抽象代數/群論/群/逆元唯一性

定理

在一個群中，每個元素只有一個逆元。

證明

0. 選擇 ${\color {OliveGreen}g}\in G$. 那麼，逆元 g1−1 of g 也在 G 中。
1. 假設 g 有一個不同的逆元 g2−1 在 G 中
2. $({\color {BrickRed}g_{1}^{-1}}\ast {\color {OliveGreen}g})\ast {\color {Purple}g_{2}^{-1}}={\color {BrickRed}g_{1}^{-1}}\ast ({\color {OliveGreen}g}\ast {\color {Purple}g_{2}^{-1}})$	$\ast$ 在 G 上是結合的
3. $e_{G}\ast {\color {Purple}g_{2}^{-1}}={\color {BrickRed}g_{1}^{-1}}\ast e_{G}$	g1-1 和 g2-1 是 g 在 G 上的逆元 (用法 3)
4. ${\color {Purple}g_{2}^{-1}}={\color {BrickRed}g_{1}^{-1}}$, 與 1 矛盾。	eG 是 G 的單位元 (用法 3)