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許多現實世界的問題可以用不同的方程式來表示。通常，對於給定的問題，我們將有多個方程式。

代入法

代入法使用字母（例如 x、y 或 z）作為未知值的表示。這些字母在方程式和表示式中都被用作工具，用於解決許多不同型別的問題。在某些情況下，字母的值是已知的。如果是這樣，透過使用代入法，給定的數值將替換字母。然後，在字母被數字替換後，表示式或方程式將被簡化。

入門示例

人與腳

在一個房間裡，我們知道腳的數量是人的兩倍，可以用方程式 $f=2p$ 來表示，其中 $f$ 表示腳的數量， $p$ 表示人的數量。已知有 20 個人，那麼我們可以建立另一個方程式 $p=20$ 。列出我們擁有的兩個方程式

$f$	$=2p$
$p$	$=20$
用 $p$ 代入，我們得到方程式
$f$	$=2\times 20$
	$=40$

所以我們知道有 40 只腳。

房屋與面積

然而，其他情況可能會變得更加複雜。假設你鄰居的房子是你房子的 1.5 倍大，但如果你不計算你鄰居的 50 平方單位的地下室，它們的大小是一樣的。這兩個房子分別有多少平方單位？讓 $y$ 是你整個樓層的面積，而 $n$ 是你鄰居的樓層的面積。這個問題可以用兩個方程式表示。

$n$	$=1.5y$
$y$	$=n-50$

這裡，您有兩個方程，與之前一樣，但這次它們都有兩個變數，而在上一個示例中，一個方程有一個變數，另一個有兩個變數。但是，您仍然可以使用代入法，儘管您只需要用方程的表示式代替常數即可。現在我們用第一個方程的等式右邊代替第二個方程中的 $n$

$1.5y-50$	$=y$	兩邊都減去y
$0.5y-50$	$=0$	兩邊都加上50
$0.5y$	$=50$	兩邊都乘以2
$y$	$=100$

現在我們可以將您地板的面積代入第一個方程，以獲得您鄰居地板的面積

$n$	$=1.5\times 100$
	$=150$

線性方程組

上面我們介紹了兩個現實世界的例子（儘管是簡化的），線性方程組對於解決這些例子很有用。由兩個或多個線性函式組成的方程稱為線性方程。這些線性方程的集合稱為線性方程組。簡而言之，只有當變數的數量等於或小於提供的方程數量時，才能解線性方程。求解線性方程組最常見的方法是使用代入法，如上所示。但是，我們可以使用矩陣表示這些方程，使我們更容易地看到模式並執行操作。讓我們從一組3個方程開始

$x+2y+3z$	$=12$
$2x+3y+z$	$=17$
$3x+y+2z$	$=19$

左側的矩陣表示變數的係數，稱為係數矩陣。右側包含方程的等式右邊，構成了所謂的增廣矩陣。

{\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{bmatrix}}

→

{\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\2&3&1&\vdots &17\\3&1&2&\vdots &19\end{bmatrix}}

通常情況下，解上述方程將看起來像下面左邊的表格，而矩陣解將看起來像右邊的表格。

$e_{1}$	$x+2y+3z$	$=12$
$e_{2}$	$2x+3y+1z$	$=17$
$e_{3}$	$3x+y+2z$	$=19$
$e_{2}-2e_{1}$	$-y-5z$	$=-7$
$e_{3}-3e_{1}$	$-5y-7z$	$=-17$
$e_{5}-5e_{4}$	$18z$	$=18$
$e_{6} \over 18$	$z$	$=1$
$e_{4}$	$-y-5(1)$	$=-7$
$-5-e_{4}$	$y$	$=2$
$e_{1}$	$x+2(2)+3(1)$	$=12$
$e_{2}-7$	$x$	$=5$

${\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\2&3&1&\vdots &17\\3&1&2&\vdots &19\end{bmatrix}}$	$r_{2}-2r_{1}\Rightarrow r_{1}$
${\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\0&-1&-5&\vdots &-7\\3&1&2&\vdots &19\end{bmatrix}}$	$r_{3}-3r_{1}\Rightarrow r_{3}$
${\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\0&-1&-5&\vdots &-7\\0&-5&-7&\vdots &-17\end{bmatrix}}$	$r_{3}-5r_{2}\Rightarrow r_{3}$
${\begin{bmatrix}1&2&3&\vdots &12\\0&-1&-5&\vdots &-7\\0&0&18&\vdots &18\end{bmatrix}}$	$tobecontinued$