幾何/群

幾何群論

現代幾何用群論表達。以下表達了群在幾何中的作用，由w:Felix Klein給出

任何圖形的幾何性質必須用公式表達，這些公式在改變座標系時不會改變，也就是說，當我們將圖形的所有點同時進行我們的變換之一時，反之亦然，任何在這種意義上對這些變換群不變的公式必須代表一個幾何性質。作為最簡單的例子，你們都知道，讓我提醒你們兩點或兩條線的距離或角度的表示式。

這種對幾何的代數態度被稱為埃爾朗根綱領。

正式陳述

設X為點的集合，S為X的子集的集合。例如，S中的s可以表示一條線或一個圓，或者X的其他特徵。考慮A關於X和S的一組公理。最後，設P是一個命題，表達了S的元素的特徵。

假設b是X到自身的雙射。命題Pb是從P得到的，透過將P中對S的元素的所有提及替換成它們在b下的像。現在考慮所有滿足命題P所代表的性質的雙射的集合：$G=\{b:P\equiv Pb\}.$

如果c在G中，那麼$P\equiv Pb\equiv Pc\implies P\equiv Pbc,$所以bc在G中。b的逆元也在G中，所以G是一個群。

定義：幾何 $G=(X,\ S,\ A,\ P)$是由性質P決定的變換群。

首先考慮平面X = R²，其中性質P由兩點之間的距離給出

$d((w,x),(y,z))={\sqrt {(w-y)^{2}+(x-z)^{2}}}.$距離在旋轉、平移或直線反射下不變。因此，G是由這些變換生成的群：平面的歐幾里得群。

在空間X = R³中，一對點之間的距離表示P，並生成相應的歐幾里得空間群。考慮由繞軸旋轉和平行於該軸的平移給出的螺旋位移。根據運動學定理（歸因於莫齊和查爾斯），歐幾里得空間群中的任何運動都可以表示為螺旋位移。

仿射幾何

回到平面X = R²，設P為平行線的性質。因此，當兩條平行線被b帶到另一對平行線時，b就在G中。那麼G就是仿射群，它包含歐幾里得群，但也包括將正方形變換成與正方形面積相同的矩形的擠壓對映。這個群在平坦空間宇宙學中找到了應用，其中光線透過時空跟蹤直線。事實上，仿射群中的擠壓對映對應於從由一個速度決定的參考系躍遷到另一個速度決定的參考系。

從幾何的轉換，從點、線和其他幾何空間特徵的配置性質到群論，是由費利克斯·克萊因完成的。亞瑟·凱萊的“關於距離理論” (1859)使他走上了這條轉換之路，該論文透過使用交叉比的對數，從實射影平面獲得了被稱為橢圓平面的度量空間。克萊因繼續發展這個想法，展示了雙曲平面的模型，並且他將非歐幾里得幾何確立為數學的一個有充分根據的分支。他透過群論闡明瞭一種幾何哲學，其中當性質P意味著Q時，G_P包含在G_Q中，就像歐幾里得和仿射幾何的情況一樣。

單位圓盤的內部$D=\{z:|z|<1\}$在一個模型中代表雙曲平面。任何在邊界上與D正交相交的圓都代表這個雙曲平面中的一條線。顯然，對於D中但不在給定直線上的點，有很多經過該點但不與D中的給定直線相交的直線。這個模型，以及它用保持D穩定的梅比烏斯變換來表達運動，證明了之前由鮑耶和羅巴切夫斯基描述的理論雙曲平面的自洽性。因此，幾何學擴充套件到了歐幾里得之外，進入了非歐幾里得，經典領域變成了群論的一個分支。

在 1872 年的德國埃爾朗根，費利克斯·克萊因首次闡明瞭他的群哲學幾何學。從那時起，隨後的運動就被稱為w:埃爾朗根綱領。

共形幾何

共形變換是保持角度的變換：兩條相交直線之間的角度在變換之前和之後是相同的。然後，逆變換也保持角度。共形變換的集合，透過將一個變換接一個地組合起來，在組合下形成一個群，其中恆等對映作為群恆等元。

平面的平移顯然是共形的，因此注意力集中在保持一個點不變的變換上。這個點被作為座標平面$\{(x,\ y):x,y\in \mathbb {R} \}.$的原點 (0,0)。

共形幾何 (X, S, A, P) 對應於 X 作為座標平面，S 作為平面中直線之間的角度集合，以及 P 作為變換前後角度測量的相等要求。角度公理 A 可以指圓角、雙曲角或斜率。在斜率的情況下，共形幾何由剪下對映群給出。在雙曲角的情況下，共形幾何由擠壓對映群給出。自然地，當公理指定圓角時，旋轉群就是共形群。

理想情況下，所有公理 A 都可以收集在一起。事實上，當角度透過面積定義時，性質 P 可以指定為保持面積。各種角度的各種公理指的是與統一角度理論中角度相關的扇形的邊界弧。

線性代數為群論中的這個主題提供了自然的背景。變換用矩陣表示。每個矩陣都有一個稱為行列式的數字，當這個數字為 1 或 -1 時，該矩陣表示一個保持面積的變換。