高中數學擴充套件/補充/部分分式

高中數學擴充套件

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補充章節 — 素數與模算術 — 邏輯

數學證明 — 集合論與無限過程 — 計數與生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進一步的模算術 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

補充章節
內容
基本計數
多項式除法
部分分式
求和符號
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習題解答
習題集解答

簡介

在我們開始之前，請考慮以下內容

${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{99\times 100}}$

我們如何計算這個和？乍一看可能很困難，但是如果你使用變數代替數字，上面的和中的每一項都將採用以下形式

${\frac {1}{n\times (n+1)}}$

你可以將其改寫為

${\frac {(n+1)-n}{n\times (n+1)}}={\frac {(n+1)}{n\times (n+1)}}-{\frac {n}{n\times (n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}$

因此，我們可以將原始問題改寫如下

$({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+......+({\frac {1}{99}}-{\frac {1}{100}})$

重新分組

${\frac {1}{1}}+(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})+(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}})+....+(-{\frac {1}{99}}+{\frac {1}{99}})-{\frac {1}{100}})$

所以除了第一項和最後一項之外的所有項都抵消了，得出

${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{99\times 100}}=1-{\frac {1}{100}}={\frac {99}{100}}$

信不信由你，我們剛剛做了部分分式！

部分分式是一種將涉及乘積的複雜分數分解為較簡單分數之和的方法。

通用方法

那麼，我們如何進行部分分式？看下面的例子

${\frac {4z-5}{z^{2}-3z+2}}$

對分母進行因式分解

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}$

然後我們**假設可以**將其分解成兩個分式，分別以 *（z - 1）* 和 *（z - 2）* 為分母，設其分子分別為 *a* 和 *b*：

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}={\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{z-2}}$

乘以 *（z - 1）*（z - 2）*

$4z-5=a(z-2)+b(z-1)$

$4z-5=az-2a+bz-b$

$4z-5=(a+b)z-(2a+b)$

因此，透過匹配 z 的同類冪係數，我們有

${\begin{cases}a+b=4&({\text{A}})\\2a+b=5&({\text{B}})\end{cases}}$

此外

$({\text{B}})-({\text{A}}):a=1\to b=3$

因此

${\frac {4z-5}{z^{2}-3z+2}}={\frac {1}{z-1}}+{\frac {3}{z-2}}$

一般來說，這種方法只適用於真分數。分子次數大於分母次數的分數需要先進行除法。

1. Can you find an equivalent expression to $y={\frac {3p-21}{(p-5)p-14}}$ that is defined for $y={\frac {1}{3}}$ ?
TIP: Here, "defined" means having some value p for which the equation yields 1/3.

冪因子

在上一節中，我們討論了對分母進行因式分解，並將每個因子作為每個項的分母。但是，當存在重複因子時會發生什麼？我們可以應用相同的方法嗎？請看以下示例

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

除了上面建議的方法之外，我們想使用另一種方法來處理這個問題。我們首先去掉一些因子，使其變成非重複形式，對其進行部分分式分解，然後將因子乘回去，最後對這兩個分數進行部分分式分解。

${\frac {1}{x+2}}\times {\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}$

對後面部分進行部分分式分解

${\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}$

乘以 (x + 2)(x - 1)

$4x-1=a(x-1)+b(x+2)$

$4x-1=a(x-1)+b(x+2)$

$4x-1\equiv (a+b)x+(2b-a)$

透過匹配 x 的同類冪係數，我們有

${\begin{cases}a+b=4&({\text{A}})\\2b-a=-1&({\text{B}})\end{cases}}$

將 a = 4 - b 代入 (B) 中，

$2b-(4-b)=-1$

因此 b = 1 且 a = 3。

我們繼續

${\frac {1}{x+2}}\times \left({\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{x-1}}\right)$

${\frac {3}{(x+2)^{2}}}+{\frac {1}{(x+2)(x-1)}}$

現在我們再次進行部分分式分解

${\frac {1}{(x+2)(x-1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}$

乘以 (x + 2)(x - 1)

$1=a(x-1)+b(x+2)$

$1=(a+b)x+(2b-a)$

$0x+1=(a+b)x+(2b-a)$

透過匹配x同次冪的係數，我們得到

${\begin{cases}a+b=0&({\text{A}})\\2b-a=1&({\text{B}})\end{cases}}$

將a = -b 代入(B)，我們得到

$2b-(-b)=1$

因此b = 1/3 且 a = -1/3。

所以最終，

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}={\frac {3}{(x+2)^{2}}}-{\frac {1}{3(x+2)}}+{\frac {1}{3(x-1)}}$

2. What about ${\frac {3q+2}{({\frac {3}{2}}q^{2}+{\frac {3}{2}}q-6)q-6}}$ ?

二次因子

為了簡化，我們應該始終嘗試對分母進行因式分解。然而，在某些情況下，對多項式進行因式分解會導致複數係數。由於這些係數並不能簡化我們的任務，我們將保持多項式不變。也就是說，作為不可約二次因子

${\frac {7x^{2}+22x+25}{x^{3}+3x^{2}+2x+6}}={\frac {7x^{2}+22x+25}{(x+3)(x^{2}+2)}}$

在處理二次因子時，我們應該使用以下部分分式

${\frac {bx+c}{x^{2}+2}}$

從而得到

${\frac {7x^{2}+22x+25}{(x+3)(x^{2}+2)}}={\frac {a}{x+3}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+2}}$

乘以(x + 3)(x^2 + 2)

$7x^{2}+22x+25=a(x^{2}+2)+(bx+c)(x+3)$

$7x^{2}+22x+25=a(x^{2}+2)+(bx+c)(x+3)$

$7x^{2}+22x+25=(a+b)x^{2}+(3b+c)x+(2a+3c)$

透過匹配x同次冪的係數，我們得到

${\begin{cases}a+b=7&({\text{A}})\\3b+c=22&({\text{B}})\\2a+3c=25&({\text{C}})\end{cases}}$

解題

$({\text{C}})-2({\text{A}})-3({\text{B}})=({\text{C}})-2({\text{A}})-3({\text{B}})$

$(2a+3c)-2(a+b)-3(3b+c)=25-2(7)-3(22)$

$-11b=-55$

因此，b = 5、a = 2 和 c = 7。

最終

${\frac {7x^{2}+22x+25}{(x+3)(x^{2}+2)}}={\frac {2}{x+3}}+{\frac {5x+7}{x^{2}+2}}$

3. Try breaking down ${\frac {z^{2}+3z}{z^{3}+1}}$ .