高中數學擴充套件/補充/多項式除法

高中數學擴充套件

簡介

首先，我們需要了解一個更基礎的概念：因式分解。

我們可以對數字進行因式分解，

5\times 7=35

或者甚至包含變數（多項式）的表示式，

(x-3)(x+7)=x^{2}+4x-21

因式分解是將表示式分解為更簡單表示式乘積的過程。在處理多項式時，我們將經常使用這種技巧。

在某些情況下，多項式除法可能很容易，例如

{\frac {x^{3}+6x-12}{2x}}

分配，

{\frac {x^{3}}{2x}}+{\frac {6x}{2x}}-{\frac {12}{2x}}

最後，

{\frac {1}{2}}x^{2}+3-{\frac {6}{x}}

另一個利用因式的更復雜的例子

{\frac {2x^{3}+3x^{2}+6x+9}{2x+3}}

重新排序，

{\frac {2x^{3}+6x+3x^{2}+9}{2x+3}}

因式分解，

{\frac {2x(x^{2}+3)+3(x^{2}+3)}{2x+3}}

再來一次，

{\frac {(2x+3)(x^{2}+3)}{2x+3}}

得到，

x^{2}+3

1. Try dividing  $35x^{2}+29x+6$  by  $2.5x+1$  .

2. Now, can you factor  $P(x)=3x^{3}-9x+6$  ?

那麼不可被整除的多項式呢？比如這些

(3x^{2}+3x-4)/(x-4)

有時，我們將不得不處理複雜的除法，涉及大型或不可被整除的多項式。在這種情況下，我們可以使用長除法來獲得商和餘數

P(x)=Q(x)\times C(x)+R

在這種情況下

(3x^{2}+3x-4)=Q(x)\times (x-4)+R

長除法
1	我們首先考慮被除數和除數中最高次項，其結果是商的第一項。	$(3x^{2})/(x)=3x$	${\begin{array}{r\|ccc}x-4&3x^{2}&3x&-4\\\hline \hline &3x^{2}&3x&\\3x(x-4)&3x^{2}&-12x&\\\hline &&15x&-4\\15(x-4)&&15x&-60\\\hline &&&56\\\end{array}}$
2	然後，我們將此與除數相乘。	$(3x)\times (x-4)=3x^{2}-12x$
3	然後從被除數中減去結果。	$(3x^{2}+3x-4)-(3x^{2}-12x)=15x-4$
4	現在，我們再次使用剩餘多項式的最高次項，得到商的第二項。	$(15x)/(x)=15$
5	相乘...	$(15)\times (x-4)=15x-60$
6	減去...	$(15x-4)-(15x-60)=56$
7	我們剩下一個常數項 - 我們的餘數	${\begin{array}{lcr}Q(x)=3x+15&&R=56\end{array}}$

所以最後

(3x^{2}+3x-4)=(3x+15)\times (x-4)+56

3. Find some  $G(x)$  such that  $(6x^{2}-13x+7)-G(x)$  is divisible by  $(3x+1)$  .