮到$\beta$ 的可變性，並使用表示式 (viii)，可以得出結論，出現 $f$ 的機率為 $F_{1}$。

(xiv) $f_{F_{1}}=\gamma +K\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}{\frac {R_{\left(F_{1}-F_{2}\right)}\ln \left({\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}{\left(\ln {\frac {1}{1-F_{1}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}-\left(\ln {\frac {1}{1-F_{2}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

這意味著當尺寸$A_{1}$ 變為無窮大時，或者當不規則性的強度非常大以至於$K$ 趨近於零時，出現等於第三個引數的值，即

(xv) $f_{F_{1}}=\gamma$

具體來說，

(xvi.a) 平均值：$f_{F_{1;m}}=\gamma _{m}$

(xvi.b) 和方差：$Var_{F_{1}}=Var_{\gamma }$

結論

基於 (xiii)，測量值對 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 和 $f_{F_{1}}$ 可以放置在笛卡爾座標系中，這應該會給出一個點散佈圖，其中散佈圖由 $\alpha$，$\beta$ 和 $\gamma$ 的分佈決定。當每個測量系列的樣品在尺寸上沒有差異，或者當這些系列來自在不規則強度上沒有顯著差異的批次時，散點將是一個不確定的點雲。無法得出任何結論。另一方面，當這些差異被尊重時，散點圖允許繪製 $f_{F_{1}}$ 作為範圍 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 函式的迴歸線，以及在範圍 $R_{F_{1}-F_{2}}$ 等於零的地方，應用表示式 (xv)，從而實現上述的量化方法。

參考文獻

[1] 材料強度/未分類主題

[2] 典型玻璃型別彎曲強度 - Jacob Zwart - 國際玻璃評論，平板玻璃，第 3 期，1999 年。

[3] 歐洲和國際標準系列 EN ISO 1288：建築物中的玻璃 - 玻璃彎曲強度的測定