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高中數學擴充套件/數學證明/習題集/解答

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高中數學擴充套件

補充章節 — 素數與模運算 — 邏輯

數學證明 — 集合論與無限過程 — 計數與生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進階模運算 — 數學規劃 — 馬爾科夫鏈

數學證明習題集

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1.

對於所有

{\begin{matrix}a&>&0\\n+a&>&n\\n&>&n-a\\{\sqrt {n}}&>&{\sqrt {n-a}}\\1&>&{\frac {\sqrt {n-a}}{\sqrt {n}}}\\{\frac {1}{\sqrt {n-a}}}&>&{\frac {1}{\sqrt {n}}}\end{matrix}}

因此

{\frac {1}{\sqrt {1}}}

,

{\frac {1}{\sqrt {2}}}

,

{\frac {1}{\sqrt {3}}}

...

>{\frac {1}{\sqrt {n}}}

當 a>b 且 c>d 時，a+c>b+d（另見找到更好的內容後替換它）。

因此我們有

{\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>n\times {\frac {1}{\sqrt {n}}}

{\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>{\frac {n}{\sqrt {n}}}\times {\frac {\sqrt {n}}{\sqrt {n}}}

{\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>{\frac {n{\sqrt {n}}}{n}}

{\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>{\sqrt {n}}

3.

讓我們把命題叫做

{n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n}=2^{n}

為 P(n)

假設對於某個 n 來說這是真的，那麼

2\times \left\{{n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose 2}\right\}=2^{n+1}

\left\{{n \choose 0}+{n \choose n}\right\}+\left\{{n \choose 0}+2{n \choose 1}+2{n \choose 2}+...+2{n \choose n-1}+{n \choose n}\right\}=2^{n+1}

\left\{{n \choose 0}+{n \choose n}\right\}+\left\{{n \choose 0}+{n \choose 1}\right\}+\left\{{n \choose 1}+{n \choose 2}\right\}+\left\{{n \choose 2}+{n \choose 3}\right\}+...+\left\{{n \choose n-1}+{n \choose n}\right\}=2^{n+1}

現在使用該函式的恆等式：

{n \choose a}+{n \choose a+1}={n+1 \choose a+1}

（注意：如果在華夏公益教科書中發現過這個，請在此處新增連結！），我們有

\left\{{n \choose 0}+{n \choose n}\right\}+{n+1 \choose 1}+{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}+...+{n+1 \choose n}=2^{n+1}

由於

{n \choose 0}={n \choose n}=1

對所有 n 成立，

{n+1 \choose 0}+{n+1 \choose n+1}+{n+1 \choose 1}+{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}+...+{n+1 \choose n}=2^{n+1}

{n+1 \choose 0}+{n+1 \choose 1}+{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}+...+{n+1 \choose n}+{n+1 \choose n+1}=2^{n+1}

因此，P(n) 意味著 P(n+1)，並且透過簡單的代入，P(0) 為真。

因此，根據數學歸納法原理，P(n) 對所有 n 都成立。

另一種解法
注意：

(a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\cdots +{n \choose n}b^{n}

令a = b = 1，我們得到

(1+1)^{n}=2^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n}

如所要求的。

5.

令

P(x)=x^{n}+y^{n}\,

是一個以 x 為變數，y 和 n 為常數的多項式。

{\begin{matrix}P(-y)&=&(-y)^{n}+y^{n}\\\ &=&-y^{n}+y^{n}({\mbox{When n is an odd integer}})\\\ &=&0\end{matrix}}

因此，根據因式定理（請在此處新增連結），(x-(-y))=(x+y) 是 P(x) 的一個因式。

由於另一個因式也是一個多項式，它對所有整數 x，y 和 n 都有整數值（我暫時跳過了確保所有係數都是整數值的步驟），因此現在很明顯，

{\frac {x^{n}+y^{n}}{x+y}}

當 n 為奇數時，對所有整數 x，y 和 n 都是一個整數。

取自 "https://wikibook.tw/wiki/High_School_Mathematics_Extensions/Mathematical_Proofs/Problem_Set/Solutions"

書籍：高中數學擴充套件

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