高中數學擴充套件/補充/複數/解答

高中數學擴充套件

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補充章節 — 素數和模算術 — 邏輯

數學證明 — 集合論和無限過程 — 計數與生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進一步的模算術 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

虛數單位

1. 計算 $i^{25}=i$
2. 計算 $i^{100}=1$
3. 計算 $i^{1000}=1$

的模式 $i^{1},i^{2},i^{3},...$ 表明 $i^{4n}=1$ 其中 n 是任何整數。這種情況適用於問題 2 和 3。對於問題 1，$i^{25}=i^{24}\times i^{1}=i$.

複數作為二次方程的解

1. 說服自己 x = 3 - 2i 也是該方程的解。

${\begin{matrix}x&=&3-2i&\\x^{2}&=&(3)^{2}+2(3)(-2i)+(-2i)^{2}\\&=&5-12i\\x^{2}-6x+13&=&5-12i-6(3-2i)+13\\&=&0\\\end{matrix}}$

1. 在 XY 平面中繪製點 A(3, 2) 和 B(3, -2)。繪製一條線，將每個點與原點連線起來。
2. 計算 AO 的長度（點 A 到原點的距離）和 BO 的長度。分別用 $r_{1}\ {\mbox{and}}\ r_{2}$ 表示。你觀察到了什麼？
   • $r_{1}={\sqrt {3^{2}+2^{2}}}={\sqrt {13}}$
   • $r_{2}={\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}}}={\sqrt {13}}$
   • $r_{1}\ {\mbox{and}}\ r_{2}$ 相同
3. 計算每條線與 x 軸之間的角度，分別用 $\phi _{1}\ {\mbox{and}}\ \phi _{2}$ 表示。你觀察到了什麼？
   • $\phi _{1}=\tan ^{-1}(3/2)\approx 56$
   • $\phi _{2}=\tan ^{-1}(3/-2)\approx -56$
   • $\phi _{1}\ {\mbox{and}}\ \phi _{2}$ 僅在數字的符號上有所不同
4. 考慮複數

${\begin{matrix}z&=&r_{1}\cdot (\cos {\phi _{1}}+i\sin {\phi _{1}})\\w&=&r_{2}\cdot (\cos {\phi _{2}}+i\sin {\phi _{2}})\\\end{matrix}}$

使用你在練習 3 和 4 中計算出的值，將 z 和 w 代入上面的二次方程。你觀察到了什麼？你能得出什麼結論？

${\begin{matrix}z&=&{\sqrt {13}}\cdot (\cos {\tan ^{-1}(3/2)}+i\sin {\tan ^{-1}(3/2)})&=&2+3i\\w&=&{\sqrt {13}}\cdot (\cos {\tan ^{-1}(3/-2)}+i\sin {\tan ^{-1}(3/-2)})&=&2-3i\\\end{matrix}}$

因此，由於 z 和 w 等於我們在解方程時找到的解，所以二次方程將等於 0。

加法和乘法

${\begin{matrix}x&=&3-2i\\y&=&3+2i\end{matrix}}$

計算

1. x + y
   • (3 - 2i) + (3 + 2i) = 6
2. x - y
   • 3 - 2i - (3 + 2i) = -4i
3. x²
   • (3 - 2i)(3 - 2i) = 9 + (2)(3)(-2i) + 4i² = 5 - 12 i
4. y²
   • (3 + 2i)(3 + 2i) = 9 + (2)(3)(2i) + 4i² = 5 + 12 i
5. xy
   • (3 - 2i)(3 + 2i) = 9 + 6 i - 6i - 4i² = 13
6. (x + y)(x - y)
   • ((3 - 2i) + (3 + 2i))((3 - 2i) - (3 + 2i)) = (6)(-4i) = -24i

除法 證明 zw 的乘積始終是實數。 $zw=(a+bi)(a-bi)=a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}=a^{2}-b$

共軛複數 證明乘法法則同樣成立。

${\begin{matrix}z&=&a+bi\\w&=&c-di\\\\x&=&z\times w\\&=&(a+bi)(c-di)&=&ac+bci-adi-bdi^{2}&=&ac-bd+(bc-ad)i\\{\bar {x}}&=&ac-bd-(bc-ad)i\\\\{\bar {z}}\times {\bar {w}}&=&(a-bi)(c+di)\\&=&ac-bic+adi-bdi^{2}\\&=&ac-bd-(bc+ad)i\\&=&{\bar {x}}\end{matrix}}$

複數根

1. 求 (3 + 3i)^1/2

${\begin{matrix}z&=&3+3i\\w&=&{\sqrt {z}}\\w^{2}&=&z\\w&=&a+ib\\w^{2}&=&a^{2}-b^{2}+2abi\\\\3&=&a^{2}-b^{2}&{\mbox{(1)}}&\\3&=&2ab&{\mbox{(2)}}&\\\\a&=&{\frac {3}{2b}}\\\\3&=&({\frac {3}{2b}})^{2}-b^{2}\\&=&{\frac {9}{4b^{2}}}-b^{2}\\0&=&{\frac {9}{4b^{2}}}-3-b^{2}\\&=&{\frac {9}{4}}-3b^{2}-b^{4}\\\\c&=&b^{2}\\0&=&{\frac {9}{4}}-3c-c^{2}\\c&=&{\frac {--3\pm {\sqrt {(-3)^{2}-4\times {\frac {9}{4}}\times -1}}}{2\times -1}}\\&=&{\frac {-3\pm {\sqrt {18}}}{2}}\\b^{2}&=&{\frac {-3\pm {\sqrt {18}}}{2}}\\b&=&{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {18}}}{2}}}\\&=&{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {18}}}{2}}}\\&=&{\sqrt {\frac {-3+3{\sqrt {2}}}{2}}}\\&=&{\sqrt {\frac {3({\sqrt {2}}-1)}{2}}}\\&=&{\sqrt {\frac {3}{2}}}{\sqrt {({\sqrt {2}}-1)}}\\&=&{\frac {\sqrt {6}}{2}}{\sqrt {({\sqrt {2}}-1)}}\\&=&{\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}-1)}}{2}}\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}3&=&2ab\\a&=&{\frac {3}{2b}}\\&=&{\frac {3}{2{\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}-1)}}{2}}}}\\&=&{\frac {3}{\sqrt {6}}}\times {\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}\\&=&{\frac {\sqrt {6}}{2}}\times {\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}\\&=&{\frac {\sqrt {6}}{2}}\times {\frac {\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}{{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\times {\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}}\\&=&{\frac {\sqrt {6}}{2}}\times {\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}\\&=&{\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}+1)}}{2}}\end{matrix}}$

因此，(3 + 3i)^1/2 的解是

${\sqrt {3+3i}}=\pm ({\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}+1)}}{2}}+{\frac {\sqrt {6({\sqrt {2}}-1)}}{2}}\times i)$

2. 求解 (1 + 1i)^1/2

${\begin{matrix}z&=&1+1i\\w&=&{\sqrt {z}}\\w^{2}&=&z\\w&=&a+ib\\w^{2}&=&a^{2}-b^{2}+2abi\\\\1&=&a^{2}-b^{2}&{\mbox{(1)}}&\\1&=&2ab&{\mbox{(2)}}&\\\\a&=&{\frac {1}{2b}}\\\\1&=&({\frac {1}{2b}})^{2}-b^{2}\\&=&{\frac {1}{4b^{2}}}-b^{2}\\0&=&{\frac {1}{4b^{2}}}-1-b^{2}\\&=&{\frac {1}{4}}-b^{2}-b^{4}\\\\c&=&b^{2}\\0&=&{\frac {1}{4}}-1c-c^{2}\\c&=&{\frac {--1\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\times {\frac {1}{4}}\times -1}}}{2\times -1}}\\&=&{\frac {-1\pm {\sqrt {2}}}{2}}\\b^{2}&=&{\frac {-1\pm {\sqrt {2}}}{2}}\\b&=&{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {2}}}{2}}}\\&=&{\frac {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\sqrt {2}}}\\&=&{\frac {{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\times {\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}}\\&=&{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}{2}}\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}1&=&2ab\\a&=&{\frac {1}{2b}}\\&=&{\frac {1}{2{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}{2}}}}\\&=&{\frac {1}{\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}}\\&=&{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}+1)}}{{\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}\times {\sqrt {2({\sqrt {2}}+1)}}}}\\&=&{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}+1)}}{1}}\\\end{matrix}}$

因此 (1 + 1i)^1/2 的解是

${\sqrt {1+1i}}=\pm ({\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}+1)}}{2}}+{\frac {\sqrt {2({\sqrt {2}}-1)}}{2}}\times i)$

3. 求 i^1/3

${\begin{matrix}z&=&i\\w&=&z^{1/3}w^{3}&=&z\\\\w&=&(a+ib)\\w^{3}&=&(a^{2}-b^{2}+2abi)\times (a+ib)\\z&=&(a^{3}-3ab^{2})+i(3a^{2}b-b^{3})\\\\0&=&a^{3}-3ab^{2}\qquad (1)\\1&=&3a^{2}b-b^{3}\qquad (2)\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}0&=&a^{3}-3ab^{2}\\a^{3}&=&3ab^{2}\\a^{2}&=&3b^{2}\\\\1&=&3a^{2}b-b^{3}\\1&=&3(3b^{2})b-b^{3}\\1&=&9b^{3}-b^{3}\\1&=&8b^{3}\\{\frac {1}{8}}&=&b^{3}\\b&=&{\sqrt[{3}]{\frac {1}{8}}}\\&=&{\frac {1}{2}}\\\\a^{2}&=&3b^{2}\\&=&3({\frac {1}{2}})^{2}\\&=&{\frac {3}{4}}\\a&=&{\sqrt {\frac {3}{4}}}\\&=&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\end{matrix}}$

因此，i^1/3 的解為

${\sqrt[{3}]{i}}=\pm ({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\times i)$

進位制

1. 以下數字以 2 進製表示。請將它們寫成 10 進位制。
   1. 101011 (2 進位制) = 43 (10 進位制) = 2⁵ + 2³ + 2¹ + 2⁰= 32+8+2+1
   2. 001101 = 13
   3. 10 = 2
   4. 011 = 3
2. 假設這些數字最初是以 5 進製表示，請將它們寫成 10 進位制。
   1. 101011 (5 進位制) = 3256 (10 進位制) = 5⁵ + 5³ + 5¹ + 5⁰ = 3125+125+5+1
   2. 001101 = 151
   3. 10 = 5
   4. 011 = 6
3. 使用 5 進位制的前四列，我可以用多少種數字？
   

答案：625 = 5⁴ (每增加一列，可能的數字數量就會乘以 5)

1. 在計算中，每個 1 或 0 被稱為一個“位”。它們以 8 位一組的形式儲存，每組稱為一個“位元組”。有多少種可能的位元組？
   

答案：256 = 2⁸ (從 00000000 到 11111111 的二進位制值，或從 0 到 255 的十進位制值)

1. 問題：直接編輯位元組時，寫 10110001 太長了，所以用十六進位制表示（在本例中為 B1）。需要多少位十六進位制才能覆蓋所有可能的位元組？
   

答案：2 位（16² = 2 位十六進位制數的可能數量 = 256 = 位元組的可能數量）