高中數學擴充套件/補充/求和符號

高中數學擴充套件

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補充章節 — 素數和模算術 — 邏輯

數學證明 — 集合論和無限過程 — 計數和生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進一步的模算術 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

求和符號

補充章節
內容
基本計數
多項式除法
部分分數
求和符號
複數
微分
問題和專案
習題集
解答
習題解答
習題集解答

我們通常使用 "+" 符號來表示一個和，但是如果和表示式很複雜很長，就會讓人困惑。

例如：${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{100\times 101}}$

寫出以上表達式將是一項繁瑣且混亂的任務！

為了更簡潔、優雅地表示這類表示式，人們使用求和符號，即希臘字母“Σ”。在求和符號的右側，人們寫出要相加的每個項的表示式，並在求和符號的上方和下方分別寫出變數的上限和下限。

例1：$\sum _{k=3}^{10}2k+1$
$=\ (2(3)+1)\ +\ (2(4)+1)\ +\ (2(5)+1)\ +......+\ (2(10)+1)$ $=\ 7\ +\ 9\ +\ 11\ +......+\ 21$

誤解：從上面可以看出，一個常見的誤解是求和符號頂部的數字是項數。這是錯誤的。頂部的數字是代回最後一項的數字。

這裡需要說明求和下限可以取哪些值。

例2：${\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{25}}......-{\frac {1}{9801}}+{\frac {1}{10000}}$
$={\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}......-{\frac {1}{99^{2}}}+{\frac {1}{100^{2}}}$
$=\sum _{k=2}^{100}(-1)^{k}{\frac {1}{k^{2}}}$

提示：如果項在加號和減號之間交替出現，我們可以使用序列$(-1)^{k}=-1,\ 1,\ -1,\ 1...$

練習

1. 使用求和符號表示第一個例子中的表示式。

將以下表達式轉換為求和符號

1. $23\ +\ 24\ +\ 25\ +\ 26\ +......+\ 1927$
2. $13\ +\ 16\ +\ 19\ +\ 22\ +......+\ 301$
3. *$1\ -\ 2\ -\ 3\ +\ 4\ +\ 5\ -\ 6\ -\ 7\ +\ 8......+\ 400$(提示：重新排列項，或在表示式中獲取多個項)
4. *$1000\ -\ {\frac {3}{1\times (1+3+5)}}\ -\ {\frac {5}{(1+3)\times (1+3+5+7)}}\ -\ {\frac {7}{(1+3+5)\times (1+3+5+7+9)}}......$(提示：你需要使用多個求和符號)

將以下求和符號改寫成普通表示形式

1. $\pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$
2. $\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}$

(需要更多練習，尤其是“閱讀”求和符號並將其改寫回舊形式)

求和符號的運算

雖然大多數與求和相關的規則在普通系統中是有意義的，但在這種新的求和符號系統中，事情可能不像以前那樣清晰，因此人們總結了一些與求和符號相關的規則（看看你是否能識別出它們對應什麼！）

• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm c\ =\ \pm (q-p+1)c\ +\ \sum _{i=p}^{q}A_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm B_{i}\ =\ \sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm \sum _{i=p}^{q}B_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}cA_{i}\ =\ c\sum _{i=p}^{q}A_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}\left[\sum _{j=r}^{s}A_{ij}\right]\ =\ \sum _{j=r}^{s}\left[\sum _{i=p}^{q}A_{ij}\right]$

(注意：我建議為此提供一個視覺輔助：顯示你可以透過任何方向對二維陣列進行求和)

• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\ =\ \sum _{i=p-k}^{q-k}A_{i+k}$(索引替換)
• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\ =\ \sum _{i=p}^{r}A_{i}+\sum _{i=r+1}^{q}A_{i}\;,where\;p\leq r<q$(分解)
• $\left(\sum _{i=p}^{q}a_{i}\right)\times \left(\sum _{j=r}^{s}b_{j}\right)\ =\ \sum _{i=p}^{q}\sum _{j=r}^{s}a_{i}b_{j}$(分解/展開)

練習

(請在此處新增內容)

進階

"迭代是人的本性；遞迴，則是神性的."

當人類重複進行求和時，他們決定使用更高階的概念，即乘積的概念。當然，每個人都知道我們使用$\times$。當我們重複進行乘積時，我們使用指數。回到主題，我們現在有了複雜求和的表示法。那麼複雜乘積呢？事實上，也存在乘積的表示法。我們使用希臘字母大寫 "pi" 來表示乘積，基本上其他一切與求和符號相同，只是項不是相加，而是相乘。
示例：$\prod _{h=2}^{5}2h-3$ = $[(2\times 2)-3]\times [(2\times 3)-3]\times [(2\times 4)-3]\times [(2\times 5)-3]$

練習

1. 眾所周知，階乘由以下歸納定義：
$0!\ =\ 1$
$n!\ \times \ (n+1)\ =\ (n+1)!$

現在嘗試用乘積符號來定義它。