高中數學擴充套件/補充/複數

高中數學擴充套件

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補充章節 — 質數和模運算 — 邏輯

數學證明 — 集合論和無限過程 — 計數和生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進一步模運算 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

簡介

補充章節
內容
基本計數
多項式除法
部分分式
求和符號
複數
微分
問題和專案
習題集
解答
練習解答
習題集解答

雖然實數在某種程度上可以表示任何自然量，但在另一種意義上它們是不完整的。我們可以用實數係數寫出某些型別的方程，我們希望解出這些方程，但它們沒有實數解。最簡單的例子是方程

${\begin{matrix}x^{2}+1&=&0\\x^{2}&=&-1\\x&=&{\sqrt {-1}}\end{matrix}}$

你的高中數學老師可能告訴過你，上面的方程沒有解。他/她可能甚至強調說沒有 *實數* 解。但事實上，我們可以擴充套件我們的數字系統來包含 *複數*，方法是宣佈該方程的解存在，並給它一個名字：*虛數單位*，$i$.

讓我們在本節中 *想象* $i={\sqrt {-1}}$ 存在。因此 *x* = *i* 是上述問題的解，並且 $i^{2}=-1$.

人們可能會問一個合理的問題：“為什麼？” 為什麼我們能夠用這種看似人工的結構來解這些二次方程很重要？有趣的是，深入研究一下引入虛數的原因——事實證明，數學家意識到這種結構是有用的，並且可以提供更深入的洞察，這是有充分理由的。

答案不在於解二次方程，而在於解三次方程和直線的交點。數學家卡爾達諾想出了一種巧妙的解三次方程的方法——就像二次方程公式一樣，也存在一個公式可以給出三次方程的根，儘管它要複雜得多。本質上，我們可以用以下形式表示三次方程 $x^{3}=3px+2q$ 的解

$x={\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}-p^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}-p^{3}}}}}$

確實是一個難看的表示式！

你應該能夠說服自己，直線 $y=3px+2q$ 必須始終與三次曲線 $y=x^{3}$ 相交。但是，嘗試解決一些 $q^{2}<p^{3}$ 的方程，你就會遇到一個問題——問題是，我們被迫處理負數的平方根。但是，我們知道事實上存在 x 的解；例如，$x^{3}=15x+4$ 的解是 x = 4。

數學家博美利意識到，拼圖中缺失了一部分——一些東西解釋了為什麼這種看似荒謬的負數開平方根運算會以 4 這樣簡單的答案來簡化。這實際上是考慮虛數的動機，它開闢了數學領域的一個迷人領域。

複數 的主題與這個數字 *i* 息息相關。由於這個數字在現實世界中不存在，只存在於我們的想象中，我們稱它為 *虛數單位*。（注意，$i$ 通常不會作為變數名，原因就是如此。）

虛數單位

如上所述

${\begin{matrix}i^{2}&=&-1\end{matrix}}$.

讓我們計算一下 i 的更多次方。

${\begin{matrix}i^{1}&=&i\\i^{2}&=&-1\\i^{3}&=&-i\\i^{4}&=&1\\i^{5}&=&i\\i^{6}&=&-1\\&{\mbox{...}}&\end{matrix}}$

正如你所見，這裡存在一個模式。

練習

1. 計算 $i^{25}$
2. 計算 $i^{100}$
3. 計算 $i^{1000}$

練習解答

複數作為二次方程的解

考慮二次方程

${\begin{matrix}x^{2}-6x+13&=&0\\x&=&{\frac {6\pm {\sqrt {36-4\times 13}}}{2}}\\x&=&{\frac {6\pm {\sqrt {-16}}}{2}}\\x&=&{\frac {6\pm {\sqrt {-1}}{\sqrt {16}}}{2}}\\x&=&{\frac {6\pm 4i}{2}}\\x&=&3+2i\ ,\ 3-2i\\\end{matrix}}$

我們得到的 x 解稱為複數。（說起來有點挑剔，這個方程的解集實際上包含兩個複數；任何一個都是 x 的有效值）。它由 *兩個* 部分組成：一個 *實數* 部分 3 和一個 *虛數* 部分 $\pm 2$。讓我們將實數部分稱為 *a*，將虛數部分稱為 *b*；那麼和 $a+bi=3\pm 2i$ 是一個複數。

請注意，僅僅定義負一的平方根，我們就能夠為一個更復雜、以前無法求解的二次方程賦值。事實證明，*任何* 度數為 $n$ 的多項式方程，如果我們允許複數，則恰好有 $n$ 個零點；這稱為 *代數基本定理*。

我們用 *Re* 表示 *實數* 部分。例如

$\mathrm {Re} (x)=3$

以及用 *Im* 表示 *虛數* 部分。例如

$\mathrm {Im} (x)=\pm 2$

讓我們檢查一下 $x=3+2i$ 是否確實是該方程的解。

${\begin{matrix}x&=&3+2i&\\x^{2}&=&(3)^{2}+2(3)(2i)+(2i)^{2}\\&=&5+12i\\x^{2}-6x+13&=&5+12i-6(3+2i)+13\\&=&0\\\end{matrix}}$

練習

1. 試著證明x = 3 - 2i也是這個方程的解。
2. 在 XY 平面上繪製點 A(3, 2) 和 B(3, -2)。分別繪製一條連線每個點與原點的直線。
3. 計算 AO（點 A 到原點的距離）和 BO 的長度。分別用 r₁ 和 r₂ 表示它們。你觀察到了什麼？
4. 計算每條直線與 x 軸之間的角度，並用 $\phi _{1}$ 和 $\phi _{2}$ 表示它們。你觀察到了什麼？
5. 考慮複數

${\begin{matrix}z&=&r_{1}\cdot (\cos {\phi _{1}}+i\sin {\phi _{1}})\\w&=&r_{2}\cdot (\cos {\phi _{2}}+i\sin {\phi _{2}})\\\end{matrix}}$

使用你在練習 3 和 4 中計算的值，將z 和w 代入上面的二次方程。你觀察到了什麼？你能從中學到什麼結論？

1. 求解方程 $x^{2}-2x+2=0$ 的複數解。執行與上面相同的步驟。你能得出什麼結論？

複數的運算

加法和乘法

將兩個複數相加和相乘的過程非常簡單。讓我們通過幾個例子來進行說明。令x = 3 - 2i 和y = 7 + 11i，首先進行加法

$x+y\!$	$=\!$	$(3+7)+(-2+11)i\!$
	$=\!$	$10+9i\!$

現在進行乘法

$x\cdot y\!$	$=\!$	$(3-2i)\cdot (7+11i)\!$
	$=\!$	$3\cdot 7+3\cdot 11i-2i\cdot 7-2\cdot 11\cdot i^{2}\!$
	$=\!$	$43+19i\!$

我們來總結一下結果。

• 當新增複數時，我們將實部加到實部，將虛部加到虛部。
• 當將兩個複數相乘時，我們使用正常的展開。每當我們看到i²時，我們將其替換為 -1。然後我們收集類似項。

但是我們如何計算

${\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}$

請注意，平方根只在 5 上方，而不是在i 上方。這有點棘手，我們將在下一節中介紹它。

練習

${\begin{matrix}x&=&3-2i\\y&=&3+2i\end{matrix}}$

計算

1. x + y
2. x - y
3. x²
4. y²
5. xy
6. (x + y)(x - y)

除法

計算的一種方法

${\frac {1}{2{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}$

是對分母進行有理化

${\frac {1}{2{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}={\frac {2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{(2{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})(2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}}={\frac {2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{10}}$

利用類似的想法，要計算

${\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}$

我們對分母進行實化。

$z\ =\ {\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}$

$z\ =\ {\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}\times {\frac {7+{\sqrt {5}}i}{7+{\sqrt {5}}i}}$

分母是兩個平方的和。我們得到

$z\ =\ {\frac {(3+2i)\times (7+{\sqrt {5}}i)}{49+5}}$

$z\ =\ {\frac {21-2{\sqrt {5}}}{54}}+{\frac {14+3{\sqrt {5}}}{54}}i$

如果我們總是能找到一個複數，其與分母的乘積是一個實數，那麼進行除法就很容易。

如果

$z\ =\ a+ib$

以及

$w\ =\ a-ib$

那麼zw 是一個實數。這對於任何“a”和“b”（只要它們是實數）都是正確的。

練習

說服你自己zw 的乘積始終是一個實數。

複共軛

上面的練習引出了複共軛的概念。a + ib 的複共軛是 a - ib。例如，2 + 3i 的共軛是 2 - 3i。一個簡單的結論是，複數與其共軛的乘積始終為實數。如果 z 是一個複數，那麼它的共軛用 ${\bar {z}}$ 表示。符號表示為：

z = a + ib

那麼，

${\bar {z}}=a-ib$

3 - 9i 的共軛是 3 + 9i。

100 的共軛是 100。

9i - 20 的共軛是 -20 - 9i。

共軛法則

以下是一些關於複共軛的簡單規則

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

以及

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

上面的法則簡單地說，共軛的和等於和的共軛；類似地，乘積的共軛等於共軛的乘積。

考慮以下示例

$(3+2i)+(89-100i)=92-98i$

我們可以看到

${\overline {92-98i}}=92+98i$

等於

${\overline {3+2i}}+{\overline {89-100i}}=3-2i+89+100i=92+98i$

這證實了加法共軛法則。

練習

自行驗證乘法法則是否也成立。

復根

現在你已經掌握了複數的基礎知識，就可以開始解決更高階的求根問題了。

考慮以下問題

${\begin{matrix}z&=&-3+4i\\w&=&{\sqrt {z}}\end{matrix}}$

將 w 表示成 a + ib 的形式。

這很容易。

${\begin{matrix}w&=&{\sqrt {z}}\\w^{2}&=&z\\w&=&a+ib\\w^{2}&=&a^{2}-b^{2}+2abi\\\\-3&=&a^{2}-b^{2}&{\mbox{(1)}}&\\4&=&2ab&{\mbox{(2)}}&\\\end{matrix}}$

聯立求解 (1) 和 (2) 以求出 a 和 b。

觀察到，如果在求解出a和b後，我們分別用-a和-b替換它們，那麼它們仍然會滿足上面的兩個聯立方程，我們可以看到（正如預期的那樣），如果w = a + ib滿足方程w² = z，那麼w = -(a + ib)也會滿足。對於實數，我們總是取非負的答案，並將解稱為${\sqrt {x}}$。但是，由於複數沒有“大於”或“小於”的概念，因此沒有${\sqrt {z}}$這樣的選擇。事實上，哪個平方根應該作為${\sqrt {z}}$的“值”取決於具體情況，這個選擇對於某些計算非常重要。

資訊-- 求平方根

求解實數的根是一個非常困難的問題。大多數人如果沒有計算器的幫助，是無法找到${\sqrt {2}}$的近似值的。現代的近似根的方法涉及一個容易理解且巧妙的數學技巧，稱為泰勒級數展開。這個主題通常在大學一年級數學課程中講解，因為它需要對一個稱為微積分的重要數學分支有基本的理解。

牛頓-拉夫森求根法也廣泛用於此目的。

現在考慮以下問題

${\begin{matrix}z&=&-2+2i\\w&=&z^{1/3}\end{matrix}}$

將w表示為“a + ib”的形式。

使用上面介紹的方法，我們進行以下步驟：

${\begin{matrix}w&=&z^{1/3}\\w^{3}&=&z\\\\w&=&(a+ib)\\w^{3}&=&(a^{2}-b^{2}+2abi)\times (a+ib)\\z&=&(a^{3}-3ab^{2})+i(3a^{2}b-b^{3})\\\\-2&=&a^{3}-3ab^{2}\qquad (1)\\2&=&3a^{2}b-b^{3}\qquad (2)\\\end{matrix}}$

事實證明，聯立方程 (1) 和 (2) 很難求解。實際上，有一種簡單的方法可以計算複數的根，稱為棣莫弗定理，它允許我們輕鬆地計算任何複數的n次根。但是為了建立這種方法，我們需要了解複數的幾何意義，並學習一種新的表示複數的方法。

練習

1. 求解 (3 + 3i)^1/2
2. 求解 (1 + 1i)^1/2
3. 求解 i^1/3

複數平面

複數作為有序對

值得注意的是，每個複數a + bi都可以用兩個實數來完全確定：實部 a和虛部 b。這對於所有複數都成立；例如，數字 5 的實部為 5，虛部為 0，而數字 7i 的實部為 0，虛部為 7。我們可以利用這一點來採用一種編寫複數的替代方案：我們可以將它們寫成有序對的形式(a, b)，而不是a+bi。

${\begin{matrix}{\mbox{Instead of}}&{\mbox{We could write}}\\5+4i&(5,4)\\3i&(0,3)\\{\frac {4+5i}{3}}&({\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}})\\42&(42,0)\\{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}i&({\sqrt {2}},{\sqrt {2}})\\\end{matrix}}$

這些看起來應該很熟悉：它們與我們用來表示平面上點的有序對完全一樣。事實上，我們可以用這種方式使用它們；由此產生的平面稱為複數平面。我們將它的 x 軸稱為實軸，將它的 y 軸稱為虛軸。

複數平面

從上面我們可以看出，一個複數是複平面上的一個點。我們也可以表示複數的集合；這些集合將在平面上形成區域。例如，集合

$\{a+bi|-1\leq a\leq 1,-1\leq b\leq 1\}$

是一個邊長為 2，中心位於原點的正方形（見下圖）。

復值函式

就像我們可以建立接受實數值並輸出實數值的函式一樣，我們也可以建立從複數到實數的函式，或從複數到複數的函式。這些後者的函式通常被稱為復值函式，因為它們的值（輸出）是複數；隱含的是它們的變數（輸入）也是複數。

由於復值函式將複數對映到其他複數，而我們已經知道複數對應於複平面上的點，所以我們可以看到一個復值函式可以將複平面上的區域轉換為其他區域。一個簡單的例子：函式

$f(z)=z+(0+1i)$

將複平面上的一個點向上移動 1 個單位。如果我們將其應用於構成上述正方形的點集，它將把整個正方形向上移動一個單位，使其“落在”x 軸上。

{為了建立更復雜的例子，我需要先回顧一下複數的極座標表示。這將帶來更多有趣的函式，:-) 您可以使用下面的圖表或修改它們來建立新的圖表。我將在 Wikibooks:math 中的其他地方新增指向這些圖表的連結。第二個圖表顯示了點，其中 r=4，theta=50 度。這些型別的圖表可用於介紹相量，相量是電氣工程中使用的複數表示法。}

棣莫弗定理

$(e^{i\theta })^{n}=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

例如，假設我們有 $z=1+i$。現在我們可以將其寫成極座標形式：

$z=|z|e^{i\arg z}={\sqrt {2}}e^{{\frac {\pi }{4}}i}={\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\right)$

使用棣莫弗定理，我們可以得出：

$z^{2}=2\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)=2i$

$z^{3}=2{\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {3\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right)={\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}i-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)=2i-2$

$z^{4}=4\cdot -1=-4$

等等。

複數單位根

複數域上的單位根是指方程 $x^{n}=1$ 的所有解。很明顯，所有解的模長都為1。這些解在乘法運算下構成一個迴圈群。對於給定的 $n$，恰好存在 $n$ 個單位根，它們在複平面內構成一個以單位圓為外接圓的正 n 邊形。

我們可以利用尤拉公式給出單位根的閉合形式解

$u^{n}=\cos(2\pi \cdot j/n)+i\sin(2\pi \cdot j/n)\quad 0\leq j<n$

所有 $n$ 次單位根的和為0，除非 $n=1$，此時其和為1。

所有 $n$ 次單位根的積在 -1 和 1 之間交替。

習題

化簡 $(1-i)^{2i}$